Анализ «лимитированного Мартингейла»

Анализ «лимитированного Мартингейла»

Рассмотрим пример Мартингейла с пределом ставки равным 64, т. е. отношение МАХ/МИН больше 64, но меньше 128. Тогда игровая прогрессия «лимитированного Мартингейла» имеет следующий вид: 11, 22, 43, 84, 165, 326, 647. Играя по данной прогрессии игрок, после 7 проигрышей подряд, не сможет больше повысить ставку из-за ограничения МАХ/МИН на игровом столе.

Рассмотрим следующую таблицу, которая иллюстрирует баланс игрока играющего по данной игровой системе с принятым ограничением предела ставки МАХ/МИН:

№	Ставка	Баланс игрока	Коментарий
Проигрыш	СуммаПроигрыша	Выигрыш	Всего
1.	1	-1	-1	+2	+1
2.	2	-1-2	-3	+4	+1
3.	4	-1-2-4	-7	+8	+1
4.	8	-1-2-4-8	-15	+16	+1
5.	16	-1-2-4-8-16	-31	+32	+1
6.	32	-1-2-4-8-16-32	-63	+64	+1
7.	64	-1-2-4-8-16-32-64	-127	-	-127
8.	1	-

Из таблицы видно, что при длине серии проигрышей большей 8 игрок проигрывает -127 фишек, а при меньших длинах серий игрок всегда выигрывает +1 фишку, т. е. имеется только 2 возможных варианта исхода: либо игрок выигрывает +1 фишку, либо проигрывает -127 фишек. Как говориться «третьего не дано». Исходя из данного свойства «лимитированного» Мартингейла проведем теоретический анализ.

Максимальную ставку прогрессии расчитаем по выражению:

(фишки).

В случае 8 проигрышей подряд игрок проиграет сумму фишек равную:

(фишек).

Вероятность появления события из 8 проигрышей подряд можно расчитать по выражению:

.

Частота появления данного события будет равна:

,

т. е. в среднем 1 раз в 206.816 спина.

Предположем, что игрок играет сериями по 206.816 спинов, тогда: среднее количество выигрышей и проигрышей в серии будет равно:

раз игрок выиграет в серии из 206.816 спинов, и

раз игрок проиграет в серии из 206.816 спинов.

Баланс в конце серии при длине игры равной 206.816 спинов и появлении 1 раз 8 проигрышей подряд будет равен (независимо, от того, когда появилась критическая серия из 8 проигрышей подряд):

(фишек),

т. е. баланс в общем случае равен количеству выигрышей в серии минус количество появления критических серий умноженных на сумму проигрыша равную -127, т. е.:

(фишек).

Результат расчета баланса игрока от количества появления критических серий и вероятность данного исхода для данной длины (206.816 спинов) серии представим в таблице.

n	0	1	2	3	4	….	k
Balance(n)	100.613	-26.384	-153.387	-280.387	-407.387	....	100.613-127×k
P, у. е.	0.242 (0.300)	0.3999	0.242	0.054	0.0043	....	-

МО «лимитированного» Мартингейла равно:

,

где: Cikl – количество серий по 206.816 спинов, Cikl=10-1000.

Т. е. МО такого Мартингейла гораздо выше, чем МО рулетки равное -2.7%.

Так же МО данного типа Мартингейла можно расчитать по выражению (для 1 серии):

.

Для серии произвольной длины (1000, 1 000 000 и более спинов). (НЕВЕРНО!!!!!!)

Из полученных результатов видно, что баланс игрока напрямую зависит только от количества выигрышей NWIN игроком между возникновением критических серий, и не зависит от величины средней ставки на данном диапазоне. Поэтому МО данного типа Мартингейла так же не зависит от величины средней ставки сделанной в процессе игры.

Для очистки совести сделаем расчет по классической теории и учитывая МО=-2.7% рулетки.

Расчитаем среднюю ставку используя формулы гипотез, тогда средняя ставка будет равна:

.

Тогда для «лимитированного» Мартингейла с максимальной ставкой равной 64, средняя ставка будет равна:

(фишки).

Тогда МО такого Мартингейла по «теории» должно быть равно:

Данные величины МО не совпадают. В первом случае МО=-12.758%, во втором МО=-9.984%.

