Дивергенция

[править]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск

У этого термина существуют и другие значения, см. Дивергенция (биология).

Дивергенция (от лат. divergere — обнаруживать расхождение) — дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (то есть операция дифференцирования, в результате применения которой к векторному полю получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), «насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле» (точнее — насколько расходятся входящий и исходящий поток).

Если учесть, что потоку можно приписать алгебраический знак, то нет необходимости учитывать входящий и исходящий потоки по отдельности, всё будет автоматически учтено при суммировании с учетом знака. Поэтому можно дать более короткое определение дивергенции:

дивергенция — это дифференциальный оператор на векторном поле, характеризующий поток данного поля через поверхность малой окрестности каждой внутренней точки области определения поля.

Оператор дивергенции, применённый к полю \ \mathbf F, обозначают как

\ \operatorname{div} \mathbf F

или

\ \nabla \cdot \mathbf F.

Содержание

[убрать]

    1 Определение 2 Определение в декартовых координатах 3 Физическая интерпретация 4 Свойства 5 Дивергенция в ортогональных криволинейных координатах
      5.1 Цилиндрические координаты 5.2 Сферические координаты 5.3 Параболические координаты 5.4 Эллиптические координаты
    6 Дивергенция в произвольных криволинейных координатах и её обобщение
      6.1 Свойства дивергенции тензора
    7 См. также

// [править] Определение

Определение дивергенции выглядит так:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \lim_{S \rightarrow 0} {\mathit\Phi_{\ \mathbf F} \over V}

где ФF — поток векторного поля F через сферическую поверхность площадью S, ограничивающую объем V. Ещё более общим, а потому удобным в применении, является определение, когда форма области с поверхностью S и объёмом V допускается любой. Единственным требованием является её нахождение внутри сферы радиусом, стремящимся к нулю. Это определение, в отличие от приводимого ниже, не привязано к определённым координатам, например, к декартовым, что может представлять дополнительное удобство в определённых случаях. (Например, если выбирать окрестность в форме куба или параллелепипеда, легко получаются формулы для декартовых координат, приведённые в следующем параграфе).

[править] Определение в декартовых координатах

Допустим, что векторное поле дифференцируемо в некоторой области. Тогда в трёхмерном декартовом пространстве дивергенция будет определяться выражением

\operatorname{div}\,\mathbf{F} =\frac{\partial F_x}{\partial x} +\frac{\partial F_y}{\partial y} +\frac{\partial F_z}{\partial z}\ \ \

Это же выражение можно записать с использованием оператора набла

\operatorname{div}\,\mathbf{F} =\nabla\cdot \mathbf{F}\ \ \

Многомерная, а также двумерная и одномерная, дивергенция определяется в декартовых координатах в пространствах соответствующей размерности совершенно аналогично (в верхней формуле меняется лишь количество слагаемых, а нижняя остается той же, подразумевая оператор набла подходящей размерности).

[править] Физическая интерпретация

С точки зрения физики, дивергенция векторного поля является показателем того, в какой степени данная точка пространства является источником или стоком этого поля:

\operatorname{div}\,\mathbf{F} >0  — точка поля является источником;

\operatorname{div}\,\mathbf{F} <0  — точка поля является стоком;

\operatorname{div}\,\mathbf{F} =0  — стоков и источников нет, либо они компенсируют друг друга.

Например, если в качестве векторного поля взять совокупность направлений наискорейшего спуска на земной поверхности, то дивергенция покажет местоположение вершин и впадин, причём на вершинах дивергенция будет положительна (направления спуска расходятся от вершин), а на впадинах отрицательная (ко впадинам направления спуска сходятся).

Ещё одним, быть может, несколько схематическим, примером может служить озеро (для простоты — постоянной единичной глубины со всюду горизонтальной скоростью течения воды, не зависящей от глубины, давая, таким образом двумерное векторное поле на двумерном пространстве). Если угодно иметь более реалистическую картину, то можно рассмотреть горизонтальную проекцию скорости, проинтегрированную по вертикальной пространственной координате, что даст ту же картину двумерного векторного поля на двумерном пространстве, причём картина качественно будет для наших целей не сильно отличаться от упрощённой первой, количественно же являться её обобщением (весьма реалистическим). В такой модели (и в первом, и во втором варианте) родники, бьющие из дна озера будут давать положительную дивергенцию поля скоростей течения, а подводные стоки (пещеры, куда вода утекает) — отрицательную дивергенцию.

Дивергенция вектора плотности тока дает минус скорость накопления заряда в обычной трёхмерной физике (так как заряд сохраняется, то есть не исчезает и не появляется, а может только переместиться через границы какого-то объёма, чтобы накопиться в нем или уйти из него; а если и возникают или исчезают где-то положительные и отрицательные заряды — то только в равных количествах). (См. Уравнение непрерывности).

[править] Свойства

Следующие свойства могут быть получены из обычных правил дифференцирования.

    Линейность: для любых векторных полей F и G и для всех действительных чисел a и b

\operatorname{div}( a\mathbf{F} + b\mathbf{G} ) = a\;\operatorname{div}( \mathbf{F} ) + b\;\operatorname{div}( \mathbf{G} )

    Если φ — скалярное поле, а F — векторное, тогда:

\operatorname{div}(\varphi \mathbf{F}) = \operatorname{grad}(\varphi) \cdot \mathbf{F} + \varphi \;\operatorname{div}(\mathbf{F}), или

\nabla\cdot(\varphi \mathbf{F}) = (\nabla\varphi) \cdot \mathbf{F} + \varphi \;(\nabla\cdot\mathbf{F}).

