Задача

Задача 3.

Расчеты на прочность и жесткость прямолинейной стальной балки при плоском изгибе

Вариант 61. Серия 2

Дано:

M=36 кНм,

P=18 кН,

q=40 кН/м,

α=5,

b=2,

g=3,

l=1.6 м,

m=0.5 м,

k=1.2 м,

p=0.8 м,

1)  Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Балка 1

Заменяем заделку реакциями M0 и Px, Py. Из схемы нагружения видно, что Px=0, для M0 и Py составляем уравнения равновесия. Для консольной балки реакции опоры определяются однозначно:

Н (58.8 кН)

Нм (-110.2 кНм)

Для определения Q и M применим метод сечений. В интересующем нас месте сделаем мысленный разрез балки, например, на расстоянии x от правого конца балки, совпадающего с началом распределенной нагрузки qk. Отбросим одну из частей балки, например левую, и рассмотрим равновесие правой части:

Для 0<x<(m+k)-l=(1.1+0.5)-1.5=0.1 м

Q=qx;

При x=0, Q=0 Н;

При x=0.1 м, Q=14000*0.1=1400 Н.

Для 0.1<x<0.5 м;

Q=qx+P;

При x=0.1 м, Q=14000*0.1+43000=44400 Н;

При x=0.5 м, Q=14000*0.5+43000=50000 Н;

Для 0.5<x<1.6 м,

Q=qk+P;

При x³0.5 м, Q=14000*0.5+43000=50000 Н.

Для M

M=-qx*x/2, 0<x<(m+k)-l=(1.1+0.5)-1.5=0.1 м;

При x=0, M=0 Нм;

При x=0.1 м, M=-14000*0.1*0.1/2=-70 Нм.

Для 0.1<x<0.5 м;

M=-qx*x/2-P*(x-0.1)

При x=0.1 м, M=-70 Нм

При x=0.5 м, M=-14000*0.5*0.5/2-43000*(0.5-0.1)=-18950 Нм.

Для 0.5<x<1.6 м,

M=-qk*(x-k/2)-P*(x-0.1)-M,

При x=0.5 м, M=-14000*0.5*(0.5-0.5/2)-43000*(0.5-0.1)-23000=-41950 Нм.

При x=1.6 м, M=-14000*0.5*(1.6-0.5/2)-43000*(1.6-0.1)=-30950 Нм.

Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки:

Балка 2

Заменяем шарниры реакциями Pa и Pb. Из схемы нагружения видно, что Px=0, для M0 и Py составляем уравнения равновесия. Для нахождения реакций опор составляем два уравнения

Н

Знак «-« означает, что направление реакции опоры противоположно принятому. В принципе это не соответствует приведенной на рисунке опоре (опора с шарниром и катками может иметь реакцию, направленную вертикально вверх).

Н

Для определения Q и M применим метод сечений. В интересующем нас месте сделаем мысленный разрез балки, например, на расстоянии x от левого конца балки.. Отбросим одну из частей балки, например правую, и рассмотрим равновесие левой части:

Для поперечной силы Q:

Для 0<x<1.5 м,

Q=Pa+qx;

При x=0, Q=-20 Н;

При x=1.1 м, Q=-20+14000*1.1=15380 Н;

При x=1.5 м, Q=-20+14000*1.5=20980 Н;

Для 1.5<x<2.7 м,

Q=Pa+ql-q(x-l);

При x=1.5, Q=15400 Н;

При x=2.7 м, Q=-20+14000*1.6-14000*(2.7-1.6)=6980 Н;

Для 2.7<x<3.0 м,

Q=Pa+ql-q(x-l)+P;

При x=2.7, Q=-10383+19000*1.5-19000*1.2+48000=43317 Н;

При x=3.0 м, Q=-10383+19000*1.5-19000*1.5+48000=37617 Н;

Для изгибающего момента M:

Для 0<x<1.1 м,

M=-Pa*x+qx2/2;

При x=0, M=0 Нм;

При x=1.1 м, M=-10383*1.1+19000*1.1*1.1/2=73 Нм;

Для 1.1<x<1.5 м,

M=-Pa*x+qx2/2-M;

При x=1.1 м, M=-10383*1.1+19000*1.1*1.1/2-26000=-25927 Нм;

При x=1.5 м, M=-10383*1.5+19000*1.5*1.5/2-26000=-20200 Нм;

Для 1.5<x<2.7 м

M=-Pa*x+ql(x-l/2)-M-q(x-l)*(x-l)/2;

При x=1.5, M=-20200 Нм;

