Координаты и векторы в пространстве. Применение векторов для нахождения углов между скрещивающимися прямыми и плоскостями Координаты точки на плоскости (стр. 3 )

Решение

При сложении векторов соответствующие координаты складываются, поэтому
=(-3)·5+1·(-6)+2·7=-15-6+14=23

Найдем координаты векторов и

, то есть

, то есть

Тогда()·( )=(-1)(-18)+(-4)19+11(-19)=18-76-209= -277

Ответ ; 23; -277

6. Точка Е середина ребра СС1 куба . Найдите косинус угла между прямыми ВЕ и АD

Решение.

Будем использовать метод координат. Введем систему координат как показано на рисунке.

Рассмотрим векторы и .Пусть сторона куба равна а.

Тогда А(а;0;0), B(0;0;0), D(a;a;0), E(0:a;)

Получаем: и .,

то есть и .

Тогда по формуле для нахождения угла между векторами имеем

Ответ

7.В правильной четырехугольной призме   со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре  взята точка М так, что =8. На ребре  взята точка K так, что. Найдите угол между плоскостью  и плоскостью .

Решение

.

Так как мы будем использовать метод координат, сразу введем систему координат. Теперь перед нами стоит задача написать уравнения плоскости  и плоскости.

Плоскость это плоскость .Она параллельна плоскости ХОZ и поэтому ее уравнение имеет вид у=12, так как призма правильная и сторона основания призмы равна 12.

Составим уравнение плоскости DMK.Найдем координаты точек D,M и K.

D (12;12;0), M(12;0;13), K(0;0;8).

Будем искать уравнение плоскости DMK в виде Ax + By + Cz + D = 0. Точки D,M и лежат на этой плоскости, поэтому имеем систему уравнений

Подставим полученные выражения в уравнение плоскости.

Получим .

Умножим обе части уравнения на 96 и разделим на D.

Получим . Это уравнение плоскости DMK.

Уравнение плоскости   у=12 или

Найдем косинус угла между плоскостями по формуле

Получаем:

Тогда = и

Ответ

Задания для самостоятельного решения

1. Точка М - середина отрезка АВ. Найти координаты точки М, если A (1, 3, -2), B (-5, 7, 3)

2.В треугольнике АВС: A (3, -1, -2), B (-5, 7, 4), C (1; 5; 2). Найти длину средней линии MN, где M и N - середины сторон AC и BC соответственно.
3. Найти длину СК - медианы треугольника АВС, где A (2, -4, 2), B (-10, -2,1 4), C (0; -3; 5).

4. Координаты точек: A (4; -3; 2), B (-1; -5; 4). Найти сумму координат точки С, лежащей на оси OY и равноудалённой от точек А и В.

6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

7.Даны векторы и. Найти .

8. Найти значения x, y, при которых векторы и коллинеарны.
9. Найти координаты вектора единичной длины, противонаправленного вектору.
10. В кубе найти вектор, равный сумме +- .
11. ' - куб. , , . Выразить через векторы вектор ,, если M - середина ' и K - середина