Методические указания к лекционным занятиям

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Барнаульский государственный педагогический университет»

Кафедра

Теории и методики начального образования

Учебно-методический комплекс дисциплины

Методика преподавания математики

Методические указания к лекционным занятиям

Специальность

050708 «Педагогика и методика начального образования»

код наименование

Барнаул

2007

Примерная тематика и содержание текстов лекций

3 курс, 5 семестр

Лекция №1. Методика преподавания математики как наука. Цели и принципы построения НКМ.

1. Объект и предмет МПМ как науки.

2. Задачи МПМ как науки и учебного предмета.

3. Характеристика целей изучения математики в начальной школе.

4. Основные принципы построения содержания НКМ.

МПМ является прикладной интегративной наукой, соответственно как любая наука, она имеет определенные атрибуты.

Объект – процесс обучения математике младших школьников.

выделяет четыре компонента:

 

Эти компоненты образуют методическую систему.

Предмет - каждый из компонентов методической системы, а также те связи и отношения, которые существуют между ними.

Почему МПМ наука прикладная, интегративная? (синтез математических понятий, свойств, педагогических принципов и психологических закономерностей).

2. Задачи методической науки:

Ø  Зачем обучать? (цели обучения математики);

Ø  Чему учить? (содержание математического образования);

Ø 

Как учить с учетом психологических особенностей учащихся содержание?

Какие способы учебной работы использовать?

В какой последовательности изучать содержание?

Как обучать? (методы, приемы, формы обучения младших школьников)

Задача курса МПМ в вузе – подготовить студентов к методической деятельности, направленной на воспитание и развитие младшего школьника в процессе обучения математике.

Методическая деятельность предполагает овладение системой методических знаний и умений:

Ø  осознавать цель деятельность;

Ø  планировать свою деятельность и деятельность учащихся;

Ø  реализовывать намеченное;

Ø  осуществлять самоконтроль и самооценку деятельности.

3.  Основные цели НКМ зафиксированы в одном из главных документов – стандарте начального общего образования (эти цели конкретизированы в каждой программе).

Изучение математики на ступени начального общего образования «направлено на достижение следующих целей:

·  развитие образного и логического мышления, воображения; формирование предметных умений и навыков, необходимых для успешного решения учебных и практических задач, продолжения образования;

·  освоение основ математических знаний, формирование первоначальных представлений о математике;

·  воспитание интереса к математике, стремления использовать математические знания в повседневной жизни» (Стандарт начального общего образования по математике).

Таким образом, можно выделить три группы целей:

·  образовательные (обучающие);

·  развивающие;

·  воспитательные(см. распечатку - характеристика).

Знания – отражение в сознании учащихся математических терминов, понятий, законов, свойств, а также способов действий.

Умение – владение способом действия.

Навык – автоматизированное умение.

4. Содержание НКМ включает следующие разделы:

Ø  Арифметический материал (нумерация чисел, арифметические действия, их свойства и приемы вычислений);

Ø  Алгебраический материал;

Ø  Геометрический материал;

Ø  Величины;

Ø  Текстовые задачи.

Содержание может быть выстроено в соответствии с различными принципами.

1 принцип – концентрический: содержание рассматривается по концентрам, в каждом следующем концентре мы возвращаемся к уже изученному материалу, но переносим полученные знания на новые понятия.

Концентры:

·  Десяток

·  Сотня

·  Тысяча

·  Многозначные числа

2 принцип – тематический: позволяет сориентировать курс на усвоение системы понятий и общих способов действий (каждая следующая тема органически связана с предыдущей, повторение ранее изученного идет на более высоком уровне, в процессе обобщения).

Т1 Т2 Т3 Т4

Лекция №2. Развитие личности младшего школьника в процессе обучения математике.

1. Понятие мышления, его виды. Основные направления в развитии словесно-логического мышления у младших школьников.

2. Мыслительные операции и способы их развития у младших школьников.

3. Способы обоснования истинности суждений в НКМ.

1. Мышление - это способность человека рассуждать, представляющая собой процесс отражения объективной действительности в представлениях, суждениях, понятиях, умозаключениях. (Ожегов)

Мышление - психологический процесс познания, связанный с открытием субъективно нового знания, с решением задач, с творческим преобразованием действительности. (Немов)

Абстрактно-теоретическое мышление характеризуется тем, что совершается в форме понятий и рассуждений (Давыдов) и направлено на открытие законов и свойств объектов.