В рассмотрении МО «лимитированного» Мартингейла была допущена серьезная неточность (ошибка)! Для игровых серий длиной много большей, чем 206.8 спинов, нельзя использовать данную методику расчета, т. е. разбивать весь диаппазон на серии длиной в 206.8 спинов – это не корректно. Попытаемся разобраться почему.

Для игрока будут критическими не только серии из 8 проигрышей подряд, но и из серий состоящих из 9, 10, 11 и более, проигрышей подряд.

Вывод: для игрока будут критическими все серии с длиной большей 8 проигрышей подряд.

Поэтому при решении задачи необходимо брать во внимание не вероятность появления 8 проигрышей подряд, а вероятность появления серии длинной большей или равной, 8 проигрышам подряд.

Вероятность данного события для длиных игровых серий можно расчитать исходя из суммы всех вероятностей возникновения серий длиной больше 8. Искомую вероятность можно расчитать по выражению:

.

Максимальная длина серии последовательных проигрышей для серии из N спинов может быть определенна по выражению:

.

Тогда для серии длинной в миллион спинов N = 1 000 000, получим:

.

Вероятность возникновения серии длиной большей критической при игре в N = 1 000 000 спинов, будет равна:

.

Частота появления данного события при игре в N = 1 000 000 спинов будет равна:

,

т. е. в среднем 1 раз в 100.631 спина.

Тогда в серии длиной в 1000000 спинов среднее количество выигрышей и проигрышей в серии будет равно:

раз игрок выиграет (+1 фишку) в серии из 1000000 спинов, и

раз игрок проиграет в серии из 1000000 спинов.

Баланс при длине игры равной из 1000000 спинов и появлении серий длинной менее 8 проигрышей подряд в будет равен (независимо, от того, когда появилась критическая серия из более 8 проигрышей подряд):

(фишки).

Откуда МО равно:

.

ВЫВОД: МО ограниченного Мартингейла сильно зависит от длины игры N, причем, чем длинее игра тем меньше МО!

По классической теории МО рулетки должно быть не зависимо от длины игры N и всегда равно МО=-9.984%, т. к. величина средней ставки остается неизменной. Но результаты классического анализа и проведенного сильно отличаются.

Вопрос: Какой анализ МО является более точным? И чем обьяснить данное различие в величинах МО рулетки и МО стратегии?

На мой взгляд классической подход анализа МО рулетки не учитывает реальные денежные балансы игрока играющего по стратегии, а учитывает только -2.7% для всех комбинаций выплат и ставок, а это не корректно. Так же не учитывает реальные динамики изменения ставки. Все это и приводит к существенным различиям в МО рулетки и МО стратегии.

Следует отметьт, тот факт, что МО рулетки влияет на игровой баланс, но не влияет на МО стратегии. В рассмотренном примере МО рулетки учитывалось при расчете количества выигрышей игроком, т. е. МО рулетки косвенно входит в МО стратегии. Но МО рулетки абсолютно не учитывает динамику изменения ставки.

ВЫВОД: Для анализа МО любой игровой стратегии достаточно решить систему линейных уравнений: одно уравнение описывает количество выигрышей и проигрышей игроком (с учетом МО рулетки равным -2.7%), а второе уравнение описывает динамику изменения ставки (-ок) в зависимости от отношения Выигрыш/Проигрыш игрока (данных уравнений может быть несколько), третье и четвертое уравнения описывают условия останова игры для случая проигрыша и случая выигрыша. Только анализ данной системы линейных уравнений может дать точный ответ о МО исследуемой стратегии.

Для анализа МО может быть применено математическое моделирование, на большие количество спинов. Но моделировать нужно сериями, напрмер, по 111-370 спинов, и на количество игр 1000, 10 000. По результатам математического моделирования можно определить реальный МО стратегии, по класической формуле определения МО:

.

Результаты данного анализа МО стратегии более приближенные к реальной жизни игрока. Данные интервалы взяты исходя из следующих соображений:

Игрок в день играет 111-370 спинов (2-10 часов), 250 дней в год в течении 40 лет, т. е. 10 000 игровых серий, или 111-370 спинов (2-10 часов), 100 дней в год в течении 10 лет, т. е. 1 000 игровых серий. На компьютере за несколько минут можно оценить по «жизненый» игровой баланс игрока, и его реальный МО.