3б. праць Ін-ту математики НАН України 2010, т. 7 , № 2, c.393-401

УДК 513. 835

(Ин-т математики НАН Украины, Киев)

Открытые вопросы отображения областей на многообразиях

Зроблено огляд відомих результатів та відкритих питань щодо точної оцінки мінімальної кратності неперервного скінченнократного відображення областей на многовидах.

В работе дан обзор известных результатов и открытых вопросов касающихся точной оценки минимальной кратности непрерывного конечнократного отображения областей на многообразиях.

Главный вопрос, затронутый в этой работе, связан с желанием установить, каким минимальным числом можно ограничить количество прообразов произвольной точки образа, если априори известна глобальная степень заданного отображения двух областей. Дополнительно предполагаем, что данное отображение реализует этот минимум. Оценки в одну сторону, а именно установление нижнего возможного значения этого минимума, получено в работах автора [1,2].

Будем говорить, что отображение топологических пространств конечнократно, если прообраз произвольной точки содержит конечное или пустое множество точек. Всюду далее предполагаем, что на рассматриваемых топологических пространствах задана структура многообразия и имеем непрерывные отображения этих многообразий или их подобластей. Также будем предполагать, что определена топологическая степень отображения deg f [3].

Теорема 1 [1]. Пусть - непрерывное отображение (D и D1 – открытые подобласти многообразий Mn и Nn, соответственно) такое, что

1.  , и

2.  группа когомологий границы и отображение групп когомологий , индуцированное ограничением , является эпиморфизмом.

Тогда или является гомеоморфизмом, или существует точка , имеющая не менее трёх прообразов в D. Если же отображение f нульмерно, то в последнем случае множество состоит не менее чем из трёх точек} имеет размерность n.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Теорема 1 в частности даёт ответ на одну из проблем, поставленных А. Косинским [4], об отображении n–мерного листа Мёбиуса.

Отметим, что условие 1 теоремы эквивалентно собственности отображения на Int D (отображение собственно, если прообраз произвольного компакта – компакт).

Отображение области называется внутренним, если образ каждого открытого множества открыт, и прообраз произвольной точки состоит из изолированных точек.

Теорема 2[2]. Пусть f: – непрерывное отображение областей степени k такое, что , то или f внутреннее отображение, или существует точка, имеющая не меньше прообраза. Если же известно, что f нульмерное отображение, то во втором случае множество точек, имеющих не менее чем прообраза, имеет полную размерность.

Скажем, что отображение принадлежит классу Km, если прообраз каждой точки содержит не более m точек. В случае, когда хотим фиксировать отображаемые пространства, используем обозначение Km(X, Y).

Пусть – замкнутое n–мерное многообразие, а – шар в n–мерном евклидовом пространстве .

В [5] установлено, что для отображений произвольных замкнутых двумерных многообразий в круг класс не пустой в классе непрерывных отображений. Если мы разобьём многообразие M2 на две части: вырежем из него подмножество гомеоморфное двумерному кругу B2. Замкнутую часть многообразия отобразим непрерывным отображением f в двумерный круг B2 так, чтобы окружность (граница ) отобразилась двукратно на некоторый отрезок [a,b] (отождествим пары точек (x, y) и (-x,y), если окружность задавать координатами в двумерной плоскости). Такое отображение легко строится аналогично [5]. Вложим образ в сферу некоторым гомеоморфным отображением g, на круге B2 зададим отображение h, отображающее внутренность круга гомеоморфно на дополнение отрезка [a,b] в сфере и совпадающее с gf на границе. Рассмотрим теперь отображение F многообразия M2, которое совпадает с суперпозицией gf на и с отображением h на круге B2. Кратность такого отображения не превышает трех по построению. Следовательно, справедливо утверждение.

Теорема 3. Для произвольного двумерного многообразия M2 класс не пустой в классе непрерывных отображений, причем существуют отображения этого класса, которые не принадлежат никакому классу , где m<3.

Для произвольного многообразия, отличного от сферы такое отображение построено выше. Для сферы существование трехкратного отображения очевидно.

