О нелинейных колебаниях маятника переменной длины на вибрирующем основании

О НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЯХ МАЯТНИКА ПЕРЕМЕННОЙ ДЛИНЫ НА ВИБРИРУЮЩЕМ ОСНОВАНИИ

Московский авиационый институт (государственный технический университет), Москва, *****@***ru

Описана обобщенная схема усреднения системы с - малыми независимыми параметрами: получены уравнения первого и второго приближений, оценка точности приближения и величина асимптотически большего интервала времени. Рассмотрена задача о колебаниях маятника переменной длины на вибрирующем основании, когда частота вибраций большая, при этом амплитуды гармонических колебаний длины маятника и точки его подвеса малы. Получены усредненные уравнения первого и второго приближений, описаны бифуркации стационарных режимов в уравнениях первого приближения, а также во втором приближении при резонансе 1:2. Описана одна из возможных перестроек фазового портрета в окрестности резонанса 1:2 на основе численного исследования.

Ключевые слова – обобщенная схема усреднения, независимые малые параметры, маятник переменной длины, бифуркации стационарных режимов

1.  Усреднение стандартной системы

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений, содержащую малых параметров .

(1)

Здесь введены следующие обозначения: , , , -- векторные функции фазовой переменной и времени .

Применяя замену переменных в виде обобщенного ряда Крылова-Боголюбова

, (2)

получим уравнения первого

(3)

и второго приближений метода усреднения

(4)

Доказана обобщенная теорема Боголюбова, дающая обоснование точности приближения метода усреднения в первом приближении для случая периодической и почти периодической зависимости правых частей от времени (при условии ограниченности некоторого интеграла): точность приближения имеет первый порядок малости по малым параметрам на промежутке времени

2.  Маятник переменной длины на вибрирующем основании

Рассмотрим задачу о колебаниях математического маятника переменной длины на вибрирующем основании. В работах [1,2,3] впервые был описан эффект стабилизации верхнего положения равновесия маятника постоянной длины при большой частоте вибрации . В работах [4, 5] получены условия устойчивости верхнего положения равновесия для маятника переменной длины на вибрирующем основании.

Предположим, что точка подвеса маятника совершает гармонические колебания вдоль вертикальной оси : . В подвижных осях, связанных с вибрирующим основанием, уравнение колебаний маятника имеет вид

Введем три малых параметра по формулам

.

Введем новое время и новые переменные по формулам

Уравнения первого приближения метода усреднения совпадают с уравнениями классического случая (изменение длины маятника не влияет на первое приближение).

Усредненное уравнение второго приближения в окрестности резонанса имеет вид ():

Здесь , если . Стационарные решения при строгом резонансе () описываются равенствами

Имеем бифуркации верхнего и нижнего положений равновесия при . Эта поверхность не является линейчатой, поэтому подход, основанный на редукции задачи к одному параметру, не работает. Вычисления показывают, что при система имеет устойчивое верхнее и нижнее равновесия и два «косых» неустойчивых, при верхнее равновесие неустойчиво, нижнее устойчиво; при верхнее и нижнее равновесия неустойчивы, зато «косые» равновесия устойчивы.

Проведены численные исследования одной из возможных перестроек фазового портрета колебаний в окрестности резонанса. Показано, что изменение параметра от улевых значений до величин порядка ведет к смене устойчивости верхнего положения равновесия через расщепление сепаратрисы резонасного случая, сопровождающееся появлением стохастической паутины в окрестности этого равновесия, ее локализации, последующего стягивания в точку равновесия и формирования новой зоны колебаний в окрестности

Литература

1. Н. and В. S. J e f f e r e y s. Methods of Mathematical Physics// Cambridge, 1951. 488 р.

2. Маятник с вибрирующим подвесом// УФН. 1951. Т. 54, вып. 1. С. 7-20

3. Боголюбов методы в теории нелинейных колебаний М.: Наука. 1963. 410 с.

4. Методы исследования динамических систем типа “маятник”// Алма-Ата: Наука КазССР. 1981. 253 с.

5.Левин- Об устойчивости маятника переменной длины// Изв. АН СССР. Мех. твердого тела. 1973, № 1

On the nonlinear oscillations of pendulum with variable length on the vibrating basis

P. S. Krasilnikov

Moscow Aviation Institute, Moscow, *****@***ru

The generalized averaged method with m small independent parameters is described. The equations of the first and the second approximation and the estimation of accuracy of approach for periodic and almost - periodic cases are received. With the help of averaged method, the oscillations of pendulum with variable length on the vibrating basis are considered. The bifurcations of stationary pendulum motions are investigated.

Кеу words  – the generalized averaged method, small independent parameters, pendulum with variable length, the bifurcations of stationary motions