Исследование устойчивости динамической модели интеллектного управления на основе развития второго метода Ляпунова

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ Интеллектного УПРАВЛЕНИЯ на основе РАЗВИТИЯ ВТОРОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА

,

Вычислительный центр им. РАН, *****@***ru
Елецкий государственный университет им. , *****@***ru

Предложены условия устойчивости динамической модели интеллектного управления на основе развития метода функций Ляпунова.

Ключевые слова: устойчивость, динамическая модель интеллектного управления, функция Ляпунова.

Введение

При исследовании динамических моделей актуальной проблемой является изучение устойчивости [1–10]. Одним из методов решения указанной проблемы является второй метод Ляпунова [4, 5, 7, 9, 10]. Для динамических моделей классическая теория устойчивости развивалась, начиная с работ  [11],  [12], А. Пуанкаре [13], [14], в работах [15], [4],  [5] и в работах других отечественных и зарубежных ученых.

В [4] получены необходимые и достаточные условия устойчивости решений нечетких дифференциальных уравнений с помощью обобщенных функций Ляпунова. В работах [7, 9] на основе развития прямого метода Ляпунова установлены условия устойчивости моделей предикатного управления, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями. Условия устойчивости модели Такаги–Суджено на основе функций Ляпунова даны в [10]. В настоящей работе получены условия равномерной устойчивости динамической модели интеллектного управления с помощью метода дивергентных функций Ляпунова. Указанный метод основан на совместном использовании функций Ляпунова и дивергентных функций поля скоростей.

Предварительные сведения

Рассматривается динамическая модель, описываемая системой

, , , , (1)

где , f(x) – нелинейная монотонно возрастающая функция, b – n-мерный вектор, u – скалярная переменная управления, , F(x) – нелинейная функция, определяемая в виде = L2, символ ° означает операцию композиции; L2 – оператор дефаззификации; = * – степень принадлежности пары (x, u) к правилу П(i), – функция принадлежности u к множеству Ui, – результат агрегирования степеней принадлежности входа xi к множеству Xi, символ * означает операцию логического минимума или алгебраического произведения; **…*, i = 1, …, n, – нечеткий выход, соответствующий входу ; – база правил логического регулятора. Результат действия F(x) соответствует управляющему воздействию на объект управления.

Для исследования динамической модели (1) используется ряд результатов, полученных для нелинейного дифференциального уравнения

, h Î H Ì Rk, (2)

которое определено на множестве B(r) ´ H, где B(r) = {x Î Rn: }, r > 0.

Предполагается, что функция удовлетворяет условию Липшица относительно x = (x1, x2, …, xn) для каждого h Î H Ì Rk, т. е. $ L = L(h) > 0: " x1, x2 Î B(r), и решения x(t, x0, h) уравнения (2) непрерывно зависят как от начальной точки x0 = x(0, x0, h), так и от параметра h = {h1, h2, …, hk} для k ³ 1.

Решение x = 0 называется равномерно устойчивым относительно множества H Ì Rk, если

" e > 0 $ d = d(e) ½x0½< d Þ ½ x(t, x0, h)½< e " t Î R+, " h Î H. (3)

В (3) число d зависит от e, но не зависит от выбора точки h Î H.

Показано [7], что если тривиальное состояние равновесия x = 0 уравнения (2) асимптотически устойчиво для каждого h, принадлежащего компактному множеству H Ì Rk, то состояние равновесия x = 0 уравнения (2) равномерно устойчиво относительно множества H.

Известно, что если z – асимптотически устойчивое состояние равновесие дифференциального уравнения вида и  V(x) – функция Ляпунова, для которой выполнено условие , a1 > 0, a2 > 0, то существует множитель Эйлера s(x), для которого дивергенция div(s(x) f(x)) является отрицательно определенной. Функцию Ляпунова, обладающую указанным свойством, назовем дивергентной функцией Ляпунова для состояния равновесия z.

Для модели, описываемой уравнением

, (4)

где поле скоростей (G1, ..., Gn) непрерывно и удовлетворяет в некоторой области Q Ì Rn фазового пространства Rn условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши, справедливы следующие утверждения:

1) если div G(x) £ 0 в окрестности состояния равновесия x = (x1, ..., xn) = 0 системы (4) и существует дивергентная функция Ляпунова в силу указанной системы, то состояние равновесия x = 0 асимптотически устойчиво; 2) если div [s(x) G(x)] £ 0 в окрестности состояния равновесия x = 0 системы (4), где s(x) – множитель Эйлера, и существует дивергентная функция Ляпунова в силу (4), то состояние равновесия x = 0 асимптотически устойчиво.

Вопросы устойчивости моделей интеллектного управления с помощью дивергентных функций Ляпунова рассмотрены в [7].

Метод дивергентных функций Ляпунова для анализа устойчивости динамической модели предикатного управления

Управляемую модель (1) можно представить в виде

, u Î U Ì R., (5)

Предложены следующие условия устойчивости.

