О возмущениях модели конкурирующих видов с логистической поправкой

УДК 517.925.4

О ВОЗМУЩЕНИЯХ МОДЕЛИ КОНКУРИРУЮЩИХ ВИДОВ С ЛОГИСТИЧЕСКОЙ ПОПРАВКОЙ

Гродненский государственный университет им. Я. Купалы, Беларусь

При моделировании различных процессов реального мира часто используют дифференциальные уравнения. Однако большинство систем дифференциальных уравнений не интегрируются в замкнутом виде. В этом случае исследователи прибегают к изучению качественного поведения решений таких систем. На качественное поведение семейств решений систем дифференциальных уравнений существенное влияние оказывает наличие, количество и расположение периодических решений. Для выяснения вопросов о существовании и количестве периодических решений можно использовать отображение Пуанкаре (отображение за период) (см., например, [1]), знание которого позволяет решить вопросы существования и устойчивости периодических решений. Несмотря на то, что отображение за период определяется через общее решение системы, иногда удается найти явное выражение для отображения за период для неинтегрируемых в замкнутом виде систем. Эта возможность появилась благодаря разработанной профессором теории отражающей функции (см. [2, 3]). Теории отражающей функции (ОФ) посвящены работы , , Чжиньсинь Чжоу, , и других. Приведем необходимые для понимания сведения из теории ОФ.

Рассмотрим систему

(1)

решения которой однозначно определяются начальными условиями. Пусть общее решение этой системы в форме Коши имеет вид . Для каждой такой системы определяется (см. [2, с. 62; 3, с. 11]) отражающая функция , определенная в некоторой области, содержащей гиперплоскость .

Любая непрерывно дифференцируемая функция , удовлетворяющая условию , является ОФ целого класса систем вида (см. [2])

(2)

где – произвольная вектор-функция, при которой решения системы (2) однозначно определяются начальными условиями.

Поэтому все системы вида (1) разбиваются на классы эквивалентности вида (2) так, что каждый класс имеет свою ОФ, называемую ОФ класса. Все системы одного класса имеют один и тот же оператор сдвига (см. [1, с. 11]) на любом интервале . Поэтому все эквивалентные -периодические системы имеют одно и то же отображение за период .

Пусть система (1) и система

(3)

принадлежат одному классу эквивалентности, и пусть одна из этих систем, скажем система (1), является -периодической. Тогда, если решения и систем (1) и (3) соответственно продолжимы на отрезок то отображение за период для системы (1) есть , хотя система (3) может быть непериодической. Отсюда следует, что между -периодическими решениями системы (1) и решениями двухточечной задачи для системы (3) можно установить взаимно однозначное соответствие.

Таким образом, при изучении вопросов существования и устойчивости периодических решений, а также существования решений краевых задач у некоторой дифференциальной системы эту систему можно заменить эквивалентной (в смысле совпадения ОФ). Это легко сделать, когда ОФ данной системы известна. Однако иногда можно построить дифференциальную систему, эквивалентную данной, и в том случае, когда ОФ неизвестна. Это, в частности, можно сделать с помощью следующих утверждений (см. [4]).

Теорема 1. Пусть вектор-функция является решением дифференциального уравнения в частных производных

(4)

Тогда возмущенная дифференциальная система , , , где – произвольная непрерывная скалярная нечетная функция, эквивалентна дифференциальной системе (1).

Из теоремы 1 вытекает следующее утверждение (см. [5]).

Теорема 2. Любая стационарная система эквивалентна нестационарной системе , где – произвольная непрерывная нечетная скалярная функция.

Цель настоящей работы – поиск возмущений, не меняющих ОФ, для модели конкурирующих видов с логистической поправкой

(5)

которая используется при моделировании процессов в биологии, химии, экономике и социологии (см. также [6-8]).

Теорема 3. Пусть , , , если, кроме того, выполняются условия:

1) , то система (5) эквивалентна системе

2) , то система (5) эквивалентна системе

3) , то система (5) эквивалентна системе

4) , то система (5) эквивалентна системе

5) , то система (5) эквивалентна системе

где , – произвольные скалярные непрерывные нечетные функции.

Доказательство вытекает из теоремы 1 последовательной проверкой тождества (4) для каждого множителя при .

Полученные результаты позволяют использовать результаты исследования качественного поведения решений хорошо изученной системы (5) для изучения более сложных по своей природе нестационарных возмущенных систем. При этом, в частности, характер устойчивости решений, при выходящих из одной и той же точки, всех возмущенных (с сохранением ОФ) систем такой же как и у исходной системы.

Заметим, что требование нечетности функций для приложений часто не является существенным, так как обычно динамика процессов моделируется на неотрицательной временной полуоси.

Список литературы:

1.  Красносельский, сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / . – М.: Наука, 1966. –332 с.

2.  Мироненко, функция и исследование многомерных дифференциальных систем / . – Гомель: ГГУ им. Ф. Скорины, 2004. – 196 с.

3.  Мироненко, функция и периодические решения дифференциальных уравнений / . – Мн.: Университетское, 1986. – 76 с.

4.  Мироненко, дифференциальных систем, не меняющие временных симметрий / // Дифференциальные уравнения. – 2004. – Т.40, №10. – C. 1325-1332.

5.  Мусафиров, симметрии дифференциальных систем / . – Пинск: ПолесГУ, 2009. – 191 с.

6.  Мусафиров, Э. В. О возмущениях модели Костицына «хищник-жертва» / // Инновации в технологиях и образовании: сб. ст. участников VII Между - народной научно-практической конференции «Инновации в технологиях и образовании», 28–29 марта 2014 г.: в 4 ч. / Филиал КузГТУ в г. Белово. – Белово: Изд-во филиала КузГТУ в г. Белово, Россия; Изд-во ун-та «Св. Ки- рилла и Св. Мефодия», Велико Тырново, Болгария, 2014. – Ч. 2. – C.72-75.

7.  Мусафиров, дифференциальные системы, эквивалентные системе Лотки–Вольтерра с логистической поправкой / // Наука Красноярья. 2012. – №1 (01). – C. 97-104.

8.  Мусафиров, модели Костицына «хищник-жертва» / // Информационно-телекоммуникационные системы и технологии (ИТСиТ-2014): Материалы Всероссийской научно-практической конференции, Кемерово, 16-17 октября 2014 г. / Кузбас. гос. техн. ун-т им. . – Кемерово, 2014. – C.400-401.