Задача 1

В ящике в случайном порядке разложено двадцать деталей, причем пять из них стандартные. Рабочий берет наудачу три детали. Найти вероятность того, что, по крайней мере, одна из этих деталей окажется стандартной.

Решение:

Пусть событие А - по крайней мере, одна из трех извлеченных деталей окажется стандартной.

Событие А состоит из трех событий:

А1 – одна деталь стандартная, а две нестандартные

А2 – две детали стандартные, а одна нестандартная

А3 – все три детали стандартные

Будем составлять группы из m различных элементов, взятых из множества, состоящего из n элементов, не принимая во внимание порядок расположения этих m элементов. Тогда мы получим сочетания из n элементов по m .

Их общее количество обозначается  и может быть вычислено по формуле:

Для события А1:

Определим общее число исходов. Оно соответствует числу сочетаний из 20 деталей по 3:

n=1140.

Из 5 стандартных деталей выбирается 1. Число всевозможных сочетаний такого выбора равно числу сочетаний их 5 по 1 ()

Остальные две детали нестандартные. Число всевозможных сочетаний такого выбора равно числу сочетаний их 15 по 2 ()

Общее число благоприятных исходов:

m=* = 5*105=525

Тогда по формуле классического определения вероятности:

Р(А1)= m / n = 525/1140=0,461.

Для события А2:

Из 5 стандартных деталей выбирается 2. Число всевозможных сочетаний такого выбора равно числу сочетаний их 5 по 2 ()

Другая деталь – нестандартная (одна из 15).

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Общее число благоприятных исходов:

m=* = 10*15=150

Тогда по формуле классического определения вероятности:

Р(А2)= m / n = 150/1140=0,132.

Для события А3:

Из 5 стандартных деталей выбирается 3. Число всевозможных сочетаний такого выбора равно числу сочетаний их 5 по 3 ()

соответствует числу благоприятных исходов.

m=10.

Тогда по формуле классического определения вероятности:

Р(А3)= m / n = 10/1140=0,009.

События А1, А2 и А3 несовместны.

Р(А)=Р(А1)+Р(А2)+ Р(А3)= 0,461+0,132+0,009=0,601

Ответ: вероятность того, что, по крайней мере, одна из этих деталей окажется стандартной составит 0,601.

Задача 2

Два стрелка Иванов и Петров, имеющие по два заряда, поочерёдно стреляют в мишень. Вероятность попадания при одном выстреле равна 2/3 для первого стрелка и 5/6 для второго. Первый стрелок определяется по жребию. Для этого кидается монета и, если выпадает герб, то начинает Иванов, а, если цифра, то первым стреляет Петров. Выигрывает стрелок, попавший первым. Какова вероятность выигрыша для Петрова?

Решение:

Рассмотрим следующие гипотезы:

Н1 – выпал герб, значит первым стреляет Иванов

Н2 – выпала цифра, значит первым стреляет Петров

У монеты две стороны. Сторона выпадает случайно, поэтому вероятность выпадение герба или цифры Р(Н1)=Р(Н2)=0,5

Пусть событие А – Петров выиграл.

Если выпал герб и первым стреляет Иванов, то Петров может выиграть, если Иванов промахнется 1 раз, а Петров попадет с первого раза (событие А1), или Иванов промахнется два раза, а Петров попадет со второго раза (событие А2).

Пусть событие В1 – Иванов попал в мишень. Вероятность попадания Иванова р1=2/3, тогда вероятность противоположного события - промаха q1=1-р1=1-2/3=1/3. Попал Р(В1)=2/3, промахнулся Р(В2)=1/3

Пусть событие С1 – Петров попал в мишень. Вероятность попадания Петрова р2=5/6, тогда вероятность противоположного события - промаха q2=1-р2=1-5/6=1/6. Попал Р(С1)=5/6, промахнулся Р(С2)=1/6

Вероятность события, что Иванов промахнулся с первого раза, а Петров попал с первого раза:

Р(С1/В2)=5/6*1/3=5/18

Вероятность события, что Иванов промахнулся два раза, а Петров попал со второго раза (то есть один раз он промахнулся, а один раз попал):

Р(С1/В2/В2/С2)=1/3*1/3*1/6*5/6 = 5/324

Р(А/Н1)= Р(А1/Н1)+ Р(А2/Н1) = Р(Н1)* Р(С1/В2)+ Р(Н1)* Р(С1/В2/В2/С2) = 0,5*5/18 + 0,5*5/324 = 1/2*95/324 = 95/648=0,147

Если выпала цифра и первым стреляет Петров, то Петров может выиграть, если попадет с первого раза (событие А1), или Иванов промахнется первый раз, а Петров попадет со второго раза (событие А2).

