КОНРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 (Вариант 1)
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
(спец. 080502, 080507 – все формы обучения)
.
1. На векторах 
построен параллелограмм. Найти:
a) угол между диагоналями параллелограмма;
b) площадь параллелограмма;
c) высоту параллелограмма, опущенную на вектор 
;
d) Пр
.
2. В треугольнике АВС: А(3;1), В(-3; 5), С(-4; 2) найти
1) длину стороны АВ;
2) внутренний угол А;
3) уравнение высоты, проведенной через точку С;
4) уравнение медианы, проведенной через точку С;
5) уравнение биссектрисы, проведенной из точки А.
3. По известным вершинам пирамиды А1(8,6,4), А2(10,5,5), А3(5,6,8), А4(8,10,7)
средствами векторной алгебры найти:
a) угол между ребрами А1А2 и А1А4;
b) площадь грани А1А2А3;
c) проекцию вектора А1А2 на вектор А1А4;
d) объем пирамиды.
4. По четырем точкам задачи 3 составить:
a) уравнение плоскости (P), проходящей через точки А1А2А3;
b) канонические уравнения прямой, проходящей через точки А1А4;
c) уравнения перпендикуляра к плоскости (P), проходящего через точку А4;
d) угол между плоскостью (P) и ребром А1А4.
5. a) Составить каноническое уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями
координат, зная, что сумма и разность полуосей соответственно равны 7 и 3.
Сделать чертеж.
b) Составить каноническое уравнение гиперболы, оси которой совпадают с
осями координат, зная, расстояние между вершинами равно 30, расстояние
между фокусами равно 34. Сделать чертеж.
6. Даны матрицы Q, S, D, G:
найти G + DT, ST + D, QG, QGD, QS;
убедиться в верности равенств: (QS)T = STQT, (DS)T = STDT;
найти Q-1 и сделать проверку.
, 
, 
, 
7. а) Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы:
b) Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. Указать
фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы
и записать общее решение в векторной форме: 
.
8. Доказать, что векторы 
, 
, 
образуют базис и найти
координаты вектора 
в этом базисе. Сделать проверку.
КОНРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 (Вариант 2)
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
(спец. 080502, 080507 – все формы обучения)
.
1. На векторах построен параллелограмм. Найти:
a) угол между диагоналями параллелограмма;
b) площадь параллелограмма;
c) высоту параллелограмма, опущенную на вектор ;
d) Пр.
2. В треугольнике АВС: А(10; 9), В(3; 0), С(4; 1) найти
1) длину стороны АВ;
2) внутренний угол А;
3) уравнение высоты, проведенной через точку С;
4) уравнение медианы, проведенной через точку С;
5) уравнение биссектрисы, проведенной из точки А.
3. По известным вершинам пирамиды А1(4,4,10), А2(7,10,2), А3(2,8,4), А4(9,6,9)
средствами векторной алгебры найти:
a) угол между ребрами А1А2 и А1А4;
b) площадь грани А1А2А3;
c) проекцию вектора А1А2 на вектор А1А4;
d) объем пирамиды.
4. По четырем точкам задачи 3 составить:
a) уравнение плоскости (P), проходящей через точки А1А2А3;
b) канонические уравнения прямой, проходящей через точки А1А4;
c) уравнения перпендикуляра к плоскости (P), проходящего через точку А4;
d) угол между плоскостью (P) и ребром А1А4.
5. a) Составить каноническое уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями
координат, зная, что большая ось равна 10, фокусное расстояние равно 8.
Сделать чертеж
b) Составить каноническое уравнение гиперболы, оси которой совпадают
осями координат, зная, что вещественная полуось равна 4, а вершины делят
расстояние между центром и фокусами в отношении 2:1. Сделать чертеж.
6. Даны матрицы Q, S, D, G:
найти G + DT, ST + D, QG, QGD, QS;
убедиться в верности равенств: (QS)T = STQT, (DS)T = STDT;
найти Q-1 и сделать проверку.
, 
, 
, 
7. a) Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы:
b) Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. Указать
фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы
и записать общее решение в векторной форме: 
.
8. Доказать, что векторы 
, 
, 
образуют базис и найти
координаты вектора 
в этом базисе. Сделать проверку.
КОНРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 (Вариант 3)
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
(спец. 080502, 080507 – все формы обучения)
.
1. На векторах построен параллелограмм. Найти:
a) угол между диагоналями параллелограмма;
b) площадь параллелограмма;
c) высоту параллелограмма, опущенную на вектор ;
d) Пр.
2. В треугольнике АВС: А(9;2), В(2; 8), C(3;3) найти
1) длину стороны АВ;
2) внутренний угол А;
3) уравнение высоты, проведенной через точку С;
4) уравнение медианы, проведенной через точку С;
5) уравнение биссектрисы, проведенной из точки А.
3. По известным вершинам пирамиды А1(4,6,5), А2(6,9,4), А3(2,10,10), А4(7,5,9)
средствами векторной алгебры найти:
a. угол между ребрами А1А2 и А1А4;
b. площадь грани А1А2А3;
c. проекцию вектора А1А2 на вектор А1А4;
d. объем пирамиды.
4. По четырем точкам задачи 3 составить:
a) уравнение плоскости (P), проходящей через точки А1А2А3;
b) канонические уравнения прямой, проходящей через точки А1А4;
c) уравнения перпендикуляра к плоскости (P), проходящего через точку А4;
d) угол между плоскостью (P) и ребром А1А4.
5. a) Составить каноническое уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями
координат, зная, что малая полуось равна 8, уравнения директрис равны
. Сделать чертеж.
b) Составить каноническое уравнение гиперболы, оси которой совпадают с
осями координат, зная, что фокусное расстояние равно 26, эксцентриситет
Сделать чертеж.
6. Даны матрицы Q, S, D, G:
найти G + DT, ST + D, QG, QGD, QS;
убедиться в верности равенств: (QS)T = STQT, (DS)T = STDT;
найти Q-1 и сделать проверку.
, 
, 
, 
7. a) Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы:
b) Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. Указать
фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы
и записать общее решение в векторной форме: 
.
8. Доказать, что векторы 
, 
образуют базис и найти
координаты вектора 
в этом базисе. Сделать проверку.
КОНРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 (Вариант 4)
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
(спец. 080502, 080507 – все формы обучения)
.
1. На векторах построен параллелограмм. Найти:
a) угол между диагоналями параллелограмма;
b) площадь параллелограмма;
c) высоту параллелограмма, опущенную на вектор ;
d) Пр.
2. В треугольнике АВС: A(5; -1), B(-3;5), C(-2;0) найти
1) длину стороны АВ;
2) внутренний угол А;
3) уравнение высоты, проведенной через точку С;
4) уравнение медианы, проведенной через точку С;
5) уравнение биссектрисы, проведенной из точки А.
3. По известным вершинам пирамиды А1(3,5,4), А2(8,7,4), А3(5,10,4), А4(4,7,8)
средствами векторной алгебры найти:
a. угол между ребрами А1А2 и А1А4;
b. площадь грани А1А2А3;
c. проекцию вектора А1А2 на вектор А1А4;
d. объем пирамиды.
4. По четырем точкам задачи 3 составить:
a) уравнение плоскости (P), проходящей через точки А1А2А3;
b) канонические уравнения прямой, проходящей через точки А1А4;
c) уравнения перпендикуляра к плоскости (P), проходящего через точку А4;
d) угол между плоскостью (P) и ребром А1А4.
5. a) Составить каноническое уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями
координат, зная, что малая полуось равна 12, эксцентриситет 
.
Сделать чертеж
b) Составить каноническое уравнение гиперболы, оси которой совпадают с
осями координат, зная, расстояние от одной из вершин до фокусов равны
4 и 16. Сделать чертеж.
6. Даны матрицы Q, S, D, G:
найти G + DT, ST + D, QG, QGD, QS;
убедиться в верности равенств: (QS)T = STQT, (DS)T = STDT;
найти Q-1 и сделать проверку.
, 
, 
, 
7. a) Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы:
b) Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. Указать
фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы
и записать общее решение в векторной форме: 
.
8. Доказать, что векторы 
образуют базис и найти
координаты вектора 
в этом базисе. Сделать проверку.
КОНРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 (Вариант 5)
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
(спец. 080502, 080507 – все формы обучения)
.
1. На векторах построен параллелограмм. Найти:
a) угол между диагоналями параллелограмма;
b) площадь параллелограмма;
c) высоту параллелограмма, опущенную на вектор ;
d) Пр.
2. В треугольнике АВС: A(6;2), B(-2;8), C(-1;3) найти
1) длину стороны АВ;
2) внутренний угол А;
3) уравнение высоты, проведенной через точку С;
4) уравнение медианы, проведенной через точку С;
5) уравнение биссектрисы, проведенной из точки А.
3. По известным вершинам пирамиды:А1(10,6,6), А2(-2,8,2), А3(6,8,9), А4(7,10,3)
средствами векторной алгебры найти:
a. угол между ребрами А1А2 и А1А4;
b. площадь грани А1А2А3;
c. проекцию вектора А1А2 на вектор А1А4;
d. объем пирамиды.
4. По четырем точкам задачи 3 составить:
a) уравнение плоскости (P), проходящей через точки А1А2А3;
b) канонические уравнения прямой, проходящей через точки А1А4;
c) уравнения перпендикуляра к плоскости (P), проходящего через точку А4;
d) угол между плоскостью (P) и ребром А1А4.
5. a) Составить каноническое уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями
координат, зная, что расстояние между директрисами равно 28
, малая
полуось равна 5. Сделать чертеж
b) Составить каноническое уравнение гиперболы, оси которой совпадают с
осями координат, зная, вещественная ось равна 8 и гипербола проходит
через точку (5, 12). Сделать чертеж.
6. Даны матрицы Q, S, D, G:
найти G + DT, ST + D, QG, QGD, QS;
убедиться в верности равенств: (QS)T = STQT, (DS)T = STDT;
найти Q-1 и сделать проверку.
, 
, 
,
7. a) Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы:
c) Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. Указать
фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы
и записать общее решение в векторной форме: 
.
8. Доказать, что векторы 
, , 
образуют базис и найти
координаты вектора 
в этом базисе. Сделать проверку.
КОНРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 (Вариант 6)
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
(спец. 080502, 080507 – все формы обучения)
.
1. На векторах построен параллелограмм. Найти:
a) угол между диагоналями параллелограмма;
b) площадь параллелограмма;
c) высоту параллелограмма, опущенную на вектор ;
d) Пр.
2. В треугольнике АВС: A(7;3), B(-1;9), C(0;4) найти
1) длину стороны АВ;
2) внутренний угол А;
3) уравнение высоты, проведенной через точку С;
4) уравнение медианы, проведенной через точку С;
5) уравнение биссектрисы, проведенной из точки А.
3. По известным вершинам пирамиды:А1(1,3,2), А2(5,2,6), А3(5,7,4), А4(4,10,9)
средствами векторной алгебры найти:
a) угол между ребрами А1А2 и А1А4;
b) площадь грани А1А2А3;
c) проекцию вектора А1А2 на вектор А1А4;
d) объем пирамиды.
4. По четырем точкам задачи 3 составить:
a) уравнение плоскости (P), проходящей через точки А1А2А3;
b) канонические уравнения прямой, проходящей через точки А1А4;
c) уравнения перпендикуляра к плоскости (P), проходящего через точку А4;
d) угол между плоскостью (P) и ребром А1А4.
5. a) Составить каноническое уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями
координат, зная, фокусное расстояние равно 16, эксцентриситет 
.
Сделать чертеж
b) Составить каноническое уравнение гиперболы, оси которой совпадают с
осями координат, зная, что мнимая ось равна 12, уравнения директрис
. Сделать чертеж.
6. Даны матрицы Q, S, D, G:
найти G + DT, ST + D, QG, QGD, QS;
убедиться в верности равенств: (QS)T = STQT, (DS)T = STDT;
найти Q-1 и сделать проверку.
, 
, 
, 
7. a) Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы:
b) Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. Указать
фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы
и записать общее решение в векторной форме: 
.
8. Доказать, что векторы 
, 
, 
образуют базис и
найти координаты вектора 
в этом базисе. Сделать проверку.
КОНРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 (Вариант 7)
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
(спец. 080502, 080507 – все формы обучения)
.
1. На векторах построен параллелограмм. Найти:
a) угол между диагоналями параллелограмма;
b) площадь параллелограмма;
c) высоту параллелограмма, опущенную на вектор ;
d) Пр.
2. В треугольнике АВС: A(8;3), B(0;9), C(1;4) найти
1) длину стороны АВ;
2) внутренний угол А;
3) уравнение высоты, проведенной через точку С;
4) уравнение медианы, проведенной через точку С;
5) уравнение биссектрисы, проведенной из точки А.
3. По известным вершинам пирамиды:А1(6,6,5), А2(4,9,5), А3(4,6,11), А4(6,9,3)
средствами векторной алгебры найти:
1) угол между ребрами А1А2 и А1А4;
3) площадь грани А1А2А3;
4) проекцию вектора А1А2 на вектор А1А4;
5) объем пирамиды.
4. По четырем точкам задачи 3 составить:
a) уравнение плоскости (P), проходящей через точки А1А2А3;
b) канонические уравнения прямой, проходящей через точки А1А4;
c) уравнения перпендикуляра к плоскости (P), проходящего через точку А4;
d) угол между плоскостью (P) и ребром А1А4.
5. a) Составить каноническое уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями
координат, зная, что большая ось в 3 раза больше малой, фокусное
расстояние равно 8. Сделать чертеж.
b) Составить каноническое уравнение гиперболы, оси которой совпадают с
осями координат, зная, расстояние между фокусами равно 14, мнимая
полуось равна 5. Сделать чертеж.
6. Даны матрицы Q, S, D, G:
найти G + DT, ST + D, QG, QGD, QS;
убедиться в верности равенств: (QS)T = STQT, (DS)T = STDT;
найти Q-1 и сделать проверку.
, 
, 
, 
7. a) Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы:
b) Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. Указать
фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы
и записать общее решение в векторной форме: 
.
8. Доказать, что векторы 
, 
, 
образуют базис и найти
координаты вектора 
в этом базисе. Сделать проверку.
КОНРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 (Вариант 8)
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
(спец. 080502, 080507 – все формы обучения)
.
1. На векторах построен параллелограмм. Найти:
a) угол между диагоналями параллелограмма;
b) площадь параллелограмма;
c) высоту параллелограмма, опущенную на вектор ;
d) Пр.
2. В треугольнике АВС: A(12;-2), B(4;4), C(5;-1) найти
1) длину стороны АВ;
2) внутренний угол А;
3) уравнение высоты, проведенной через точку С;
4) уравнение медианы, проведенной через точку С;
5) уравнение биссектрисы, проведенной из точки А.
3. По известным вершинам пирамиды:А1(7,2,2), А2(5,7,7), А3(5,3,1), А4(2,3,7)
средствами векторной алгебры найти:
1. угол между ребрами А1А2 и А1А4;
2. площадь грани А1А2А3;
3. проекцию вектора А1А2 на вектор А1А4;
4. объем пирамиды.
4. По четырем точкам задачи 3 составить:
a) уравнение плоскости (P), проходящей через точки А1А2А3;
b) канонические уравнения прямой, проходящей через точки А1А4;
c) уравнения перпендикуляра к плоскости (P), проходящего через точку А4;
d) угол между плоскостью (P) и ребром А1А4.
5. a) Составить каноническое уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями
координат, зная, что расстояния от одного из фокусов до конца большой оси
равны 4 и 16. Сделать чертеж.
b) Составить каноническое уравнение гиперболы, оси которой совпадают с
осями координат, зная, что угол между асимптотами равен 90˚, а малая ось
равна 10. Сделать чертеж.
6. Даны матрицы Q, S, D, G:
найти G + DT, ST + D, QG, QGD, QS;
убедиться в верности равенств: (QS)T = STQT, (DS)T = STDT;
найти Q-1 и сделать проверку.
, 
, 
,
7. a) Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы:
b) Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. Указать
фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы
и записать общее решение в векторной форме: 
.
8. Доказать, что векторы 
, 
, 
образуют базис и найти
координаты вектора 
в этом базисе. Сделать проверку.
КОНРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 (Вариант 9)
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
(спец. 080502, 080507 – все формы обучения)
.
1. На векторах построен параллелограмм. Найти:
a) угол между диагоналями параллелограмма;
b) площадь параллелограмма;
c) высоту параллелограмма, опущенную на вектор ;
d) Пр.
2. В треугольнике АВС: A(4;-1), B(6,5), C(7;0) найти
1) длину стороны АВ;
2) внутренний угол А;
3) уравнение высоты, проведенной через точку С;
4) уравнение медианы, проведенной через точку С;
5) уравнение биссектрисы, проведенной из точки А.
3. По известным вершинам пирамиды:А1(8,6,4), А2(10,5,5), А3(5,6,8), А4(8,10,7)
средствами векторной алгебры найти:
a. угол между ребрами А1А2 и А1А4;
b. площадь грани А1А2А3;
c. проекцию вектора А1А2 на вектор А1А4;
d. объем пирамиды.
4. По четырем точкам задачи 3 составить:
a) уравнение плоскости (P), проходящей через точки А1А2А3;
b) канонические уравнения прямой, проходящей через точки А1А4;
c) уравнения перпендикуляра к плоскости (P), проходящего через точку А4;
d) угол между плоскостью (P) и ребром А1А4.
5. a) Составить каноническое уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями
координат, зная, что большая полуось больше половины фокусного
расстояния на 2, малая полуось равна 6. Сделать чертеж.
b) Составить каноническое уравнение гиперболы, оси которой совпадают с
осями координат, зная, что угол между асимптотами 120˚, мнимая полуось
равна 6. Сделать чертеж.
6. Даны матрицы Q, S, D, G:
найти G + DT, ST + D, QG, QGD, QS;
убедиться в верности равенств: (QS)T = STQT, (DS)T = STDT;
найти Q-1 и сделать проверку.
, 
, 
,
7. a) Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы:
b) Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. Указать
фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы
и записать общее решение в векторной форме: 
.
8. Доказать, что векторы 
, 
, 
образуют базис и найти
координаты вектора 
в этом базисе. Сделать проверку.
КОНРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 (Вариант 10)
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
(спец. 080502, 080507 – все формы обучения)
.
1. На векторах построен параллелограмм. Найти:
a) угол между диагоналями параллелограмма;
b) площадь параллелограмма;
c) высоту параллелограмма, опущенную на вектор ;
d) Пр.
2. В треугольнике АВС: A(13;3), B(5;0), C(6;4) найти
1) длину стороны АВ;
2) внутренний угол А;
3) уравнение высоты, проведенной через точку С;
4) уравнение медианы, проведенной через точку С;
5) уравнение биссектрисы, проведенной из точки А.
3. По известным вершинам пирамиды:А1(7,7,3), А2(6,5,8), А3(3,5,8), А4(8,4,1)
средствами векторной алгебры найти:
a. угол между ребрами А1А2 и А1А4;
b. площадь грани А1А2А3;
c. проекцию вектора А1А2 на вектор А1А4;
d. объем пирамиды.
4. По четырем точкам задачи 3 составить:
a. уравнение плоскости (P), проходящей через точки А1А2А3;
b. канонические уравнения прямой, проходящей через точки А1А4;
c. уравнения перпендикуляра к плоскости (P), проходящего через точку А4;
d. угол между плоскостью (P) и ребром А1А4.
5. a) Составить каноническое уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями
координат, зная, что большая полуось больше малой на 1, фокусное
расстояние равно10. Сделать чертеж.
b) Составить каноническое уравнение гиперболы, оси которой совпадают с
осями координат, зная, что расстояние между вершинами равно 24,
расстояние между директрисами равно 
. Сделать чертеж.
6. Даны матрицы Q, S, D, G:
найти G + DT, ST + D, QG, QGD, QS;
убедиться в верности равенств: (QS)T = STQT, (DS)T = STDT;
найти Q-1 и сделать проверку.
, 
, 
, 
7. a) Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы:
b) Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. Указать
фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы
и записать общее решение в векторной форме: 
.
8. Доказать, что векторы 
, 
, образуют базис и найти
координаты вектора 
в этом базисе. Сделать проверку.