Словесно-логическое мышление

а) овладение приемами мыслительных операций: анализ, синтез, аналогия, сравнение, обобщение; б) овладение приемами рассуждений; в) овладение различными способами предматематического доказательства.

 

2.  Методика формирования основных мыслительных операций.

Основу логического мышления составляют мыслительные операции (логические приемы мышления, приемы умственных действий). Овладев этими приемами, ученики не только на более качественном уровне овладевают содержанием учебного материала, но и становятся более самостоятельными в решении учебных задач, могут рационально строить свою деятельность по усвоению знаний.

Среди различных методик формирования приемов мыслительных операций приоритет можно отдать тем, которые рассматривают данный вопрос с точки зрения формирования соответствующего вида деятельности, что предполагает овладение учащимися определенным способом деятельности.

Этапы развития основных мыслительных операций:

1) Подготовительный: цели - накопление опыта выполнения приемов под руководством учителя при выполнении заданий, реализующих обучающие цели; освоение некоторых операций, входящих в приемы умственных действий.

2) Специальное обучение приему: цель - выделение и осознание содержания приема.

3) Усвоение приема в процессе выполнения заданий: усвоить прием - значит при выполнении конкретного задания выбрать прием, выполнить всю систему операций и сделать вывод.

Формирование любой мыслительной операции проходит несколько стадий:

1)  стихийную, в ходе которой ученик осуществляет операцию, но не осознает, как он это делает;

2)  полустихийную, когда ученик, совершая операцию, не понимает существа этой операции;

3)  сознательную, когда ученик осознанно использует правила мыслительной операции и понимает, что эти правила специально сформулированы.

Основные положения по обучению приемам умственных действий в начальной школе:

1.   в начальной школе не предполагается овладение такими операциями как абстрагирование и обобщение, во-первых, в силу достаточной сложности операций, во-вторых, данные приемы характерны при переходе от представлений к понятию (в НКМ - уровень представлений);

2.   усвоению подлежат операции сравнения, аналогии, классификации, анализа и синтеза;

3.   внутри системы логических приемов существует определенная иерархия - в основе практически всех приемов лежат операции анализа, синтеза и сравнения, поэтому процесс обучения начинается именно с данных операций.

1) Анализ - выделение элементов данного объекта с целью их детального рассмотрения.

2) Синтез - соединение различных элементов, сторон объекта в единое целое.

В аналитико-синтетическую деятельность входят не только умения выделять и соединять элементы, но и умение включать их в новые связи, видеть их новые функции.

Методические приемы формирования анализа и синтеза:

1.  Рассмотрение данного объекта с точки зрения различных понятий.

·  как по-разному можно назвать квадрат?

·  расскажи все, что ты знаешь о числе 325.

·  прочитай равенство разными способами.

·  сколько треугольников на данном чертеже.

2.  Постановка различных заданий к данному математическому объекту (вариативные задания).

2, 4, 6, 8, 10...

·  по какому правилу записан ряд чисел? Продолжи его.

·  какие числа нужно вычеркнуть, чтобы каждое следующее число было на 4 больше предыдущего?

·  подбери пары чисел, разность которых равна 4...

2) Сравнение - установление сходных и различных признаков объектов.

Операциональный состав сравнения:

·  выделение признаков объекта;

·  расчленение признаков на существенные и несущественные;

·  выделение признаков, являющихся основанием сравнения;

·  сопоставление;

·  противопоставление;

·  вывод.

Этапы формирования приема:

I. Выделение признаков или свойств одного объекта - первые уроки математики (дочисловой период )

Приемы:

·  показ образца (что вы можете рассказать о предмете, о его цвете, форме, размере - мы назвали его свойства. Послушайте, какие свойства можно выделить еще - вывод - любой предмет обладает множеством признаков)

·  соотнесение данного объекта с другими объектами (выделяются признаки предмета, затем сопоставляется с другими с предметами)

·  составление рассказа о свойствах объекта

·  составление (называние) объекта по перечисленным свойствам.