При x=2.7 м, M=-10383*2.7+19000*1.5*(2.7-0.75)-M-19000*(2.7-1.5)*(2.7-1.5)/2=-12140 Нм;

Для 2.7<x<3.0 м

M=-Pa*x+ql(x-l/2)-M-q(x-l)*(x-l)/2+P*(x-2.7);

При x=2.7, M=-12140 Нм;

При x=3.0 м, M=-10383*3+19000*1.5*(3-0.75)-M-19000*(3-1.5)*(3-1.5)/2=0 Нм;

Балка 3

Заменяем шарниры реакциями Pa и Pb. Из схемы нагружения видно, что Px=0, для M0 и Py составляем уравнения равновесия. Для нахождения реакций опор составляем два уравнения:

Н

Н

Для определения Q и M применим метод сечений. В интересующем нас месте сделаем мысленный разрез балки, например, на расстоянии x от левого конца балки.. Отбросим одну из частей балки, например правую, и рассмотрим равновесие левой части:

Для поперечнй силы Q:

Для 0<x<0.375 м,

Q=-(2/l)*qx2,

При x=0, Q=0 Н;

При x=0.375 м, Q=-(2/1.5)*19000*0.3752=-3562.5 Н;

Для 0.375<x<0.675 м

Q=Pa-ql/8;

При x=0.375 м, Q=24342.5-3562.5=19780 Н;

При x=0.675 м, Q=24342.5-3562.5=19780 Н;

Для 0.675<x<1.375 м

Q=Pa-ql/8-P;

При x=0.675, Q=19780-48000=-28220 Н;

При x=1.375 м, Q=19780-48000=-28220 Н;

Для 1.375<x<1.875 м

Q=Pa-ql/8-P+q(x-1.375);

При x=1.375, Q=19780-48000=-28220 Н;

При x=1.875 м, Q=-28220+19000*0.5=-28220+9500=-18720 Н;

Для изгибающего момента M:

Для 0<x<0.375 м,

M=M-(4/6l)*qx3

При x=0, M=26000 Нм;

При x=0.375 м, M=26000-19000*0.3753*4/(6*1.5)=26000-445.3=25554.7 Нм;

Для 0.375<x<0.675 м,

M=M-l/8*q(x-l/6)+Pa*(x-l/4)

При x=0.375, M=25554.7 Нм;

При x=0.675 м, M=26000-1.5/8*19000*(0.675-1.5/6)+ 24342.5*(0.675-1.5/4)=31788.7 Нм;

Для 0.675<x<1.375 м

M=M-0.1875*q(x-0.25)+Pa*(x-0.375)-P(x-0.675)

При x=0.675 м, M=26000-0.1875*19000*(0.675-0.25)+24342.5*(0.675-0.375)-0=31788.7 Нм;

При x=1.375, M=26000-3562.5*1.125+24342.5*1-48000*0.7=-13265.3 Нм;

Для 1.375 <x<1.875 м

M=M-0.1875*q(x-0.25)+Pa*(x-0.375)-P(x-0.675)+q(x-1.375)*(x-1.375)/2

При x=1.375, M=26000-3562.5*1.125+24342.5*1-48000*0.7+0=-13734.9 Нм

При x=1.875, M=26000-3562.5*1.625+24342.5*1.5-48000*1.2+19000(0.5)(0.25)=0 Нм

Балка 4

Заменяем опоры (заделки) реакциями Pa и Pb и моментами Ma и Mb. Из схемы нагружения считаем, что вертикальные перемещения малы, и Px=0, для M и Py составляем уравнения равновесия. Для нахождения реакций опор составляем два уравнения статики:

Pa+Pb+q*k=0

Ma-Mb+Pa*3l+qk*(2l-k/2)=0

Система статически неопределима (4 неизвестных реакции и три уравнения статики –одно сил и два для моментов). Но есть звено CD, для которого в шарнирах моменты равны нулю Mc=Md=0;

Из условия статического равновесия для звена CD можно найти силы в шарнирах, составляем уравнения для звена CD (две неизвестных и два уравнения – система статически определима):

Pс+Pd+q*k=0

Mc=0

Mc=q*k*k/2+Pd*l=0

Н

Реакция направлена вниз принятому на рисунке направлению.

Pс=-(Pd+q*k)=-(-1583.3+19000*0.5)=-7916.7 Н

Реакция направлена вниз принятому на рисунке направлению.