Заметим, что построенное теореме 3 отображение F класса в сферу можно легко преобразовать некоторым гомеоморфизмом сферы на себя так, чтобы точки, имеющие больше одного прообраза, лежали в сферическом секторе, который в плоскости двух первых координат x1, x2 сферы занимает угол раствора меньше чем 2p/k, если рассматривать сферу как единичную сферу в трехмерном евклидовом пространстве с координатами (x1, x2, x3). Применим к образуотображение H, которое по первым двум координатам можно записать в комплексной форме как , остальные координаты отображаются тождественно. Суперпозиция отображений HGF, обладает тем свойством, что существуют точки, имеющие ровно k+2 прообраза и нет точек имеющих больше прообразов. Итак, мы получили утверждение.

Теорема 4. Класс отображений Kr(M2,S2) непуст для любого r³3 в классе непрерывных отображений, причем существуют отображения этого класса, которые не принадлежат никакому классу Km(M2,Sn), где m<r.

Недавно автором получены точные оценки минимальной кратности конечнократных отображений листа Мёбиуса и проективного пространства в сферу и евклидово пространство, а также установлена непустота ряда классов конечнократных отображений.

Теорема 5. Существует непрерывное отображение n–мерного листа Мёбиуса в шар Bn, которое будет гомеоморфизмом на границе, а каждая внутренняя точка шара будет иметь не более трёх прообразов в листе Мёбиуса.

Следствие 1. Существует непрерывное отображение n–мерного проективного пространства в сферу Sn, для которого каждая точка образа будет иметь не более трёх прообразов.

Следствие 2. Класс отображений K3(,Sn) непустой для любого n в классе непрерывных отображений.

Теорема 6. Класс отображений Kr(,Sn) непустой для любого r³3 в классе непрерывных отображений, причем существуют отображения этого класса, которые не принадлежат никакому классу Km(,Sn), где m<r.

Теорема 6 в частности показывает, что оценка, полученная в теореме 2, точна для отображений проективных пространств в сферу.

Пусть заданы две пары топологических пространств (X,A) и (Y, B). Скажем, что отображение пар пространств f принадлежит классу
Km[(X,A), (Y, B)] или согласовано, если отображение принадлежит классу Km(X,Y), а его сужение - классу Km(A, B).

Техника доказательства теорем 5, 6 позволяет получить следующие утверждения.

Следствие 3. Класс согласованных отображений K3 [(Mn, Mn-1), (Bn, Bn-1)] непустой для любого n³3 в классе непрерывных отображений.

Следствие 4. Класс согласованных отображений
K3 [(, ), (Sn, Sn-1)] непустой для любого n³3 в классе непрерывных отображений.

В связи со следствиями 3 и 4 возникают естественные вопросы продолжения этих результатов на другие пространства.

Вопрос 1. Когда отображение топологических пространств из класса Km(A, B) можно продолжить до согласованного Km[(X,A), (Y, B)] отображения более широких пространств?

Вопрос 2. Когда отображение топологических пространств из класса Km(A, B) можно продолжить до согласованного Kr[(X,A), (Y, B)] отображения более широких пространств, где r>m фиксировано?

Вопрос 3. Существует ли отображение топологических пространств из класса Km(A, B), которое нельзя продолжить до согласованного конечнократного отображения более широких пространств?

Поставленные вопросы кажутся автору довольно сложными задачами в общем случае и ответы на них, кроме частных примеров пространств, рассмотренных выше и в [5], неизвестны.

Теорема 7. Существует непрерывное отображение n–мерного листа Мёбиуса в евклидово пространство ¡n, такое, что каждая точка ¡n будет иметь не более двух прообразов в листе Мёбиуса при n =2,3.

Построенное в теореме отображение при n = 3 обладает свойством согласованности для n = 2, если в нем ограничится соединением антиподальных точек в экваториальной плоскости шара. К сожалению, построенная конструкция не обобщается по индукции на высшие размерности, и вопрос минимальной кратности подобного отображения остается открытым.

