Неоднозначность формы тела из намагничивающегося эластомера в неоднородном магнитном поле

НЕОДНОЗНАЧНОСТЬ ФОРМЫ ТЕЛА ИЗ НАМАГНИЧИВАЮЩЕГОСЯ ЭЛАСТОМЕРА В НЕОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ

1,2, Пелевина Д. А.1,2, 1, 2,
1 Механико-математический факультет, МГУ им. Ломоносова, 119992, Москва, Ленинские горы
2 НИИ Механики МГУ, 119192, Москва, Мичуринский пр. 1.

E-mail: pelevina. *****@***com

– д. ф.-м. н., профессор кафедры гидромеханики механико-математического факультета МГУ имени . Научно-исследовательская работа в области гидродинамики магнитных жидкостей неоднократно поддерживалась грантами РФФИ.

– к. ф.-м. н., ассистент кафедры гидромеханики механико-математического факультета, научный сотрудник лаборатории физико-химической гидродинамики НИИ Механики МГУ имени .

– студент механико-математического факультета МГУ имени .

– к. ф.-м. н., ведущий научный сотрудник лаборатории физико-химической гидродинамики НИИ Механики МГУ имени .

Введение

Упругие намагничивающиеся эластомеры (НЭ) (феррогели и композиты полимерной основы и частиц микро и нано-размеров из ферромагнитных материалов) хорошо деформируются в магнитных полях. Деформацию таких эластомеров в магнитном поле можно использовать для создания направленного движения, например автономных движителей. В [1] показана возможность создания движения цилиндрического тела из намагничивающегося полимера в цилиндрическом канале в переменном магнитном поле.

Ранее теоретически и экспериментально было показано существование неоднозначности равновесной формы поверхности магнитной жидкости. Неоднозначность растяжения тонких тел из феррогеля в неоднородном поле электромагнита экспериментально обнаружена в [2].

Многозначность равновесной формы тела из НЭ может стать причиной “магнитной пластичности”, экспериментально обнаруженной в [3]. “Магнитная пластичность” представляет из себя явление, при котором равновесная форма тела в магнитном поле изменяется при наложении нагрузки и сохраняется при ее снятии (остаточная деформация). При выключении магнитного поля остаточная деформация исчезает.

В данной работе теоретически исследована деформация тонкого тела из НЭ в приложенном неоднородном магнитном поле. Обнаружено существование более чем одной формы равновесия тела в магнитном поле. Получено хорошее совпадение теоретических и известных экспериментальных результатов [2].

Тонкое тело в неоднородном магнитном поле. Рассмотрим тонкое цилиндрическое тело из НЭ в неоднородном приложенном магнитном поле Н0. Введем координату x вдоль оси тела. Пусть намагниченность полимера M является функцией магнитного поля Н, М = M(Н) Н. В этом случае магнитная сила Fm (х) = μ0 M·grad H потенциальна и может быть записана в виде Fm(х) = grad G(H), G(H) = ∫0HMdH. Пусть магнитная сила Fm(х) действует вдоль оси тела и зависит от координаты х. Такое магнитное поле может быть создано различными способами, например, при помощи электромагнитных катушек.

Рис. 1. Тонкое тело из НЭ в неоднородном магнитном поле.

В отсутствии поля H0=0 тело имеет длину L0. Левый конец стержня закреплен: при х = 0 перемещение вдоль х равно нулю. Все остальные поверхности тела свободны от нагрузок. Тело деформируется в магнитном поле и имеет длину L. Необходимо определить зависимость L от L0. Эта зависимость может показать, сколько равновесных форм поверхности существует при заданном значении магнитного поля.

Задача решается в безындукционном приближении (H >> 4π М), когда искажением магнитного поля поверхностью тела можно пренебречь, таким образом, H = H0. В этом приближении объемная магнитная сила является известной функцией координаты x и, для достаточно тонкого тела можно считать, что сила имеет только горизонтальную составляющую: Fm(х)= grad G(H0) = (gradxG(H0),0,0). Поверхностная магнитная сила в безындукционном приближении мала.

Упругая энергия НЭ в модели Муни – Ривлина для несжимаемого тела может быть записана в виде

Здесь Vb – объем тела, Fe – упругая энергия единицы объема, A и B – коэффициенты модели Муни – Ривлина, εi = (gii - 1)/2 – компоненты тензора деформации в главных осях. Для несжимаемого НЭ, симметричной относительно оси x формы: . При этом Fe запишется в виде:

Здесь pii (i=1,2,3) – компоненты тензора упругих напряжений. В случае, когда p22=p33=0, компонента p11 имеет вид:

(1)

Уравнение равновесия и условие несжимаемости имеют следующий вид:

С учетом (1) и граничного условия p11(L)=0 из (2) можно получить уравнение для параметра λ:

(3)

Длина недеформированного тела зависит от длины деформированного тела следующим образом:

(4)

В безразмерном виде уравнения (3) и (4) запишутся следующим образом

(5)

Здесь x*=x/Lc, K=C2/C1, G*=G/C1, L*=L/Lc, L0*=L0/Lc, Lc – характерная длина. Система уравнений (5) позволяет определить L* для заданной начальной длины и известных свойств НЭ и потенциала магнитной силы. Написана программа для расчета зависимости L0 от L. Для различных видов зависимости силы от координаты вычислена связь длины деформированного тела и его начальной длины при различных параметрах задачи. Показано, что при некоторых параметрах задачи зависимость начальной длины тела от длины в деформированном состоянии является неоднозначной: одному значению начальной длины соответствуют три и более значений длины в деформированном состоянии. Исследована устойчивость равновесных состояний и показано, что четные положения равновесия не устойчивы, а нечетные – устойчивы относительно малых возмущений длины образца.