II. Установление сходств и различий между признаками двух объектов.

Введение термина признак, перенесение операции с реальных объектов на математические символы.

Виды сравнения на данном этапе:

1.Сравнение математических объектов между собой:

·  выражений;

·  чисел;

·  равенств;

·  текстов задач;

·  уравнений и др.

2.   Сравнение предметных и символических объектов: (н-р, соотнесение рисунка и выражения)

Н-р, какому рисунку соответствуют записи: 2*3; 2+3

Основное затруднение - выделение основания для сравнения - можно предлагать задания 3 видов:

·  выполнение задания, в котором основание сравнения уже указано (сравни выражения по их значению);

·  выполнение заданий, в которых основание задается неявно (поставь знаки больше, меньше, равно);

·  выполнение заданий, в которых основание не указывается вообще (как можно расположить числа 12,9,7,15,24)

III. Выявление сходства и различия между признаками 3, 4 и более объектов.

Показатель сформированности операции сравнения - умение использовать прием сравнения для выполнения более сложных задач без указания на сравнение:

·  убери лишний предмет;

·  расположи числа в порядке возрастания;

·  продолжи ряд и др.

3) Классификация - разбиение множества на попарно не пересекающиеся подмножества (классы).

Условия осуществления классификации:

·  ни одно из множеств не пусто;

·  подмножества попарно не пересекаются;

·  объединение всех подмножеств составляет данное множество.

Овладение операцией классификации происходит постепенно и связано с применением классификации к различных объектам.

Этапы обучения:

1.  Подготовительный – формирование умений выделять разные признаки предметов, сравнивать и обобщать по этим признакам.

Виды заданий:

Ø  Задания, в которых требуется дать название какой-либо группе объектов.

Ø  Задания, в которых по названию группы нужно подобрать объекты в нее входящие.

Ø  Задания, в которых нужно найти и добавить несколько объектов, подходящих для данной группы.

Ø  Задания, в которых нужно определить объект, не подходящий в данную группу.

2.  Обучение классификации(условия).

Виды заданий:

Ø  Задания на определение, по какому основанию объекты разбиты на группы;

Ø  Задания на разбиение на группы по заданному учителю основанию;

Ø  Задания на нахождение основания и разбиения объектов на группы;

Ø  Комбинированные задания, состоящие из заданий нескольких видов.

4) Аналогия - перенос признаков с одного объекта на другой на основании их сходства.

Требования к методике формированию данного умственного действия:

1.   аналогия основывается на сравнении, поэтому успех ее применения зависит от того, насколько ученики овладели операцией сравнения;

2.   для проведения аналогии необходимо иметь два объекта, один из которых известен, а второй с ним сравнивается (аналогия способствует систематизации знаний);

3.   необходимо в доступной форме разъяснить суть этого приема младших школьникам, объяснив, что в математике нередко новый способ действий можно открыть по догадке, сопоставив известную информацию с новым знанием;

4.   для получения верного вывода по аналогии сравниваются существенные признаки (иначе вывод может быть неверен) - н-р, (4+3)*2 и (4*3)*2, поэтому необходимо предлагать специальные задания на выяснение достоверности вывода, полученного по аналогии.

Темы НКМ:

1) Алгоритм письменного сложения 3 и многозначных чисел;

2) Переместительное свойство умножения;

3) Алгоритмы письменного умножения и деления на 2,3значные числа.

4) Обобщение - выделение существенных признаков математических объектов, их свойств, отношений.

Основные виды умозаключений - индуктивное, дедуктивное, по аналогии.

Умозаключение - логическая операция, в результате которой из одного или нескольких взаимосвязанных по смыслу предложений, получается предложение, содержащее новое (по отношению к исходным) знание.

Обобщение чаще всего является результатом индуктивных рассуждений, а также используются обобщения - соглашения (а*1=а).

Последовательность действий учителя при организации обобщения индуктивным способом:

*  продумывание и подбор математических объектов и последовательности вопросов для целенаправленного наблюдения и сравнения;

*  рассмотрение как можно большего числа частных объектов, в которых повторяется закономерность, которую дети могут подметить;

*  варьирование различных частных объектов (схем, таблиц, предметных картинок), в каждом из которых отражается закономерность;

*  помощь детям в словесной формулировке выводов, постановка наводящих вопросов, корректировка и уточнение ответов детей.