Следствие 5. Существует непрерывное отображение n–мерного проективного пространства в евклидово пространство ¡n, такое, что каждая точка ¡n будет иметь не более двух прообразов при n =2,3.

Следствие 6. Существует непрерывное отображение n–мерного проективного пространства в евклидово пространство ¡n, такое, что каждая точка ¡n будет иметь не более двух прообразов при n =2,3.

Вопрос 5. Будет ли непустым класс K2(,¡n) при n >3?

Следствие 7. Класс K4(,¡n) отображений n–мерного проективного пространства в евклидово пространство ¡n непустой для любого n в классе непрерывных отображений.

Классическая теорема Титце-Урысона [6] обеспечивает непрерывное продолжение непрерывного отображения с замкнутого подпространства некоторого нормального пространства на всё пространство. К сожалению, этот результат не устанавливает связи между такими свойствами исходного отображения и продолжения как кратность, внутренность, гомеоморфность. Следующие открытые вопросы тесно связаны с рассмотренными выше задачами.

Вопрос 6. Пусть f: – непрерывное отображение областей n-мерных многообразий степени k такое, что . Всегда ли существует собственное отображение g гомотопное f и такое, что каждая точка из образа области g(D) имеет не более чем прообраза?

Вопрос 7. Пусть f: – непрерывное отображение областей n-мерных многообразий степени k такое, что . Всегда ли существует собственное конечнократное отображение g гомотопное f?

Вопрос 8. Когда гомеоморфное отображение с замкнутого подпространства можно продолжить гомеоморфизмом на всё пространство или хотя бы на окрестность подпространства?

Отметим, что для плотного подмножества многообразия такой результат установлен в [8].

Вопрос 9. С какой минимальной кратностью можно продолжить на всё пространство или хотя бы на окрестность подпространства гомеоморфное отображение с замкнутого подпространства?

Вопрос 10. Существует ли гомеоморфное отображение замкнутого подпространства, которое нельзя продолжить конечнократным непрерывным отображением на всё пространство?

Пусть f – непрерывное отображение, заданное на границе области D в область D1 n-мерного многообразия. Предположим также, что f принадлежит классу Km(¶D, D1).

Вопрос 11. Когда существует непрерывное продолжение f на всю область, которое на Int D будет внутренним отображением?

Следующий пример показывает, что даже локально гомеоморфное отображение не продолжается внутренним отображением на всё пространство, если первоначальная область задания не будет замкнутым подмножеством пространства.

Пример. Пусть множество A состоит из точек двумерной плоскости с обеими рациональными координатами, если y>0 и с обеими иррациональными координатами, если y<0. Зададим отображение f формулой . Очевидно, что это отображение продолжается однозначно до непрерывного отображения всей плоскости, которое не будет внутренним. В точках (x,0) нарушается открытость отображения. Во всех остальных точках плоскости и тем более на множестве A отображение локально гомеоморфно.

Заметим также, что на множестве A отображение f взаимнооднозначно, но не гомеоморфно. Обратное отображение не будет непрерывным.

Список литературы

1.  О некоторых проблемах Косинского// Укр. матем. журнал. – 27(1975), №4. – С.510-516.

2.  О кратности непрерывных отображений областей// Укр. матем. журнал. – 57 (2005), №4. – С.554-558.

3.  , Бахтина -алгебраические структуры и геометрические методы в комплексном анализе //Труды Института математики НАН Украины. – Київ. – 2008. – 73. – 308 с.

4.  Kosinski A. On a problem of Steinhaus// Fund. Math. 46 (1958), p.47-59.

5.  Об отображении областей на многообразиях //3б. праць Ін-ту математики НАН України. – Київ. – 5, №1 (2008), С.149 – 152.

6.  бщая топология.- М.:Мир, 1986.- 752 с.

7.  , О локальной степени нульмерного отображения//Метрические вопросы теории функций и отображений. - Киев:Наукова думка.– 1969. – вып.1. – С.221-241.