Вероятность события, что Петров попал с первого раза:

Р(С1)=5/6

Вероятность события, что Иванов промахнется первый раз, а Петров попадет со второго раза (то есть один раз он промахнулся, а один раз попал):

Р(С1/В2/С2)=1/3*1/6*5/6 = 5/108

Р(А/Н2)= Р(А1/Н2)+ Р(А2/Н2) = Р(Н2)* Р(С1)+ Р(Н2)* Р(С1/В2/С2) = 0,5*5/6 + 0,5*5/108 = 1/2*95/108 =95/216= 0,440

Р(А)= Р(А/Н1)+ Р(А/Н2) = 95/648+95/216 = 380/648=95/162 = 0,586

Ответ: вероятность выигрыша Петрова составляет 0,586

Задача 3

Производится испытание пяти приборов, каждый из которых выходит из строя с вероятностью 0,1. Найти вероятность того, что хотя бы два прибора выйдут из строя при испытании.

Решение:

Событие А - хотя бы два прибора выйдут из строя при испытании, состоит из четырех событий:

А1 – ровно два прибора выйдут из строя при испытании,

А2 - при испытании выйдут из строя ровно три прибора

А3 - при испытании выйдут из строя ровно четыре прибора

А4 - при испытании выйдут из строя все пять приборов

Вероятность успеха р=0,1. Вероятность неуспеха q=1-р=1-0,1=0,9

Вероятность появление ровно двух успехов из 5 испытаний найдем по формуле Бернулли:

P( )=

Р(А1)=Р5(2) = = 0,0729

Р(А2)=Р5(3) = = 0,0081

Р(А3)=Р5(4) = = 0,00045

Р(А4)=Р5(5) = = 0,00001

События А1, А2, А3, А4 – несовместны, тогда

Р(А)=Р(А1)+ Р(А2)+ Р(А3)+ Р(А4)= 0,0729+0,0081+0,00045+0,00001 =

= 0,08146

Ответ: вероятность того, что хотя бы два прибора выйдут из строя при испытании составит 0,081.

Задача 4

Спортсмен должен последовательно преодолеть 4 препятствия, каждое из которых преодолевается им с вероятностью p = 0,9. Если спортсмен не преодолевает какое-либо препятствие, он выбывает из соревнований.

Построить ряд распределения, найти функцию распределения, математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение числа препятствий, преодолённых спортсменом.

Найти вероятность того, что спортсмен преодолеет:

а) не более двух препятствий;

б) более трёх препятствий.

Решение:

Найдем функцию распределения случайной величины – числа препятствий, преодолённых спортсменом. Оно может принимать значение от 0 до 4.

Х1=0

Так как если спортсмен не преодолевает какое-либо препятствие, он выбывает из соревнований, то вероятность того, что он не преодолеет ни одного препятствия совпадает с вероятностью того, что он не преодолеет первое препятствие – это вероятность противоположного события к тому, что он преодолеет первое препятствие.

р=0,9 q=1-p=1-0,9=0,1

Р(Х1)= q =0,1

Х2=1

Это значит, что спортсмен преодолеет первое препятствие, но не преодолеет второе.

Р(Х2)= p*q=0,9*0,1=0,09

Х3=2

Это значит, что спортсмен преодолеет первое и второе препятствие, но не преодолеет третье.

Р(Х3)=0,9*0,9*0,1=0,081

Х4=3

Это значит, что спортсмен преодолеет первое, второе и третье препятствие, но не преодолеет четвертое.

Р(Х4)=0,9*0,9*0,9*0,1=0,0729

Х5=4

Это значит, что спортсмен преодолеет все четыре препятствия:

Р(Х5)= 0,9*0,9*0,9*0,9=0,6561

События Х1… Х5 – образуют полную группу событий.

Проверка:

Р(Х1)+ Р(Х2)+ Р(Х3)+ Р(Х4)+ Р(Х5) = 0,1+0,09+0,081+0,0729+0,6561=1

Ряд распределения примет вид:

Хi

0

1

2

3

4

рi

0,1

0,09

0,081

0,0729

0,6561

Функция распределения случайной величины в дискретном случае является кусочно-постоянной и может быть найдена по формуле .

 

0, при х<0

0,1, при 0≤x<1

F(X)= 0,1+0,09=0,19, при 1≤x<2

0,1+0,09+0,081=0,271, при 2≤x<3

0,1+0,09+0,081+0,0729=0,3439, при 3≤x<4

0,1+0,09+0,081+0,0729+0,6561=1, при x≥4

Вероятность того, что спортсмен преодолеет не более двух препятствий – это вероятность того, что он преодолеет 0, 1 или 2 препятствия. То есть F(2)=0,271.