Темы НКМ:

1) Переместительное свойство сложения, умножения.

2) Принцип образования натурального ряда чисел.

3) Взаимосвязь между компонентами и результатом действий (дли * и :).

Необходима специальная работа по формированию критичности мышления, т. е. создание ситуаций, когда индуктивный вывод оказывает недостоверным.

Н-р, сравни выражения, найди общее в неравенствах и сделай вывод :

2+3 2*3 , но 0+1>0*1 и 1+2>1*2

3+4 3*4

3. Обучение младших школьников способам обоснования истинности суждений.

Суждения

 

Единичные	Частные	Общие
утверждается или отрицается относительно одного предмета	некоторой совокупности предметов данного класса	относительно всех предметов данной совокупности

В математике все предложения доказываются дедуктивно (на основе общей посылки и частной посылки высказывается заключения).

В НКМ используются не только дедуктивные, но и специфические формы предматематического доказательства:

1) эксперимент;

Один из наиболее распространенных способов предматематического доказательства, истинность знаний устанавливается в данном случае путем сопоставления их с действительностью, с результатами непосредственного чувственного восприятия. Мысль в данном случае движется от конкретного к абстрактному (создается условный, конкретный или мысленный образ ситуации, модель).

Этапы осуществления эксперимента:

1) создание конкретного, условного или мысленного образа рассматриваемой ситуации

Н-р, верна ли запись 3 < 5 (выделяются ориентиры)

2) построение модели - выполняются действия по выделению пар предметов

3) соотнесение предметов и символической записи;

4) формулировка обобщенного вывода, абстрагируясь от конкретного содержания.

2) неполный (полный) индуктивный вывод;

Индуктивный вывод связан с наблюдением, анализом, сравнением, выявлением общих закономерностей и обобщением (см. обобщение) - неполная и полная (н-р, все двузначные числа, записанные одинаковыми цифрами, делятся на 11 - полная)

·  Реши примеры, сравни их и сформулируй общее правило. Дополни своими примерами.

335:5*5= 55:11=

748:4*4= 33:11=

954:9*9= 99:11=

3) измерение;

Сопоставление истинности высказываемых суждений сданными, полученными в результате измерения. Обоснование зависит от точности измерительных приборов (синий отрезок длиннее красного).

4) умозаключение по аналогии;

См. выше

5) дедуктивный вывод;

Мысль движется от общего к частному, отдельные факты подводятся под соответствующее общее правило, закон, понятие. Н-р,

·  реши уравнение, какими знаниями ты пользовался? 534+х=987

·  выполни сложение рациональным способом. Какие законы сложения ты использовал? 49+27+87+31+51+13

·  Найди значение выражений. Какие правила и законы арифметических действий ты применял?

34*3 167+248:4+369

18+27+23 231*4:3-159

·  Верно ли ученик выполнил сравнение выражений? Можно ли проверить это без вычислений?

(385*2)*5=385*(2*5)

75+13=14+75

178*34<178*30+178*4

·  Выполни каждое задание второго столбика, не прибегая к вычислениям, воспользовавшись одним из правил первого столбика. В скобках укажи номер правила.

1) Сравни выражения и поставь знаки<, >,= 25*4 4*25 2) Сравни выражения и поставь знаки<, >, = 86-24 86-27 29-7 29-12 3)   Как быстро найти сумму в каждом столбике? 9 9 9 9 12 15 16 16 30 30 30 32 40 40 40 40 91 ? ? ? 4)   Сравни выражения и поставь знаки <, >, = 800:40 800:20 174:6 174:2

1) Если вычитаемое увеличить на несколько единиц, не изменяя уменьшаемого, то разность уменьшится на столько же единиц. 2) Если делитель уменьшить в несколько раз, не изменяя при этом делимого, то частное увеличится во столько же раз. 3) От перестановки множителей произведение не меняется. 4) Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, не изменяя при этом другие, то сумма увеличится на столько же единиц.

6) вычисление.

Истинность высказываемых суждений обосновывается с помощью вычислений (проверь, верно ли произвели сравнение выражений)

Все способы используются во взаимосвязи.