Сравнение полученных результатов с экспериментальными данными из работы М. Зрини [2]. Неоднозначность деформации тонкого тела из феррогеля в неоднородном приложенном магнитном поле была экспериментально изучена М. Зрини [2]. В [2] описана экспериментальная установка, состоящая из электромагнита и динамометра с прикрепленным к нему тонким образцом из феррогеля, см. Рис. 2. а). Магнитное поле в эксперименте фиксировалось датчиками магнитной индукции, расположенными на расстоянии 5 мм друг от друга. На Рис. 2 б) приведен экспериментально измеренный график зависимости магнитной индукции от координаты при различных токах в электромагните.

а) б)

Рис. 2. а) Схема эксперимента М. Зрини [2]. б) Распределение магнитного поля для разных токов в эксперименте [2].

В одном из экспериментов использовался тонкий образец с начальной длиной L0 = 163 мм (x0 = xm – L0 = 54.2 мм), из феррогеля. FG5,75/300/4,95. Данная маркировка означает, что массовые концентрации поливинилового спирта и магнетика в феррогеле равны соответственно 5,75% и 4,95%. Для этого феррогеля в [2] не указаны значения упругих коэффициентов. Намагниченность феррогеля FG5,75/300/4,95 связана с индукцией приложенного магнитного поля по закону Ланжевена следующим образом [2]:

a) б)

Рис. 3. а) Зависимость относительного удлинения образца от тока в электромагните: эксперимент – линия, теория – точки, для L0=163 мм, x0 = 54.2 мм.  б) График зависимости L0 от L для тока I = 4,22 А.

Все экспериментальные данные вносились в программу для нахождения связи начальной длины образца L0 и длины образца в деформированном состоянии L. Задача решалась в модели Куна-Гука-Марка (C2 = 0). Коэффициент С1 подбирался так, чтобы диапазон токов при которых существуют два решения в теории и в эксперименте совпали. При этом коэффициент С1 варьировался в узком диапазоне 56-64 Па. Экспериментально измеренная [2] и теоретически вычисленная зависимости относительного удлинения образца от тока представлены на Рис 3 а). Получено хорошее совпадение теории и эксперимента.

График зависимости L0 от L для тока 4,22 А, представлен на Рис 3 б), видно, что существует диапазон начальных длин, в котором существует неоднозначность формы полимера: В этом диапазоне при фиксированном L0 имеется три решения системы уравнений (4). При этом крайние положения равновесия устойчивы, а среднее (второе) – неустойчиво относительно малых возмущений длины деформированного образца.

Выводы

В данной работе приведена методика расчета деформации длинного тонкого образца из упругого намагничивающегося эластомера в сильно неоднородном приложенном магнитном поле. Упругие свойства материала описываются моделью Муни-Ривлина для несжимаемой упругой среды. Получена неявная зависимость длины образца в деформированном состоянии от его начальной длины. Показано, что при некоторых параметрах эта зависимость неоднозначна. Каждое из таких состояний (положений равновесия) исследовано на устойчивость. Показано, что каждое четное значение длины тела в деформированном состоянии не устойчиво относительно малых изменений длины тела. Проведены расчеты деформации тела из феррогеля в магнитном поле электромагнита, которая была исследована экспериментально в работе [2]. Показано хорошее совпадение полученных теоретических результатов и экспериментальных данных. Наличие неоднозначности равновесных форм тел из НЭ приводит к возможности скачкообразных изменений формы тела при медленном изменении магнитного поля, а также к гистерезису формы тела при циклическом возрастании и убывании магнитного поля.

В данной работе продемонстрирована одна из возможных причин существования неоднозначности равновесной формы тела из НЭ, связанная с неоднородностью магнитного поля. Неоднозначность равновесной формы тела (сферической формы) в однородном магнитном поле, связанная с искажением приложенного магнитного поля телом, теоретически предсказана в работе [4].

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты № 14-01-31146, 14-01-90003, 14-01-91330).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. K. Zimmermann, I. Zeidis, V. Naletova, V. Turkov, G. Stepanov Behavior of a Magnetizable Worm in a Magnetic Field. In: Technische Universitaet Ilmenau. 50. Internationales Wissenschaftliches Kolloquium, September 19 - 23 2005, 399-400, 2005.

2. M. Zrinyi, L. Barsi, D. Szabo and H.-G. Kilian. Direct observation of abrupt shape transition in ferrogels induced by nonuniform magnetic field // J. Chem. Phys., 106:5685, 1997.

3. E. Yu. Kramarenko, G. V. Stepanov, A. R. Khokhlov, S. S. Abramchuk, D. A. Grishin. Effect of a homogeneous magnetic field on the mechanical behavior of the soft magnetic elastomers under compression // Polymer Scince, Ser. A, 48(2):138–145, 2006.

4. V. A. Naletova, D. I. Merkulov, I. Zeidis, K. Zimmermann. Deformation of a body with magnetizable polymer in an uniform magnetic field. In: Proceedings of 9th International Conference on Fundamental and applied MHD, Thermo acoustic and Space technologies (PAMIR). Riga, Latvia, June 16-20, 2014. Vol. 2, pp. 322 -325, 2014.