Вероятность того, что спортсмен преодолеет более трёх препятствий, то есть четыре препятствия: Р(Х5)= 0,9*0,9*0,9*0,9=0,6561

Вероятность того, что спортсмен преодолеет три препятствия и более (то есть 3 или 4) = Р(Х4)+ Р(Х5) = 0,0729+0,6561 = 0,729

Математическим ожиданием (средним значением) дискретной случайной величины X называется число:

Е(Х)= 0,1*0+0,09*1+0,081*2+0,0729*3+0,6561*4=3,1

Дисперсию удобно вычислять по формуле .

D(Х)=0,1*02 +0,09*12+0,081*22+0,0729*32+0,6561*42 -3,12 = 11,57-9,58= =1,99

Средним квадратичным отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии:

σ (Х) = √1,99 = 1,41

Задача 5

I. Из генеральной совокупности X сделана выборка объема n = 200. Требуется на основании этой выборки сделать аргументированное заключение о законе распределения генеральной совокупности и её основных числовых характеристиках. Для этого необходимо:

а) найти статистический ряд с числом интервалов, равным, например, 12;

б) построить гистограмму;

в) найти статистическую функцию распределения и построить ее график;

г) найти точечные оценки математического ожидания и дисперсии;

д) найти доверительный интервал для математического ожидания с заданной надёжностью (доверительной вероятностью);

е) на основании критерия согласия (Пирсона) проверить гипотезу о нормальном законе распределения генеральной совокупности.

II. По данным таблицы - группированной выборки двумерного вектора (X,Y), требуется найти выборочное уравнение прямой – линии линейной регрессии Y на X.

Исходные данные:

-1.006

0.386

-1.223

-0.591

-0.345

0.157

0.800

-0.155

-0.379

-1.023

1.306

-0.861

0.303

0.518

0.986

0.788

0.883

-0.098

-0.242

1.701

1.199

-1.230

-0.730

-1.492

0.643

-0.577

-0.224

0.997

-1.165

-0.494

-2.577

2.641

-1.143

-0.086

2.919

0.527

0.297

0.434

0.756

0.172

-2.086

-0.904

-1.413

-0.012

-1.248

1.671

-0.521

-0.025

1.164

0.354

0.866

-0.005

0.403

1.908

0.448

0.169

-0.731

-1.189

0.905

0.283

2.431

1.409

0.191

-0.165

0.889

0.804

-2.131

-0.754

1.458

1.650

0.026

0.885

0.011

-0.990

-0.104

0.174

-0.052

-0.182

1.813

0.346

0.110

1.757

-0.693

-0.732

1.073

-1.724

-1.810

0.947

-1.118

0.666

0.970

1.140

-1.105

0.894

1.547

-0.484

-0.086

-0.066

0.150

-0.264

0.866

-0.005

0.403

1.908

0.448

0.169

-0.731

-1.189

0.905

0.283

2.431

1.409

0.191

-0.165

0.889

0.804

-2.131

-0.754

1.458

1.650

0.110

1.757

-0.693

-0.732

1.073

-1.724

-1.810

0.947

-1.118

0.666

0.026

0.885

0.011

-0.990

-0.104

0.174

-0.052

-0.182

1.813

0.346

0.970

1.140

-1.105

0.894

1.547

-0.484

-0.086

-0.066

0.150

-0.264

-0.644

-0.149

0.365

1.601

1.307

0.041

-2.312

1.023

1.880

-1.422

-0.905

0.577

-0.548

0.732

-0.482

0.413

1.380

-0.489

-0.799

-0.755

-0.716

0.753

0.578

0.555

-1.752

0.597

1.390

-0.402

-0.560

0.157

0.007

-0.167

-1.955

-0.813

-0.926

1.924

-0.453

1.399

1.708

0.378

-2.814

-0.581

0.522

-0.539

0.922

0.714

-0.628

0.280

-0.644

0.178

Решение:

Найдём макисмальное и минимальное значение, шаг, карманы и число вариантов.

