1. Задан закон распределения дискретной случайной величины X
х | 10,6 | 20,6 | 21 | 21,6 | 22,4 |
Вероятности, р | 0,3 | 0,3 | 0,2 | 0,1 | 0,1 |
а) Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение.
б) Найти статистическую функцию распределения вероятности случайной величины X и построить её график.
Решение.
а) Найдем математическое ожидание дискретного распределения по формуле (1):
М(х) = 
(1)
Математическое ожидание дискретного распределения равняется:
М(х) = 0,3 ´ 10,6 + 0,3 ´ 20,6 + 0,2 ´ 21 + 0,1 ´21,6 + 0,1 ´ 22,4 = 17,96
Среднее квадратическое отклонение определим по формуле (2):
(2)
Дисперсия определяется по формуле (3):
(3)
где `х – среднее значение ряда распределения; n – число наблюдений.
Среднее значения ряда распределения для дискретного ряда рассчитывается как средняя арифметическая простая (4):
, (4)
Рассчитаем среднее значение случайной величины Х:
= 19,24
Определим среднее квадратическое отклонение и дисперсию:
=
=77,57
s2 = 6017,9
б) Найдем статистическую функцию распределения вероятности случайной величины X:
Согласно свойствами функции F(x) получим приведенные дальше значение.
1) F(x) = P(X < 10,6) = 0;
2) F(x) = P(X < 20,6) = P(X = 10,6) = 0,3;
3) F(x) = P(X < 21) = P(X = 10,6) + P(X = 20,6) = 0,6;
4) F(x) = P(X < 21,6) = P(X = 10,6)+P(X = 20,6) + P(X= 21) = 0,8;
5) F(x) = P(X < 22,4) = 0,3 + 0,3 + 0,2 + 0,1 = 0,9;
6) F(x) = P(X > 22,4) = P(X < 22,4) + P(X = 22,4) = 0,9+0,1=1.
Компактно функция распределения имеет вид:
| 0, | X £ 10,6 |
0,3, | 10,6 < X < 20,6 | |
F(x) = P(X < хi | 0,6, | 20,6 < X < 21 |
0,8, | 21 < X < 21,6 | |
0,9, | 21,6 < < 22,4 | |
1 | X > 22,4 |
График данной функции распределения отобразим на рис.1.
| |||||||||
1,0 | |||||||||
0,9 | |||||||||
0,8 | |||||||||
0,6 | |||||||||
0,3 | |||||||||
0 | |||||||||
10,6 | 20,6 | 21 | 21,6 | 22,4 | |||||
Рисунок 1 – График функции распределения случайной величины Х
2. Дана выборка
X | (30,40) | (40,50) | (50,60) | (60,70) | (70,80) | (80,90) | (90,100) |
Пх | 5 | 9 | 6 | 9 | 8 | 7 | 6 |
а) Построить гистограмму для плотности относительных частот.
б) Произвести выравнивание плотности относительных частот, применив закон распределения с равномерной плотностью к данному статистическому распределению.
Решение.
а) Построим гистограмму для плотности относительных частот (рис.2).
Пх |
| |||||||||
9 | ||||||||||
8 | ||||||||||
7 | ||||||||||
6 | ||||||||||
5 | ||||||||||
0 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | X | ||
Рисунок 2 – Гистограмма плотности распределения частот