Лекция №3. Методика формирования понятия «число» и изучение нумерации чисел в НКМ.

1. Теоретические основы изучения чисел в НКМ.

2. Цели изучения нумерации чисел в НКМ.

3. Содержание и способы изучения нумерации чисел в НКМ.

1. Какие подходы к раскрытию данных понятий и их свойства мы знаем из математики?

Натуральное число

 

С точки зрения аксиоматической теории: число является порядковым, т. е. это элемент упорядоченного множества - натурального ряда; непосредственно следует; ему непосредственно предшествует; получает из предыдущего прибавлением 1, из следующего вычитанием 1, показывает номер элемента при счете

С точки зрения теоретико-множественного подхода: число элементов конечного множества, общее свойство класса конечных равномощных множеств; является результатом счета

С точки зрения измерения величин: результат измерения величин

Десятичная система счисления позиционная (особенности раскрыть).

В традиционной системе обучения понятие натурального числа, как и в средней школе является неопределяемым, т. е. основным. Постепенно представления расширяются и изучаются перечисленные свойства. Дети не могут дать определение натурального числа, но они могут рассказать о конкретном числе (чем дальше изучают, тем больше, н-р, что ты знаешь о числе 16).

Последовательность изучения свойств определяется тем математическим подходом, который выбран за основной. Ведущим подходом в традиционной системе является теоретико-множественный. Однако существуют экспериментальные программы, в которых ведущим является подход к числу как результату измерения величин или параллельное изучение всех подходов.

2. Цели:

1)  сформировать представление о натуральных числах от 1 до миллиона, а также о числе и цифре0;

2)  о принципе образования натурального ряда чисел; о свойствах натурального ряда чисел;

3)  о позиционной десятичной системе счисления;

4)  сформировать представление о различных счетных единицах (10, 100, 1000), о разряде, классе, о соотношении разрядных единиц в 2, 3, и многозначных числах;

5)  сформировать умение устанавливать соответствие между числом и характеризуемым им множеством предметов, а также между числом, его названием и обозначением;

6)  сформировать умения читать, записывать, определять десятичный состав 2,3, многозначных чисел и сравнивать числа на основе их разрядного состава

7)  сформировать умение складывать и вычитать числа на основе их разрядного состава.

3) Содержание и последовательность изучения нумерации:

Изучение нумерации осуществляется концентрически (традиционная программа)

1.  Методика изучения нумерации в подготовительный (дочисловой) период.

2.  Методика изучения нумерации в концентре 10.

3.  Методика изучения нумерации в концентре 100.

4.  Методика изучения нумерации в концентре 1000.

5.  Методика изучения нумерации в концентре «Многозначные числа».

Или тематически (программа ) :

1) число и цифра

2) однозначные числа

3) числовой луч

4) десяток

5) двузначные числа

6) трехзначные числа

7) пяти и шестизначные числа

Концентрический принцип:

1) Основные направления работы в подготовительный период:

счет предметов

сравнение предметов по разным признакам; сравнение групп предметов по количеству

пространственные представления

временные представления

2) Концентр «Десяток».

Образование числа - получение соответствующего множества путем уменьшения или увеличения количества элементов на 1.

Предмет.

образ числа Числовая фигура

# # #

обозначение числа знаком

ТРИ

3

Ñ Ñ Ñ

1, 2, 3, 4, 5, 3<5 3 =2+1

название числа

2. Называние соответствующего числа и обозначение его цифрой.

Осознание разницы между понятием число и цифра при изучении однозначных чисел представляет для ребенка трудность, поэтому основной прием здесь - показ образца.

Закончи предложение:

запишем число с помощью...

в записи числа использовались...

сравним...

приготовьте карточки с...

складываем...

Обучение письму цифр проводится в соответствии со следующими этапами:

·  демонстрация образца цифры, выделение под руководством учителя составляющих ее элементов (палочки, овалы, волнистые линии);

·  показ учителем образца написания цифры (на большой клетке доски с пояснением);

·  «прописывание» цифр в воздухе (учитель комментирует и прописывает, стоя спиной к детям);

·  прописывание нескольких цифр ребенком в тетради (наблюдение учителя);

·  дети подчеркивают самые удачные цифры и дописывают до конца строчки (1-2).