Макс

2,919

Мин

-2,814

Число_групп

12

200

Шаг

(2,919-(-2,814))/2=0,47775

Карманы

Ai

Bi

ni

 

-2,814

-2,33625

2

 

-2,33625

-1,8585

5

 

-1,8585

-1,38075

8

 

-1,38075

-0,903

18

 

-0,903

-0,42525

30

 

-0,42525

0,0525

34

 

0,0525

0,53025

34

 

0,53025

1,008

33

 

1,008

1,48575

16

 

1,48575

1,9635

16

 

1,9635

2,44125

2

 

2,44125

2,919

2

 

Всего

200

1.Найдём середины промежутков и выпишем варианты с их частотами.

ci

mi

-2,57513

2

-2,09738

5

-1,61963

8

-1,14188

18

-0,66413

30

-0,18638

34

0,291375

34

0,769125

33

1,246875

16

1,724625

16

2,202375

2

2,680125

2

n

200

2. Найдём математическое ожидание, дисперсию и стандартное квадратичное отклонение.

2. Находим ожидаемые значения msi числа появлений значений.

ci

mi

z1

pi

msi

-2,575125

2

14,16256

-2,58717

0,004838

0,967667

-2,097375

5

23,83438

-2,12269

0,012052

2,410314

-1,619625

8

23,27168

-1,65821

0,031748

6,349595

-1,141875

18

27,13564

-1,19372

0,067655

13,53106

-0,664125

30

16,87804

-0,72924

0,116634

23,32689

-0,186375

34

2,521332

-0,26476

0,162671

32,53424

0,291375

34

1,434885

0,199728

0,183554

36,7109

0,769125

33

15,40236

0,664212

0,167569

33,51385

1,246875

16

21,56423

1,128695

0,123764

24,75285

1,724625

16

42,96449

1,593179

0,073953

14,79063

2,202375

2

8,958573

2,057663

0,035749

7,149752

2,680125

2

13,45957

2,522146

0,019811

3,962253

200

1

3. Находим критическое и наблюдаемое значения статистики.

ci

mi

z1

pi

msi

Хи2

-2,575125

2

14,16256

-2,58717

0,004838

0,967667

-198,899

-2,097375

5

23,83438

-2,12269

0,012052

2,410314

2,782408

-1,619625

8

23,27168

-1,65821

0,031748

6,349595

0,428978

-1,141875

18

27,13564

-1,19372

0,067655

13,53106

1,475971

-0,664125

30

16,87804

-0,72924

0,116634

23,32689

1,908971

-0,186375

34

2,521332

-0,26476

0,162671

32,53424

0,066037

0,291375

34

1,434885

0,199728

0,183554

36,7109

0,200185

0,769125

33

15,40236

0,664212

0,167569

33,51385

0,007878

1,246875

16

21,56423

1,128695

0,123764

24,75285

3,095092

1,724625

16

42,96449

1,593179

0,073953

14,79063

0,098885

2,202375

2

8,958573

2,057663

0,035749

7,149752

3,709212

2,680125

2

13,45957

2,522146

0,019811

3,962253

0,97178

200

1

-184,153

Наблюдаемое значение статистики по абсолютной величине значительно больше критического. Гипотеза о нормальности распределения отвергается отвергается. Различие теоретических и наблюдаемых частот значимо т. е. не может быть объяснено случайностью.

Задача 6

Предлагается таблица группированных данных, на основании которой необходимо найти величины ni, i=1,…,k; nj , j=1,…, m; n; затем, используя формулы определить точечные оценки математических ожиданий - и , средних квадратичных отклонений - и , коэффициента корреляции - и получить выборочное уравнение линии регрессии.

Исходные данные

yj*

xi*

15

25

30

35

10

15

0

0

0

20

10

80

30

0

30

0

0

45

20

Решение:

Найдём эмпирические параметры:

(10-22,5)^2*15+(20-22,5)^2*120+(30-22,5)^2*65)/(120-1)=56,72

((15-26,625)^2*25+(25-26,625)^2*80+(30-26,625)^2*75+(35-26,625)^2*20)/(200-1)=29,38

(2250+ 0+0+0+3000+40000+18000+0

0+0+40500+21000-200*22,5*26,625)/((200-1)*7,53*5,42)=4937,6/((200-1)*22,5*26,625)=0,04141

Угловой коэффциент 0,041410*5,42/7,53=,029809

Уравнение эмпирической регрессии У на Х имеет вид

Литература

Минько АА. Статистический анализ в Excel-М.: Вильямс,2004

Тактаров вероятностей и математическая статистика – М. Ком Книга, 2010

Список использованной литературы

1.  Гмурман к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов. – М.: Высш. шк., 2009. – 400 с.

2.  Вентцель вероятностей: Учеб. для вузов. – 5-е изд. стер. – М.: Академия, 2010. – 576 с.

3.  онспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. – М.: Айрис - Пресс, 2009. – 288 с.

4.  Пугачев вероятностей и математическая статистика. – М.: Физматлит, 2006. – 400 с.