Задание

Задание

Найти значения интегралов по формулам прямоугольников, трапеций, Симпсона с шагом 0,1 (интервалы интегрирования выбрать самим).

1)

Разобьем интервал интегрирования на узлы

Формула (средних) прямоугольников

Составим таблицу значений подинтегральной функции в точках :

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	1,05	1,15	1,25	1,35	1,45	1,55	1,65	1,75	1,85	1,95
	1,209604	1,120531	1,044109	0,977797	0,919694	0,86835	0,822636	0,781664	0,744725	0,711243

Таким образом, по формуле прямоугольников

.

Формула трапеций

Составим таблицу значений подинтегральной функции в точках :

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	1	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9	2
	1,259921	1,163296	1,080915	1,00982	0,947819	0,893254	0,844849	0,801605	0,762729	0,727583	0,695649

Таким образом, по формуле трапеций

.

По известному соотношению, связывающему формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона, получим

2)

Разобьем интервал интегрирования на узлы

Формула (средних) прямоугольников

Составим таблицу значений подинтегральной функции в точках :

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	1,05	1,15	1,25	1,35	1,45	1,55	1,65	1,75	1,85	1,95
	-0,61953	-0,69763	-0,76822	-0,83224	-0,89049	-0,94364	-0,99229	-1,03695	-1,07806	-1,11600

Таким образом, по формуле прямоугольников

.

Формула трапеций

Составим таблицу значений подинтегральной функции в точках :

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	1	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9	2
	-0,57735	-0,65958	-0,73380	-0,80100	-0,86204	-0,91766	-0,96850	-1,01509	-1,05792	-1,09741	-1,13389

Таким образом, по формуле трапеций

.

По известному соотношению, связывающему формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона, получим

3) Выполним в интеграле замену переменной . Тогда

.

Вернемся к прежнему обозначению переменной интегрирования:

Разобьем интервал интегрирования на узлы

Формула (средних) прямоугольников

Составим таблицу значений подинтегральной функции в точках :

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	1,05	1,15	1,25	1,35	1,45	1,55	1,65	1,75	1,85	1,95
	3,678568	0,954637	-5,71087	-9,92658	-5,45889	6,355031	15,77544	12,68974	-3,11616	-19,5076

Таким образом, по формуле прямоугольников

.

Формула трапеций

Составим таблицу значений подинтегральной функции в точках :

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	1	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9	2
	3,141593	3,006823	-2,19076	-8,61976	-8,92934	0	12,12322	16,129	5,850606	-12,2888	-22,8808

Таким образом, по формуле трапеций

.

По известному соотношению, связывающему формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона, получим

Точное значение интеграла равно

4) Выполним в интеграле замену переменной . Тогда

.

Вернемся к прежнему обозначению переменной интегрирования:

Разобьем интервал интегрирования на узлы

Формула (средних) прямоугольников

Составим таблицу значений подинтегральной функции в точках :

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	1,05	1,15	1,25	1,35	1,45	1,55	1,65	1,75	1,85	1,95
	0,135674	0,3552	0	0,3552	0,135674	0,135674	0,3552	0	0,3552	0,135674

Таким образом, по формуле прямоугольников

.

Формула трапеций

Составим таблицу значений подинтегральной функции в точках :

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	1	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9	2
	0	0,3552	0,135674	0,135674	0,3552	0	0,3552	0,135674	0,135674	0,3552	0

Таким образом, по формуле трапеций

.

По известному соотношению, связывающему формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона, получим

Точное значение интеграла равно

Задание:

Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

.

Требуется: найти решение системы; начальные условия x(0) и y(0) взять самим.

Построить графики x(t), y(t)

Шаг по времени

Будем искать решение при c начальными условиями .

Разобьем отрезок на 10 частей узлами ,

Используем для производных аппроксимации , .

Получим систему линейных уравнений

,

Преобразуем ее:

,

Так как , имеем

Графики:

Решить систему методами простой итерации и Гаусса-Зейделя

Метод простой итерации. Система в векторном виде , где

.