3. Определение места данного числа в натуральном ряду.

4. Сравнение чисел.

Учащиеся уже имеют опыт сравнения чисел:

5. Усвоение состава числа.

Основной прием: организация предметных действий по объединению двух множеств предметов или разбиение данного множества на два подмножества.

Упражнения:

·  как можно разложить 5 яблок в два корзины (6 ягод на два торта);

·  посели в домик соответствующие числа (заполни квадраты);

·  решение примеров с «окошками» (сколько надо прибавить к 3, чтобы получить 5);

·  дополни до 5 и т. д.; 5 это 3 ...

·  составление и запись примеров по схеме, иллюстрации, предметным действиям.

II.  В концентре 100 выделяются два этапа: нумерация от 11 до20 и нумерация от 21 до 100.

Необходимость поэтапного изучения нумерации объясняется следующим:

·  особенности образования названий и записи чисел от 11 до 20;

·  случаи сложения и вычитания с переходом через разряд с результатом до20 относятся к табличным случаям, поэтому их нужно рассмотреть особо.

В любом концентре нумерация изучается поэтапно:

1) подготовительная работа;

2) устная нумерация;

3) письменная нумерация;

4) нумерационные случаи сложения и вычитания.

1) подготовительная работа (счет одиночных предметов для воспроизведения прямой и обратной последовательности от 1 до20; счет группами предметов, парами, тройками);

2) устная нумерация:

-образование десятка (выполнение предметных действий всеми учащимися);

-освоение принципа образования и называния чисел второго десятка; разрядный состав числа (основной прием: присчитывание по одному и иллюстрирование десятичного состава числа);

-представление о десятке как об удобной счетной единице (основной прием противопоставление - счет двойками, тройками, десятками когда результат находим быстрее?).

3) письменная нумерация:

- как десятичная группировка единиц отражается в записи числа;

- как изменится значение цифр в записи числа в зависимости от занимаемой позиции.

План работы по изучению письменной нумерации: при помощи пучка палочек и отдельных палочек иллюстрируется число, иллюстрация выносится на абак; при помощи разрезных цифр обозначается количество десятков и единиц, выясняется, что обозначает каждая цифра в записи, показывается образец записи и прочтения числа.

Принципиального отличия в изучении нумерации от 21 до 100 нет. Основная задача учителя - осуществить перенос знаний учащихся о числах второго десятка в новую числовую область, подчеркнув аналогию в нумерации чисел от 21.

4) нумерационные случаи сложения и вычитания:

Þ  а+1, а –1 (свойства натурального ряда чисел, понятия последующий и предыдущий);

Þ  прибавление к целому числу десятков однозначного числа (разряд, разрядное слагаемое, умение представлять число в виде суммы разрядных слагаемых);

Þ  вычитание всех десятков из числа;

Þ  вычитание из двузначного числа всех единиц.

Методика введения вычислительного приема:

1.  иллюстрирование с помощью пучков и отдельных палочек двузначного числа;

2.  выполнение операции объединения или удаления части множества на палочках;

3.  фиксирование данной операции на математическом уровне;

4.  формулирование вывода, как выполнить сложение и вычитание в каждом конкретном случае;

5.  выполнение системы заданий на закрепление вычислительного приема.

III.  Нумерация в концентре 1000.

Выделение данного концентра объясняется следующим:

·  при изучении трехзначных чисел учащиеся усваивают качественно новые сведения из области нумерации чисел; учащиеся знакомятся с новым разрядом сотен, т. е. завершается формирование класса единиц, это позволит в дальнейшем при изучении нумерации > 1000 вводить их не по разрядам, а по классам;

·  усваиваются очень важные алгоритмы выполнения арифметических действий (приемы письменного сложения и вычитания, которые в последствии используются на множестве многозначных чисел).

IV.  Нумерация в концентре многозначные числа

·  вводится понятие класс, усваивается соотношение понятий разряд и класс; это представляет для учащихся особую трудность, что обусловлено:

Þ  терминологией;

Þ  абстрактностью данных понятий (невозможность использовать предметные действия для формирования данных понятий).

Другие тексты представлены в текстовом и электронном форматах (редактор POWER POINT) тексты (3 курс), тексты(4 курс), мультимедиа(5 курс).