Для звена AC:

Ma=Pc*l=7916.7*1.5=11875 Нм;

Pa=Pc=-7916.7 Н;

Для звена DB:

Mb=Pd*l=1583.3*1.5=2375 Нм;

Pb=Pd=-1583.3 Н;

Строим эпюры Q и M. Для звена AC поперечная сила постоянна Q=-7916.7 Н;

Для 0≤x≤1.5 м,

Q=Pa=-7916.7 Н;

Для звена CD:

Для 1.5≤x≤2 м,

Q=-Pc+q*(x-1.5);

При x=1.5 м,

Q=-7916.7 Н;

При x=2.0 м,

Q=1583.3 Н;

Q=0 при x=1.5+7916.7/19000=1.917 м;

Для 2.0≤x≤3 м,

Q=1583.3 Н;

Для 3.0≤x≤4.5 м,

Q=1583.3 Н;

Для 0≤x≤1.5 м,

M=Ma-Pa*x;

X=0, M=Ma=11875 Нм,

X=1.5 м, M=11875-7916*1.5=0

Для звена CD:

Для 1.5≤x≤2 м,

M=-Pc *(x-1.5)+q*(x-1.5)2/2 ;

При x=1.5 м,

M=0 Нм;

При x=2.0 м,

M=-1583.3 Нм;

при x=1.5+7916.7/19000=1.917 м, M=-1649.3 Нм

Для 2.0≤x≤3 м,

M=-Pc *(x-1.5)+q*0.5*(x-1.5-0.25) ;

При x=2.0 м,

M=-1583.3 Нм;

При x=3.0 м,

M=0 Нм;

Для звена DB;

M=Pd*x3;

При x=3 м, M=0 Н;

При x=4.5 м, M=2375 Нм.

Проведем проверку полученного решения для всей системы

Pa+Pb+q*k=-7916.7-1583.3+19000*0.5=-9500+9500=0,

Ma-Mb+Pa*3l+qk*(2l-k/2)=11875-2375-7916.7*4.5+9500*2.75=-0.15 Нм.

Значение -0.15 Нм – результат округления получаемых значений реакций заделок. Т. е. решение правильное.

Балка 5

На рисунке приведена заданная эпюра изгибающих моментов

Используем дифференциальную зависимость поперечной силы от изгибающего момента:

;

Разбиваем балку на три участка. Для первого участка изгибающий момент равен 0 на левом конце балки и отрицательный на всем участке – верхняя часть сечения балки работает на растяжение, а нижняя – на сжатие. Зависимость изгибающего момента от длины – квадратичная. Значит, для поперечной силы будет линейная зависимость от расстояния x. Резкое изменение угла наклона в шарнире A означает, что в шарнире приложена сила. Для второго участка изгибающий момент постоянный – отсюда следует, что поперечная сила равна нулю. Из этого можно сделать вывод, что сила (реакция шарнирной опоры A) равна и противоположна по знаку распределенной силе, приложенной на первом участке. Для третьего участка - скачок и резкое изменение угла наклона для изгибающего момента – в данной точке приложен внешний изгибающий момент и внешняя сосредоточенная сила, начинается линейное снижение изгибающего момента – поперечная сила постоянная до конца – до шарнира B. В шарнире приложена сила – реакция шарнирной опоры B. Для третьего участка можно найти значение Pb(или Q) из уравнения

Н;

Т. к. для третьего участка изгибающий момент положителен, то верхняя часть сечения балки сжата, а нижняя растянута – сила реакции шарнира B направлена вверх, а для поперечной силы (поворот против часовой стрелки)- отрицательное значение.

Q=-57000 Н;

На границе второго и третьего участков приложены внешние момент M и сила P. Т. к. после этого (если идти справа налево) поперечная сила равна нулю, то сила P равна Q и противоположна по направлению реакции опоры Pb. Вычисляем величину момента M:

Нм;

Момент направлен по часовой стрелке

Для первого участка допустим, что приложена распределенная нагрузка q1. Тогда поперечная сила:

, а изгибающий момент

, для точки A:

, , Теперь можно определить значение q1:

q1=38000 Н/м,

Qa=q1*l=38000*1.5=57000 Н, т. к. для первого участка изгибающий момент отрицательный (нижние слои балки сжаты), то распределенная нагрузка q1 направлена вниз, а поперечная сила вверх против часовой стрелки для левого конца первого участка балки – значение Q – отрицательное. Для опоры A справа нет поперечной силы (dM/dz=0), а слева Qa=-57000 Н. отсюда следует, что Pa=57000 Н и сила реакции опоры направлена вверх. На рисунке приведены эпюры изгибающих моментов, полученных поперечных сил и расчетная схема нагружения балки:

2 Подбор двутаврового сечения для балки 2

Дано:

[s]=160 МПа; [t]=0.5 [s]=80 МПа;