1. Пусть div  £ 0 в окрестности состояния равновесия x = 0 модели (5) и существует дивергентная функция Ляпунова для состояния равновесия x = 0. Тогда это состояние равновесия модели (5) асимптотически устойчиво для каждого u Î U .

2. Пусть div [s(x) ] £ 0 в окрестности состояния равновесия x = 0 модели (5), где s(x) – множитель Эйлера, и пусть существует дивергентная функция Ляпунова для состояния равновесия x = 0. Тогда это состояние равновесия асимптотически устойчиво для каждого u Î U.

3. Если состояние равновесия x = 0 модели (5) асимптотически устойчиво для каждого u, принадлежащего компактному множеству U Ì R, то состояние равновесия x = 0 модели (5) равномерно устойчиво относительно множества U.

Дивергенцию поля скоростей можно записать в виде:

(6)

Из (6) и приведенных выше условий устойчивости вытекают и другие условия устойчивости, сформулированные ниже.

4. Пусть для модели (5) в окрестности состояния равновесия x = 0 выполнено неравенство div g(x, u) £ 0 и существует дивергентная функция Ляпунова для состояния равновесия x = 0. Тогда это состояние равновесия модели (5) асимп­тотически устойчиво для каждого u Î U.

5. Если выполняются условия 4 для каждого u, принадлежащего компактному множеству U Ì R, то состояние равновесия x = 0 модели (5) равномерно устойчиво относительно множества U.

С помощью (6) и свойств s(x) можно записать

div+ s div g(x, u). (7)

Из условий 2, 3 и свойства (7) вытекают следующие условия устойчивости.

 6. Пусть для модели (5) в окрестности состояния равновесия выполнено неравенство

и пусть существует дивергентная функция Ляпунова для состояния равновесия x = 0. Тогда это состояние равновесия модели (5) асимптотически устойчиво для каждого u Î U.

7. Если выполняются условия 6 для каждого u, принадлежащего компактному множеству U Ì R, то состояние равновесия x = 0 модели (5) равномерно устойчиво относительно множества U.

Отметим, что вопросы устойчивости динамических моделей, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями, с помощью индексно-дивергентного метода рассмотрены в [8].

Выводы

Полученные в настоящей работе условия устойчивости динамической модели интеллектного управления на основе метода дивергентных функций Ляпунова могут быть использованы при изучении устойчивости движения динамических моделей при постоянно действующих возмущениях, а также при решении ряда задач математической теории управления.

Работа выполнена в рамках проекта РФФИ № 13-08-00710-а.

Литература

1. Нечеткое моделирование и управление. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009.

2. Динамические системы управления с неполной информацией. Алгоритмическое конструирование. М.: КомКнига, 2007.

3. Cправочник по теории автоматического управления. М.: Наука, 1987.

4. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами. М.: УРСС, 2007.

5. Математическое моделирование и качественный анализ математических моделей динамических систем. Дисс. … докт. физ.-матем. наук. М.: РГОТУПС, 2003.

6. Индексно-дивергентный метод исследования устойчивости нелинейных динамических систем. М.: ВЦ РАН, 2007.

7. Масина О. Н., Дружинина О. В. Моделирование и анализ устойчивости некоторых классов систем управления. М.: ВЦ РАН, 2011.

8. , Исследование устойчивости управляемых технических систем индексно-дивергентным методом // Нелинейный мир. 2011. Т. 9. № 10. С. 677–682.

9. , , Масина О. Н. Развитие прямого метода Ляпунова исследования устойчивости систем предикатного управления // Труды X Международной Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление». Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2012. Т. 2. С. 589–600.

10. , Метод мягких функций Ляпунова исследования устойчивости дифференциальных уравнений, моделирующих предикатную систему Такахи–Суджено // Известия РАЕН. Дифференц. уравнения. 2012. Вып. 17. С. 47–53.

11. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.–Л.: Гостехиздат, 1950.

12. Жуковский Н. Е. О прочности движения // Уч. зап. Московского ун-та. 1882. Вып. 4. С. 1–104.

13. Пуанкаре А. Избранные труды. Т. 1, 2. М.: Наука, 1971, 1972.

14.  Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. Изд-во АН СССР, 1962.

15. Некоторые задачи теории устойчивости дви­же­­ния. М.: Физматгиз, 1959.

RESEACH STABILITY OF DINAMICAL MODEL OF INTELLIGENT CONTROL ON THE BASIS OF DEVELOPMENT OF SECOND LYAPUNOV METHOD

Druzhinina O. V., Masina O. N.

Dorodnicyn Computing Center of RAS, *****@***ru
Yelets State University after I. A. Bunin, *****@***ru

Stability conditions of dynamical model of intelligent control on the basis of development of Lyapunov functions method are given.

Кеуwords: stability, dynamical model of intelligent control, Lyapunov function.