Матрицa отражения света от кристалла с произвольным тензором диэлектрической проницаемости

МАТРИЦA ОТРАЖЕНИЯ СВЕТА ОТ КРИСТАЛЛА С ПРОИЗВОЛЬНЫМ

ТЕНЗОРОМ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ

УДК 535 [012.2 : 3] : 543.4

ГНУ Институт физики твердого тела и полупроводников НАН Беларуси

220072, 7; e-mail: [e-mail]

(Поступила 22 ноября 2004)

Описаны точная и приближенная процедуры расчета матрицы отражения света от однородной среды с произвольным тензором диэлектрической проницаемости. Показано, что на практике в связи с малостью анизотропных добавок погрешности расчета по приближенным формулам находятся в рамках точности существующих методик эллипсометрических измерений.

Ключевые слова: спектральная эллипсометрия, анизотропная среда, диэлектрическая проницаемость.

Exact and approximate calculation procedures for calculating the matrix of light reflection from a homogeneous medium with an arbitrary permittivity tensor have been described. It is shown that in practice, in connection with smallness of anisotropic additions, the accuracy of the approximate formulas is within the limits of the experimental errors of ellipsometrc measurements.

Keywords: spectroscopic ellipsometry, anisotropic media, dielectric permittivity.

Введение. При спектральной эллипсометрии слоистых анизотропных сред, исследовании отражения света от кристаллов низших сингоний и изучении магнито-оптических эффектов отражения при произвольной ориентации вектора намагниченности неизбежно возникает задача отражения света от среды с произвольным тензором диэлектрической проницаемости. Широкое применение для решения данной задачи нашел матричный метод [1-4]. Основные вычислительные трудности данного метода связаны с нахождением четырехмерной матрицы прохождения всей структуры. Однако если рассматривать взаимодействие только на одной границе с анизотропной средой, и если отсутствуют волны в среде распространяющиеся в обратном направлении (например, из-за значительного поглощения), то отпадает необходимость вычисления матрицы прохождения и достаточны традиционные методы решения уравнений Максвелла. В настоящей работе задача отражения от полубесконечной однородной поглощающей анизотропной среды рассмотрена на основе методов, разработанных и его школой [5-8]. Обобщены результаты работы [8] на случай среды с произвольным тензором диэлектрической проницаемости и получено явное выражение матрицы отражения в случае слабоанизотропной среды [7].

Расчет. Ограничимся рассмотрением распространения плоской монохроматической волны, амплитуды электрического E и магнитного H полей которой удовлетворяют уравнениям Максвелла в следующем виде:

εE = – [m,H] H = [m,E] (1)

где ε – тензор диэлектрической проницаемости среды, на комплексные значения и симметрию компонент которого не накладывается никаких ограничений кроме det(ε)≠0, m=kc/ω – волновой вектор, нормированный на его величину в вакууме (вектор рефракции).

Вычисление детерминанта системы (1) дает уравнение Френеля в следующем виде:

m2(m,η̃m)+(m,ηm)–m2ηtr+1=0 (2)

где введен тензор η=ε-1 и тензор η̃=ε/det(ε), дуальный тензору η, компоненты которого равны соответствующим минорам тензора η, ηtr – след тензора.

МАТРИЦA ОТРАЖЕНИЯ СВЕТА ОТ КРИСТАЛЛА 561

 

Для простоты рассмотрим отражение волны, падающей под углом q из вакуума на полубесконечную анизотропную среду z>0 (плоскость падения y=0)[1]. Подстановка в (2) компонент вектора рефракции m=(sinq, 0, λ) для волны, возбуждаемой в среде дает характеристическое уравнение (далее s=sinq):

a4λ4+a3λ3+a2λ2+a1λ+a0=0 (3)

где a0=η̃xxs4–(ηyy+ηzz)s2+1, a1=(η̃xz+η̃zx)s3+(ηxz+ηzx)s, a2=(η̃xx+η̃zz)s2–(ηxx+ηyy), a3=(η̃xz+η̃zx)s, a4=η̃zz.

Для вычисления корней уравнения четвертой степени (3) используют как точные формулы [2], так и численные методы [3]. Пусть λ1 и λ2 два корня, соответствующие двум волнам, распространяющимся в среду (т. е. Im(λi)≥0), причем λ1≠λ2. Решение для вырожденных корней λ1=λ2 можно получить предельным переходом.

Из системы (1) получены следующие формулы для компонент безразмерных собственных векторов магнитного поля:

hix=ηyxλi2 –ηyzsλi

hiy=ηyyλi2+ηyys2–1 (4)

или равносильные им

hix=ηxxλi3–(ηxz+ηzx)sλi2+(ηzzs2–1)λi

hiy=ηxyλi3–ηzysλi2+ηxys2λi –ηzys3

на тот случай, если формулы (4) дают нулевое значение собственного вектора.

Для соответствующих векторов электрического поля имеем:

eix =(ηxxλi–ηxzs)hiy +ηxy(λi2+s2) eiy (5)

eiy =– hix/λi

Из граничных условий непрерывности компонент электрического и магнитного полей в плоскости z=0 получается следующая связь матрицы отражения R с собственными векторами (далее c=cosq):

(6)

где rpp=[(ch1y–e1x)(ce2y–h2x)–(ce1y–h1x)(ch2y–e2x)]/Δ, rss=[(ch1y+e1x)(ce2y+h2x)–(ce1y+h1x)(ch2y+e2x)]/Δ,

rps=2c(e1xh2y–e2xh1y)]/Δ, rsp=2c(e2yh1x–e1yh2x)]/Δ, Δ=(ch1y+e1x)(ce2y–h2x)–(ce1y–h1x)(ch2y+e2x).

