RANS моделирование вихревого переноса импульса и тепла: сравнение с данными прямых измерений в свободной атмосфере

УДК 532.517.4; 551.511.32

RANS моделирование вихревого переноса импульса и тепла: сравнение с данными прямых измерений в свободной атмосфере

*, **, ***

*Институт теоретической и прикладной механики им. СО РАН

**Новосибирский государственный университет

***Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН

E-mails: *****@***nsc. ru L. *****@***sscc. ru

Данные прямых измерений вихревых коэффициентов диффузии импульса и тепла доплеровским радаром и системой радиоакустического зондирования в верхней тропосфере и нижней стратосфере использованы для оценки применимости трех RANS схем моделирования стратифицированной турбулентности в окружающей среде: модифицированной для стратифицированных течений схемы турбулентности, алгебраической двухпараметрической схемы рейнольдсовых напряжений и трехпараметрической схемы турбулентности. Все турбулентные параметры - кинетическая энергия турбулентности , скорость ее спектрального расходования , вертикальные профили потенциальной температуры (атмосферная устойчивость) и средней скорости ветра - взяты из данных прямых измерений для всех трех схем турбулентности. Показано, что вертикальный вихревой коэффициент диффузии импульса трехпараметрической RANS схемы турбулентности хорошо согласуется с коэффициентом , полученным прямыми измерениями, в то время как по двум другим схемам согласие носит скорее качественный характер.

Ключевые слова: турбулентность, атмосфера, вихревые коэффициенты диффузии, моделирование

1. ВВЕДЕНИЕ

Диффузионные процессы малых компонентов в верхней тропосфере и нижней стратосфере существенны для глобального потепления климата, истощения стратосферного озона и проблемы трансграничного загрязнения воздуха, поскольку они регулируют массообмен между тропосферой и стратосферой.

В верхней тропосфере и нижней стратосфере воздух обычно устойчиво стратифицирован и внутренние гравитационные волны, индуцируемые течением в пограничном слое, и орография оказываются доминирующими. Генерация турбулентных вихрей в этих атмосферных слоях происходит спорадически, когда гравитационные волны разрушаются, и возникает сдвиговая неустойчивость. Эти турбулентные вихри переносят импульс и массу, разрушаясь затем плавучестью и вязкими силами.

Во многих метеорологических моделях, равно как и в моделях диффузии малых химических компонентов, вихревой коэффициент диффузии в верхней тропосфере и нижней стратосфере полагается имеющим ‘подходящее’ минимальное значение. Или для его вычисления привлекается модель пути смешения [5] на подсеточном масштабе, который выбирается, как среднегеометрическое значение вертикального и горизонтального размеров вычислительной сетки.

В [7] приведены результаты прямых измерений турбулентности в верхней тропосфере и нижней стратосфере в устойчиво стратифицированных условиях и вертикальных вихревых коэффициентов диффузии импульса и тепла, значения которых существенно различаются в вертикальном и горизонтальном направлениях. Эти измерения проведены с помощью высокочастотного доплеровского радара в режиме непрерывных измерений скорости ветра и ее флуктуаций в верхней тропосфере и нижней стратосфере. Надежно измеренные радаром значения напряжения Рейнольдса и сдвига ветра позволили вычислить коэффициент вихревой диффузии импульса по градиентной модели для условий устойчивой стратификации воздуха.

Вихревой коэффициент диффузии тепла в верхней тропосфере и нижней стратосфере вычислен по известной его оценке через энергию полуширины доплеровского спектра скорости и частоту Брента-Вяйсяля, температурное поле для которой измерено системой радиоакустического зондирования, совмещенной с радаром.

Таким образом, имеется возможность провести сравнение с прямо измеренными в верхней тропосфере и нижней стратосфере вихревыми коэффициентами диффузии импульса и тепла их аналогов в различных RANS схемах моделирования стратифицированных течений.

2. ВИХРЕВЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ДИФФУЗИИ ИМПУЛЬСА И ТЕПЛА ДВУХ И ТРЕХПАРАМЕТРИЧЕСКИХ RANS СХЕМ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

а. Оценка вихревого коэффициента диффузии тепла

В [7] для оценки вихревого коэффициента диффузии тепла в верхней тропосфере и нижней стратосфере использовано локально-равновесное приближение уравнения баланса кинетической энергии турбулентности (КЭТ) - порождение сдвигом и плавучестью балансируется диссипацией:

, (1)

где - горизонтальная компонента скорости, - турбулентные флуктуации скорости в горизонтальном и вертикальном направлении, - средняя потенциальная температура, - флуктуация температуры, g – ускорение силы тяжести. Черта сверху обозначает осреднение по времени, - потоковое число Ричардсона, определяемое как

. (2)

Если для вихревого коэффициента диффузии использовать модель градиентной диффузии

, (3)

то подстановка в (3) параметра из (2) дает

, (4)

где - частота Брента-Вяйсяля, определяемая выражением

(5)

Величина диссипации КЭТ может быть оценена через половину энергии полуширины доплеровского спектра скорости и частоту Брента-Вяйсяля по формуле

. (6)

Для (условия сильной стратификации) с учетом (4) и (6) получается оценка для вихревого коэффициента диффузии тепла вида [4]:

. (7)

По измеренным значениям и в [7] оценивалось вертикальное распределение коэффициента вихревой диффузии тепла .

б. Модифицированная для стратифицированных течений двухпараметрическая RANS схема турбулентности

В ‘стандартном’ виде это схема турбулентности включает два уравнения:

для КЭТ,

(8)

для диссипации

(9)

, (10)

где D обозначает субстанциональную производную, а и - турбулентные числа Прандтля для и , соответственно. Коэффициенты имеют численные значения [2]:

Для этой RANS схемы турбулентности вертикальный профиль коэффициента вихревой диффузии импульса вычислялся [7] по формуле (10) со значениями и , измеренными доплеровским радаром. Основной дефект выражения (10) заключается в том, что воздействие стратификации учитывается лишь опосредовано, через поля и , а не непосредственно, как в алгебраических RANS схемах турбулентности (см. пункты в и г данного раздела).

в. Двухпараметрическая RANS схема рейнольдсовых напряжений

RANS схемы турбулентности, включающие вторые моменты, могут учесть анизотропию турбулентного переноса, вызываемую действием силы плавучести в стратифицированных течениях.

Определяющая система уравнений RANS схемы рейнольдсовых напряжений , вектора турбулентного потока тепла и дисперсии флуктуаций температуры имеет вид

(13)

где коэффициент термического расширения ( для газов). и генерация сдвигом и плавучестью, соответственно, а - корреляция ‘давление–сдвиг скорости’. Уравнения переноса (11) – (13) записываются в замкнутом виде с принятием предположений [1 – 3] для отдельных статей баланса, включая корреляцию .

Алгебраическая модель рейнольдсовых напряжений может быть получена с принятием “ad hoc” предположения [6]: поведение процессов адвекции и диффузии в турбулентных течениях подобно поведению тех же процессов в уравнении баланса кинетической энергии турбулентности (КЭТ), . В этом случае уравнение переноса рейнольдсовых напряжений (11) записывается в виде

, (14)

из которого вытекает следующее алгебраическое уравнение:

. (15)

Подобные предположения делаются и для уравнений (12) и (13) вектора турбулентного потока тепла и дисперсии температурных флуктуаций, давая в результате алгебраические уравнения подобные уравнению (15). После довольно громоздких алгебраических преобразований для вихревого коэффициента диффузии импульса получается выражение

, (16)

где , (17)

Константы модели были определены по данным различных лабораторных измерений: С1=1,804;

С2=0,594; С3=0,5; С1t=2,916; С2t=0,448; С3t=0,33; R=0,7.

Поскольку в структуру функции Сm (17) входит член порождения КЭТ , - предположение (14) приводит к неявной модели для коэффициента вихревой диффузии импульса . Полностью явная модель для вихревых коэффициентов диффузии импульса и тепла формулируется в следующем пункте.

г. Алгебраическая полностью явная трехпараметрическая RANS схема турбулентности

Дефект “ad hoc” приближения (14) устраняется путем принятия физически более ясного предположения о слабо равновесной турбулентности. Согласно этому предположению в медленно эволюционирующих турбулентных течениях средние значения скорости, температуры изменяются в пространстве и времени медленнее, чем турбулентные величины (напряжения Рейнольдса, турбулентные потоки скаляра, дисперсии), и, следовательно, турбулентность, приближенно, находится в состоянии равновесия с наложенными средними полями. В этом равновесном состоянии материальная производная от тензора анизотропии турбулентности и вектора турбулентного потока скаляра (температуры) приближенно равна нулю: турбулентность достигла равновесного состояния, в котором равновесные значения тензора и вектора потока скаляра не зависят от начальных условий. Система уравнений переноса (11)-(13) в этом приближении упрощается до неявной системы алгебраических уравнений, которая разрешается [8] в явном виде относительно турбулентных потоков импульса и тепла с привлечением кода символьной алгебры (Maple 10) в следующем виде:

, ; , , (18)

, ,

, ,

, , , ; , ,

, , , . Учет вклада внутренних гравитационных волн в поддержании турбулентного импульса в условиях сильной устойчивости осуществлен через коррекцию динамического временного масштаба . В модели релаксационной части корреляции с пульсациями давления уравнения (12), , где : =0,16, если , и , если [8]. Постоянные параметры схемы имеют численные значения: , , , , .

Противоградиентный член в выражении для турбулентного потока тепла (18) учитывает вклад крупных турбулентных вихрей в полный поток во всем диапазоне стратификации, от неустойчивого состояния до устойчивого состояния. Эта нелокальная коррекция потока тепла (влажности) получается в результате обращения матрицы символьным кодом, а не привносится из дополнительных соображений.

Структурные функции и включают три турбулентных параметра: и , которые находятся из решения замкнутых уравнений переноса (8)-(9) и уравнения для дисперсии температурных флуктуаций :

, (19)

где , R=0,6.

При оценке коэффициентов вихревой диффузии тепла и вихревой диффузии импульса по формулам (7) и (10), (16) в [7] использовались, измеренные радаром и радиоакустической зондирующей системой, вертикальные распределения и , а также вертикальные профили средней скорости и потенциальной температуры .

Для оценки вихревых коэффициентов диффузии импульса и тепла по формулам (18) требуется величина дисперсии , которая может быть оценена из локально-равновесного приближения (‘порождение = деструкции температурных флуктуаций’) уравнения (19) в виде

(20)

где .

3. КОЭФФИЦИЕНТЫ ВИХРЕВОЙ ДИФФУЗИИ ИМПУЛЬСА И ТЕПЛА. СРАВНЕНИЕ С ДАННЫМИ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ В ВЕРХНЕЙ ТРОПОСФЕРЕ И НИЖНЕЙ СТРАТОСФЕРЕ

Атмосферные условия при проведении измерений соответствовали ясным дням при отсутствии облачной активности. Коэффициенты вихревой диффузии импульса и тепла , оцененные по трем моделям турбулентности (изложенным в пунктах a, б, в, г), сопоставляются здесь с результатами их прямого измерения [7]. Для сравнения были взяты данные с сильными ветрами в слое струйного течения, в диапазоне высот от 7 до 12 км, в период с 16 до 18 часов местного времени (Fig. 1, 4-6 в [2]). Весь диапазон измерений в [7] охватывал высоты от 4 км до 18 км.

На рис. 1 представлены вертикальные профили вихревого коэффициента диффузии импульса , вычисленные по: двухпараметрическим схемам турбулентности (штрихпунктирная линия, модель пункта ; пунктирная линия с двумя штрихами, алгебраическая модель пункта , и трехпараметрическая RANS схема турбулентности пункта ).

модель, модифицированная для стратифицированных течений (модель пункта ), дает плохую оценку для коэффициента , поскольку величина в (10) константа, равная 0,09. В алгебраической двухпараметрической модели (модель пункта ) уравнения баланса для кинетической энергии турбулентности и скорости ее спектрального расходования включают эффекты стратификации в членах порождения (деструкции), но не в выражении для вихревого коэффициента диффузии импульса. Полученное выражение (16) для коэффициента получается таким же по форме, как и выражение (10), однако коэффициент в (16) зависит от стратификации, правда опосредовано, через компоненты рейнольдсовых напряжений и диссипацию КЭТ.

Рис. 1 показывает скорее качественное согласие, вычисленного по двум моделям турбулентности, поведение вихревого коэффициента диффузии импульса с его прямо измеренным аналогом. Оценка коэффициента по двум моделям мало отличается, поскольку для оценки используются одни и те же измеренные распределения и . Кроме того, измеренный вертикальный профиль коэффициента (Fig. 1 в [7]) по величине изменяется всего от 0,09 до 0,12.

