Моделирование процессов управления системой с программными связями
Российский университет дружбы народов, *****@***pfu. edu. ru
Излагается метод решения задачи управления динамикой систем с программными связями. Приводится решение задачи стабилизации перевернутого маятника.
Ключевые слова – Уравнения динамики, программные связи, стабилизация связей, устойчивость, численное решение.
Введение
Современные методы моделирования динамики сложных систем предполагают обеспечение выполнения требуемых свойств функционирования на этапе составления уравнений динамики. Используя динамические аналогии, для составления уравнений динамики управляемых систем, содержащих элементы различной физической природы, и исследования ее кинематических и динамических свойств успешно используются уравнения и методы классической механики. Движения механических систем описываются системой дифференциально-алгебраических уравнений, составленных из уравнений динамики и уравнений связей. Существенной проблемой численного решения этой системы является стабилизация связей [1] за счет дополнительных сил или соответствующей модификации реакций связей [2].
Построение уравнений динамики сложных систем.
Для моделирования динамики систем с элементами различной физической природы вводится унифицированный набор переменных [3], посредством которых определяются динамические показатели системы и составляются уравнения динамики [2]. Аналогия динамических процессов позволяет использовать методы аналитической динамики для исследования задач моделирования и управления динамикой систем, содержащих элементы различной физической природы [3], экономических и производственных систем [4,5].
Требуемые свойства исследуемой системы и цели управления выражаются уравнениями связей, наложенных на обобщенные координаты 
и скорости 
системы:
, 
, (1)
, 
, 
.
Пусть динамика управляемой системы описывается уравнениями Лагранжа
, 
, 
. (2)
Здесь 
– соответственно обобщенные силы и управляющие воздействия, 
– лагранжиан, 
– диссипативная функция, по одинаковым индексам производится суммирование. Выражение целей управления уравнениями связей оказывается предпочтительным, так как обычно цель управления накладывает ограничения на фазовые координаты объекта, но не на координаты управляющих устройств. Если число 
управлений равно числу 
уравнений связей и 
, 
, 
, то силы 
, 
, являются соответствующими составляющими реакций связей, а управления 
совпадают с множителями Лагранжа. Тогда приложенные дополнительные силы обеспечивают движение по многообразию, соответствующему уравнениям связей или по траектории. В случае 
оказывается возможным управление движением по многообразию, соответствующему уравнениям связей (1), или вдоль траектории.
Для стабилизации связей введем добавочные переменные 
,
, определяемые из уравнений
, 
. (3)
Новые переменные можно также принимать как параметры, изменяющиеся посредством дополнительных управляющих сил [2]. С учетом новых переменных образуется расширенная система с лагранжианом 
и диссипативной функцией 
, которые удовлетворяют условиям: 
, 
. Полагая 
, 
, 
, уравнения динамики расширенной системы, разрешенные относительно производных, можно представить в виде:
. (4)
Из уравнений (1),(4) следует система линейных уравнений 
для определения управляющих воздействий 
, которая имеет общее решение
, 
. (5)
Правая часть равенства (5) складывается из произвольной скалярной величины 
, определителя 
, составленного из единичного вектора с единицей в столбце с номером 
, коэффициентов 
и произвольных величин 
, 
.
С учетом проведенных преобразований и равенств (3),(5), уравнения (2) приводятся к замкнутой системе дифференциальных уравнений динамики управляемой системы
(6)
Система уравнений (6) имеет инвариантное множество 
, определяемое уравнениями связей (1). Подбором величины и вектора 
, можно управлять изменением скорости движения изображающей точки по многообразию .
Стабилизация связей
Уравнения (3),(6) составляют систему дифференциально-алгебраических уравнений вида
, 
, 
, (7)
, 
Коэффициенты 
в уравнениях возмущений связей в системе (7) должны удовлетворять условиям асимптотической устойчивости тривиального решения 
. Стабилизация связей (1) при численном решении системы (6) методом Эйлера обеспечивается при выполнении условий 
, 
, где 
– остаточный член разложения функции 
в ряд по степеням 
[2].
Приложения
Приводятся результаты численного эксперимента по решению задачи управления перевернутым маятником, полученные с использованием системы аналитических вычислений.
Выводы
Изложенные методы стабилизации и результаты численных экспериментов свидетельствуют о стабилизации связей в требуемых пределах при использовании простейших разностных схем решения уравнений динамики.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, код № 10-01-00381.
Литература
1. Baumgarte J, Stabilization of constraints and integrals of motion in dynamical systems // Comp. Math. Appl. Mech. Eng.– Vol. 1 – 1972. Pp.1-16.
2. Моделирование динамических процессов различной природы // Проблемы аналитической механики и теории устойчивости. Сборник трудов, посвященный памяти академика . Изд-во «Наука».. 2009. С. 310-324.
3. Layton R. A. Principles of Analytical System Dynamics. N.-Y. Springer, 1998. 158 p.
4. Динамическая модель многоцеловых экономических объектов // Изв. ВУЗов – Авиационная техника – 1973 – 1 – С. 12 -17.
5. Моделирование динамики простейших экономических объектов как систем с программными связями // Вестник РУДН. Серия «Физ.-мат. науки». 2007, № 1. С. .25-34.
Modelling of controlled systems dynamics
Mukharlyamov R. G.
Peoples’ Friendship University of Russia, *****@***pfu. edu. ru
Modeling of system dynamics of led to construction of the differential equations having the constraints equations in partial integrals.
Key words – dynamics equations, program constraints, constraints stabilization, system, stability, numerical solution.