Рассмотрим случай слабоанизотропной среды. Введем обозначения: ηij=ηδij+Δηij, где |η|>>|Δηij| (очевидно ηij=Δηij, при i≠j). Из предположения аналитической зависимости матрицы отражения от компонент η рассмотрим разложение в ряд по анизотропным добавкам Δηij:

rab=rab(o)+rabijΔηij +rabijklΔηijΔηkl+… (7)

где индексы a,b принимают значения p,s, а индексы i,j,k,l – значения x,y,z.

Получим следующее разложение матрицы отражения по анизотропным добавкам в первом приближении (далее λ=[(1–ηs2)/η]1/2):

(8)

где rpp(o)=(c–ηλ)/(c+ηλ), rss(o)= (c–λ)/(c+λ), rxx=–cλ/(c+ηλ)2, rxy=–c/η(c+ηλ)(c+λ), ryy=c/λη2(c+λ)2,

ryz=–cs/ηλ(c+ηλ)(c+λ), rzz=cs2/λ(c+ηλ)2 , rxz=cs/2(c+ηλ)2.

На рис. 1 и 2 приведены результаты расчетов отношения rsp/rpp при отражении света с длиной волны 0,63 мкм от поверхности монокристаллов Co и CuInSe2 в зависимости от угла поворота кристалла φ вокруг оси z (угол падения q=45o). В Co намагниченность (или ось гирации) ориентирована под углом 45o к оси z, а в CuInSe2 оптическая ось составляет 45o с осью z. Действительная и мнимая части rsp/rpp равны соответственно углу поворота плоскости поляризации и эллиптичности отраженного света в радианах, если подающее излучение поляризовано в плоскости падения и |rsp/rpp|<<1. Для расчетов использованы следующие ненулевые компоненты для Co: εxx=εyy=εzz=2,6764+10,6253i, εxy=–εyx=q, εyz=‑εzy=qcosφ, εxz=–εzx=–qsinφ, q=–0,2909+0.0708i. Для CuInSe2: εxx=εo+dcos2φ, εyy=εo+dsin2φ, εzz=εo+d, εxy=εyx=dsinφcosφ, εyz=εzy=dsinφ, εxz=εzx=dcosφ, d=(εe–εo)/2, εo=8,2614+3,4868i, εe=8,2060+3,3054i. Исходные данные для расчетов взяты из работ [9,10].

562 МЕРКУЛОВ В. С.

 

Рис. 1. Зависимости Re(rsp/rpp) (1) и Im(rsp/rpp) (2) от угла поворота φ кристаллов Co (a) и CuInSe2 (b).

Обсуждение результатов. Полученные точные выражения (3)-(6) позволяют вычислить матрицу отражения от среды с произвольным тензором диэлектрической проницаемости, причем значительно уменьшить вычислительные затраты по сравнению с матричным методом. Проведенные расчеты по точным и приближенным формулам совпали с относительной погрешностью 10-4 для Co и 10-3 для CuInSe2 (линии на рисунках совпадают), т. е. разность находится на пределе чувствительности существующих методик эллипсометрических измерений. Следует отметить, что в отличие от точных формул приближенные формулы остаются в силе в случае вырожденных корней. При этом отпадает необходимость в предельном переходе. Однако формулы (8) перестают работать при rpp(o)=1, rss(o)=1 и в окрестности l=0 (полное отражение) в связи с тем, что не выполняется предположение об аналитической зависимости матрицы отражения от η, что может приводить к возникновению корневых зависимостей от соответствующих анизотропных добавок. Приближенные формулы позволяют значительно упростить решение обратной задачи – нахождение компонент тензоров η и ε по данным эллипсометрических измерений.

Заключение. В явном виде получены выражения для матрицы отражения света от однородной среды с произвольным тензором диэлектрической проницаемости. Показано, что на практике в связи с малостью анизотропных добавок разность рассчитанных значений по точным и приближенным формулам пренебрежимо мала по сравнению с точностью существующих методик эллипсометрических измерений.

Автор выражает благодарность за замечания и полезное обсуждение результатов.

[1] D. W.Berreman. J. Opt. Soc. Am. 62 (1972) 502-510

[2] M. Schubert, T. E.Tiwald, J. A.Woollam. Applied Optics 38 (1999) 177-187

[3] С.П.Палто. ЖЭТФ 119 (2001) 638-648

[4] Š.Višňovský, R. Lopušník, M. Bauer, J. Bok, J. Fassbender, B. Hillebrands. Optics Express 9, (2001) 121-135

[5] . Теория гиротропии, Минск, Наука и техника (1976)

[6] , . Отражение и преломление света прозрачными кристаллами, Минск, «Наука и техника» (1976)

[7] . ЖПС 34 (1981) 524-529

[8] . Оптика и спектроскопия 67 (1983) 84-86

[9] X.Gao, D.W.Glenn, S.Heckens, D.W.Thompson, J.A.Wollam. J. Appl. Phys. 82 (1997) 4525-4531

[10] M. I.Alonso, K. Wakita, J. Pascual, M. Garriga, N. Yamamoto. Phys. Rev. B 63 (2001) 075203-1–075203-13

[1] Результаты рассмотрения легко обобщаются на случай внешней изотропной среды с произвольным показателем преломления с помощью известной перенормировки параметров.