Хорошее согласие с измеренным профилем коэффициента (толстая сплошная линия на рис. 1) показывает профиль (толстая штриховая линия), вычисленный по трехпараметрической RANS схеме турбулентности (18). При оценке коэффициента по (18) также использованы измеренные распределения и из [7]. Можно сделать вывод, что приближение слаборавновесной турбулентности, положенное в основу вывода полностью явной трехпараметрической RANS схемы турбулентности, физически более аккуратно учитывает воздействие стратификации в вихревых коэффициентах диффузии (18), по сравнению с допущением (14).

Рис. 1. Вихревой коэффициент диффузии импульса прямо измеренный доплеровским радаром (толстая сплошная линия) и его сравнение со значениями, оцененными по трем моделям турбулентности: трехпара-метрической RANS модели (толстая штриховая линия) и по двухпараметрическим моделям турбулентности (штрихпунктирная линия – стандартная модель, штриховая двухпунктирная линия – алгебраическая модель ).

Рис. 2. Вихревой коэффициент диффузии тепла, измеренный радиоакустической системой RASS [7] (толстая сплошная линия), и вычисленный по трехпараметрической схеме турбулентности (толстая штриховая линия).

Вихревой коэффициент диффузии тепла , вычисленный по трехпараметрической модели (18) (толстая штриховая линия), сопоставлен на рис. 2 с тем же коэффициентом (толстая сплошная линия). Коэффициент оценен в [7] по формуле (7) по измеренному профилю частоты Брента-Вяйсяля и параметра .

Следует отметить, что при выводе формулы (7) использован ряд упрощающих предположений, а измерения температуры радиоакустической системой RASS были ограничены высотой в 8 км. Кроме того, хотя профиль на Fig. 4 и 5 в [7] постепенно возрастает с высотой около значения 10-2 с-1, примерно, на высоте 9 км (вблизи тропопаузы) имеется пик, который в [7] связывается с субтропическим струйным течением в западном направлении. Вследствие этого на профиле (fig. 6 в [7] и на рис. 2) на этой же высоте получается пик с наибольшим значением. Коэффициент же показывает ровно обратное поведение по данным измерений на данной высоте. В связи с этим можно полагать, что коэффициент оценен в [7] с большей погрешностью, чем коэффициент . Это, кстати, не согласуется и с данными измерений на Fig. 7a из [7], где отношение . Исключая эту высотную область, в остальном согласие профилей коэффициента на рис. 2 можно считать вполне удовлетворительным.

Таким образом, общий вывод данной работы состоит в том, что профили коэффициентов вихревой диффузии импульса и тепла в верхней тропосфере и нижней стратосфере, вычисленные по трехпараметрической RANS схеме турбулентности, количественно лучше согласуются с их прямо измеренными аналогами, чем оцененные по двухпараметрическим моделям турбулентности.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках исследовательских проектов №13-05-00006, 12-01-00050, 11-01-00187, Интеграционных проектов по фундаментальным исследованиям №35, 132 СО РАН, программы №3 ОМН РАН и программы №4 Президиума РАН.

4. ЛИТЕРАТУРА

1.  Gibson M. M., Launder B. E. Ground effects on pressure fluctuations in the atmospheric boundary layer // J. Fluid Mech. 1978. V. 86, 491-511.

2.  Launder B. E., Spalding D. B. The numerical computation of turbulent flows // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 1974. V. 3, 269-289.

3.  Launder B. E. An introduction to single-point closure methodology. Simulation and Modeling of Turbulent Flows (EDS. T. B. Gatski et al.) Oxford Univ. Press. 1996. Chapter 6, 243-310.

4.  Lilly D. K., Waco D. E., Adelfang S.-I. Stratospheric mixing estimated from high-altitude altitude turbulence measurements // J. Appl. Meteor. 1974. V. 13, 488-493.

5.  Smagorinsky J. General circulation experiments with the primitive equation // Monthly Weather Review. 1963. V. 91, 99-164.

6.  Rodi W. A new algebraic relation for calculating the Reynolds stresses // Z. Angew. Math. Mech. 1976. V. 56, T219-T221.

7.  Ueda H., Fukui T., Kajno M., Horiguchi M. Eddy Diffusivities for Momentum and Heat in the Upper Troposphere and Lower Stratosphere Measured by MU Radar and RASS, and a Comparison of Turbulence Model Predictions // J. Atmos. Sci. 2012. V. 69, 323-337.

8.  , О турбулентном числе Прандтля в устойчиво стратифицированном атмосферном пограничном слое // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2010. Т. 46(2). С. 187-196.