2.1 По эпюрам выбираем наиболее нагруженные участки балки. В данном случае это точки D и E. В точке D максимальный изгибающий момент, а в точке E наибольшее сочетание изгибающего момента и поперечной силы. Вначале рассмотрим точку D. Изгибающий момент МD=-25.9 кНм, поперечная сила QD=18.1*(1.1-0.5465)/(1.5-0.5465)=10.51 кН. Используем условие прочности по нормальным напряжениям:

Отсюда находим выражение для момента сопротивления и вычисляем его значение:

;

Ближайшее значение момента сопротивления Wx, превышающее полученное, у двутавра стального горячекатанного №20 ГОСТ8239-89: Wx=184 см3, высота h=20 см, ширина полок b=10 см, толщина стенки d=0.52 см, средняя толщина полки t=0.84 см, F=26.8 см2, Jx=1840 см4, m=21 кг/м.

< [s]=160 МПа.

Запас по напряжению составляет

Можно взять профиль двутавр №18а с W=159 см3, тогда получится превышение напряжений в балке, но всего лишь на , что меньше допускаемых 5%.

≈ [s]=160 МПа.

Запас по напряжению составляет ;

Определяем нормальные напряжения:

;

Па =±163 МПа;

При y=0 s=0, распределение по высоте – линейное.

2.2 Подобранное сечение проверить на прочность по касательным напряжениям, если [t]=(0.5¸0.6)[s]=80 МПа. Построить эпюру распределения касательных напряжений по высоте сечения, рассчитав t во всех характерных точках.

Зависимость касательных напряжений от координаты y

; где S’x –статический момент сопротивления сечения выше искомого уровня y’, d’x –ширина поперечного сечения в искомом уровне y’. Ширина двутавра меняется от d=5.1 мм (стенка) до d=100 мм (полка). Статический момент для полусечения S0x=89.8 см3;

Н/м4;

При у=0, d=5.1*10-3м , S0x=89.8*10-6 м3, t=735*106*89.8*10-6/5.1*10-3=12.94*106 Па, tmax=12.94 МПа < [t]=(0.5¸0.6)[s]=80 МПа.

Проверим для сечения E:

QE=43.3 кН,

Па =53.32 МПа<[t]=(0.5¸0.6)[s]=80 МПа.

Прочность балки по касательным напряжениям обеспечивается.

Для построения параболической кривой эпюры t для сечения D необходимо иметь еще не менее двух значений по y:

Выбираем y1=78.08 мм и y2=86.6 мм, d1=5.1 мм, d2=100 мм

S1x= S0x-d1*y1*y1/2=89.8-0.51*7.8*7.8/2=74.3 см3;

Па =10.71 МПа;

S2x= S0x-d1*y1*y1/2-(d1+d2)/2*(y2-y1)*(y2+y1)/2=74.3-5.25*0.86*8.23=37.13 см3;

Па =0.27 МПа;

2.3 Пользуясь соотношением и учитывая расположение опор изобразить вид изогнутой оси балки.

3 Для балки 1, изготовленной из хрупкого материала, имеющего различное сопротивление растяжению и сжатию, расположить наиболее целесообразно сечение, и определить допускаемое значение интенсивности распределенной нагрузки q, считая, что материал блки имеет [sраст]=90 МПа и [sсж]=350 МПа. Принять P=ql/2, M=ql2/10.

Дано: h=5 см, α=0.75, b=0.5,

Для треугольника:

Fтр=bh/2=5*3.75/2=9.375 см2, Sтр=bh2/6=15.625 см3.

Для полукруга:

Fпкр=p(bh)2/8=p*(2.5)2/8=2.45 см2, Sпкр=(bh)3/12=1.302 см3.

Для балки:

Fб= Fтр+ Fпкр=9.375+2.45=11.825 см2; Sб= Sтр- Sпкр=15.625-1.302=14.323 см3;

Координата ц. т. :

Yцт= Sб/ Fб=14.323/11.825=1.211 см;

Осевой момент инерции:

Jx1=26.273 см4.

Для данной балки с меньшими допускаемыми напряжениями на растяжение необходимо расположить сечение так, чтобы на краю балки растягивающие напряжения были меньше сжимающих, т. е. растягивающие напряжения д. б. в области с меньшим расстоянием от нейтральной линии.

Максимальный изгибающий момент Mx=-2.025q [кНм]=-2025q [Нм];

Максимальное напряжение на растяжение:

Отсюда можно найти q

Н/м

Максимальное напряжение на сжатие:

Отсюда можно найти q

Н/м;

Ответ: q£543 Н/м