    Свойство, связывающее векторные поля F и G, заданные в трёхмерном пространстве, с ротором:

\operatorname{div}(\mathbf{F}\times\mathbf{G}) = \operatorname{rot}(\mathbf{F})\cdot\mathbf{G} \;-\; \mathbf{F} \cdot \operatorname{rot}(\mathbf{G}),или

\nabla\cdot(\mathbf{F}\times\mathbf{G}) = (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{G} - \mathbf{F}\cdot(\nabla\times\mathbf{G}).

    Дивергенция от градиента есть лапласиан:

\operatorname{div} (\operatorname{grad}(\varphi)) = \mathcal{4}\varphi

    Дивергенция от ротора:

\operatorname{div} (\operatorname{rot}(\mathbf{F})) = 0

[править] Дивергенция в ортогональных криволинейных координатах

\operatorname{div}(\mathbf{A}) = \operatorname{div}(\mathbf{q_1}A_1 + \mathbf{q_2}A_2 + \mathbf{q_3}A_3) = \frac{1}{H_1H_2H_3}\left[\frac{\partial}{\partial q_1}(A_1H_2H_3) + \frac{\partial}{\partial q_2}(A_2H_3H_1) + \frac{\partial}{\partial q_3}(A_3H_1H_2) \right], где Hi — коэффициенты Ламе.

[править] Цилиндрические координаты

Коэффициенты Ламе:

\begin{matrix}H_1.

Отсюда:

\operatorname{div}\mathbf{A}(r, \theta, z) = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}(A_r r) + \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta}(A_\theta) + \frac{\partial}{\partial z}(A_z)

[править] Сферические координаты

Коэффициенты Ламе:

\begin{matrix}H_r = 1 \\ H_\theta = r \\ H_\phi = r\sin{\theta} \end{matrix}.

Отсюда:

\operatorname{div}\mathbf{A}(r, \theta, \phi) = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left[ A_r r^2 \right] + \frac{1}{r \sin{\theta}} \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ A_\theta \sin{\theta} \right] + \frac{1}{r \sin{\theta}} \frac{\partial}{\partial \phi} \big[ A_\phi\big]

[править] Параболические координаты

Коэффициенты Ламе:

\begin{matrix} H_1.

Отсюда:

\operatorname{div}\mathbf{A}(\xi, \eta, \phi) = \frac{4}{\xi + \eta} \frac{\partial}{\partial \xi} \left[ A_\xi \frac{\sqrt{\xi^2+\xi\eta}}{2} \right] + \frac{4}{\xi + \eta} \frac{\partial}{\partial \eta} \left[ A_\eta \frac{\sqrt{\eta^2+\xi\eta}}{2} \right] + \frac{1}{\sqrt{\xi\eta}} \frac{\partial}{\partial \phi} \Big[ A_\phi \Big]

[править] Эллиптические координаты

Коэффициенты Ламе:

\begin{matrix} H_1 = \sigma\sqrt{\frac{\xi^2 - \eta^2}{\xi^2-1}} \\ H_2 = \sigma\sqrt{\frac{\xi^2 - \eta^2}{1-\eta^2}} \\ H_3 = \sigma\sqrt{(\xi^2-1)(1-\eta^2)} \end{matrix}.

Отсюда:

\operatorname{div}\mathbf{A}(\xi, \eta, \phi) = \frac{1}{\sigma(\xi^2 - \eta^2)} \frac{\partial}{\partial \xi} \left[ A_\xi \sqrt{(\xi^2-\eta^2)(\xi^2-1)} \right] +

\frac{1}{\sigma(\xi^2 - \eta^2)} \frac{\partial}{\partial \eta} \left[ A_\eta \sqrt{(\xi^2-\eta^2)(1-\eta^2)} \right] + \frac{1}{\sigma\sqrt{(\xi^2-1)(1-\eta^2)}} \frac{\partial}{\partial \phi} \Big[ A_\phi \Big]

[править] Дивергенция в произвольных криволинейных координатах и её обобщение

Формулу для дивергенции векторного поля в произвольных координатах (в любой конечной размерности) нетрудно получить из общего определения через предел отношения потока к объёму, воспользовавшись тензорной записью смешанного произведения и тензорной формулой объёма.

Существует обобщение операции дивергенции на действие не только на векторы, но и на тензоры более высокого ранга.

В общем случае дивергенция определяется через ковариантной производной:

\operatorname{div} = (\nabla\cdot) = \vec{R}^\alpha\nabla_\alpha\cdot, где \vec{R}^\alpha — координатные векторы.

Это позволяет находить выражения для дивергенции в произвольных координатах для векторного:

\nabla\cdot\vec{v} = \vec{R}^\alpha\nabla_\alpha\cdot v^i \vec{R}_i = \nabla_i v^i.

или тензорного поля:

\nabla\cdot T = \vec{R}^\alpha\nabla_\alpha \cdot T^{ij} \vec{R}_i \vec{R}_j = \vec{R}_j \nabla_i T^{ij}.

В общем случае, дивергенция понижает ранг тензора на 1.

[править] Свойства дивергенции тензора

    \nabla\cdot\vec{v}\vec{v} = \vec{v}\nabla\cdot\vec{v} + \left(\vec{v}\cdot\nabla\right)\vec{v}