Данная матрица не является матрицей с диагональным преобладанием, поэтому процесс простой итерации может не сходится.

Преобразуем систему к эквивалентному виду

Метод простой итерации заключается в последовательном вычислении приближений по формуле . В случае первые 9 итераций приведены в таблице

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	9	-15	9,5	-149,5	-179,75	-1689,75	-4104,63	-21862,9	-69263,9	-304877
	4	13	-1	154,5	110,5	1716,75	3232,25	21132,1	59441,6	284992
	9	-10	80	-21,5	766,5	769,25	8511,75	18787,4	107862	326684

Видно, что сходимости нет.

Метод Гаусса-Зейделя. Перепишем систему в виде

Итерационный процесс Гаусса-Зейделя состоит в построении последовательности , координаты векторов которой удовлетворяют соотношениям

.

В случае первые 5 итераций приведены в таблице

	0	1	2	3	4	5
	0	9	72,5	1110,75	17775,13	285417,2
	0	-5	-124,5	-2021,75	-32504,6	-522064
	0	-28	-457,5	-7366,75	-118326	-1900371

Сходимость снова отсутствует.

Решить уравнение f(x)= 0 с точностью e = 10 - 4:

·  методом Ньютона (касательных),

·  методом итераций,

Определить число итераций в каждом методе.

Вариант 2. , .

Метод касательных. Строим последовательность приближений к решению по формуле . В качестве нулевого приближения возьмем .

Контроль сходимости последовательности к решению определяется соотношением[1] , где .

Для данной функции и

Заметим, что при , поэтому первая производная убывает. Таким образом, так как и , получаем .

Вычисление последовательности приближений представим в таблице

	0	1	2	3
	0	0,23809	0,26221	0,26244
	-0,33333	-0,02815	-0,00026	-2,3E-08
	1,4	1,16705	1,14548	1,14528
	0,55556	0,04691	0,00044	3,83E-08

Таким образом, для достижения точности нам понадобилось 3 итерации.

Метод итераций. Строим последовательность приближений к решению по формуле , или , где . В качестве нулевого приближения возьмем .

Контроль сходимости последовательности к решению определяется соотношением[2] , где .

Для данной функции . Учитывая, что функция убывает, получим .

Вычисление последовательности приближений представим в таблице

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	0	0,33333	0,25432	0,26365	0,26227	0,26247	0,26244	0,26244	0,26244	0,26244	0,26244
	0,33333	0,25432	0,26365	0,26227	0,26247	0,26244	0,26244	0,26244	0,26244	0,26244	0,26244
	1	0,4	0,16	0,064	0,0256	0,01024	0,00410	0,00164	0,00066	0,00026	0,00010

Здесь последние 5 итераций оказываются лишними из-за грубости оценки величины .

Задание 2. Найти решение u(х, t) для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами с начальными условиями u(x, 0) = x 3 + x 2 – x,  и граничными условиями u(0, t) = 0, u(1, t) = 1.

Для решения задачи построить сетку из 11 узлов по x (i = 0, 1, ... 10) и провести вычисления для 3 слоев по t (j = 0, 1, ... 3). Вычисления выполнить с шагом h по х, равным 0.1 и шагом  по t, равным 0.005. Отобразить графически решение задачи на 0-ом, 1-ом, 2-ом и 3-ом слоях.

Решение. Используем явную двухслойную разностную схему. В нашем случае , поэтому схема имеет вид

Начальное условие дает , (пишем вместо 0.1 для наглядности).

Граничные условия дают , , .

Вычисление первого слоя по ():

.

Вычисление второго слоя по ():

и

.

Вычисление третьего слоя по ():

и

.

Графическое отображение решения на слоях (0 – черный, 1 – синий, 2 – зеленый, 3 – красный)

[1] Действительно, если , то по теореме о среднем найдется точка , для которой . Таким образом,

[2] Действительно, если , то по теореме о среднем найдется точка , для которой . То есть .