Поверхности второго порядка
Пусть в прямоугольной системе координат в пространстве задано уравнение второй степени
(1)
где 
координаты вектора 
в ортонормированном базисе 
;
- матрица квадратичной формы; 
.
Множество точек 
, координаты которых удовлетворяют уравнению 
, называется поверхностью второго порядка.
Поскольку 
, всегда существует прямоугольная система координат 
, в которой уравнение поверхности имеет вид
, (2)
где 
, 
- координаты вектора в ортонормированном базисе 
, составленном из собственных векторов матрицы 
;
или 
, 
; 
; 
.
Возможны три ситуации:
. Все 
отличны от нуля.
. Одно из равно нулю.
. Два из равны нулю.
Рассмотрим каждый из этих случаев отдельно.
. 
.
(3)
где
; 
; 
.
Уравнение (3)-каноническое уравнение центральной поверхности второго порядка. Не нарушая общности рассуждений, будем считать 
(в противном случае умножим (3) на –1).
|
|
|
Эллипсоид | ||
|
| Однопо- лостный гипер- болоид | |||
|
| Двупо- лостный гипер- болоид | |||
|
| Мнимый эллипсоид | |||
|
одного знака |
| Мнимый конус | ||
|
| Конус |
|
. Один из коэффициентов =0.
Пусть, например, 
.
=
(4)
где
; ; 
; 
.
Если 
в (4) равно нулю, то имеем уравнение цилиндрической поверхности
(5)
вид которой определяется её направляющей (5) в плоскости 
. Снова будем считать (в противном случае умножим (5) на –1).
|
|
| Эллиптический цилиндр | |
|
| Гиперболический цилиндр |
| |
|
| Мнимый эллиптический цилиндр | ||
|
одного знака |
| Две мнимых пересекающихся плоскости |
|
разных знаков |
| Две пересекающиеся плоскости |
Запишем (4):
.
Поскольку 
, выполним ещё одно преобразование:
, (6)
где
.
Если одного знака, это - эллиптический параболоид, уравнение которого имеет вид
При 
- это гиперболический параболоид с уравнением вида
 |
. Среди чисел 
два равных нулю.
Пусть, например, 
Тогда соотношение (2) имеет вид:
(7)
где
.
Если 
и 
это-пара параллельных плоскостей, различных при 
( 
), совпадающих при 
(
) и мнимых при 
(
).
Если хотя бы один из коэффициентов 
уравнения (7)отличен от нуля, положим
(8)
При этом уравнение (7) преобразуется следующим образом:
Это – параболический цилиндр, уравнение которого имеет вид 
.
При преобразовании уравнения поверхности второго порядка можно использовать инварианты. Здесь это будут
Доказательства не приводим.
