Оптимизация конструктивных параметров летательных аппаратов

УДК 517.9:629.7.015.3/.7

Оптимизация конструктивных параметров летательных аппаратов

, ,

Введение

Дифференциальные уравнения движения летательных аппаратов (ЛА), будем называть математической моделью движения ЛА.

Если за признак классификации взять постоянство массы ЛА в полёте, то можно говорить о математических моделях движения ЛА постоянной и переменной массы.

К основным теоремам, используемым при составлении уравнений движения ЛА, относятся теоремы об изменении количества движения, изменении кинетического момента, изменении кинетической энергии. Распространение перечисленных классических теорем на динамику ракет, принадлежащих к классу тел переменного состава (массы), проводятся на основе так называемого принципа затвердевания, формулируемого следующим образом: уравнение движения тела переменного состава можно представлять в форме уравнений движения тела постоянного состава, имеющую мгновенно зафиксированную (затвердевшую) массу. В число сил, действующих на тело в рассматриваемый конкретный момент, включаются внешние силы, реактивные силы Кориолиса и вариационные силы [1, 2,5].

Характер движения оперенного летательного аппарата (ОЛА) вокруг центра масс существенно зависит от способа стабилизации его в полете. В настоящее время широко применяются два способа стабилизации летательных аппаратов (ЛА): вращением и оперением [2, 3].

К причинам, вызывающим колебания неуправляемых ЛА относительно центра масс, относятся следующие основные баллистические факторы.

1. Эксцентриситет силы тяги (МΔ) относительно центра массы ЛА, создается благодаря тому, что вектор силы тяги не совпадает с центром массы ЛА (рис. 2).

2. Начальные возмущения в момент пуска, к которым относят: первоначальный толчок, состоит в получении ЛА начальной угловой скорости вращения () относительно экваториальной оси; начальный угол () отклонения продольной оси ЛА от направления вектора скорости в момент пуска.

3. Аэродинамическая асимметрия ЛА (перекос, деформация и несимметричность формы элементов стабилизатора и т. п.), которая приводит к появлению дополнительных аэродинамических моментов, вызывающих колебания ЛА относительно центра масс (рис. 1).

Следует отметить, что эксцентриситет силы тяги и центра масс, а также аэродинамическая асимметрия прежде всего обусловлены производственными и эксплуатационными причинами.

Для изучения влияния перечисленных факторов на кучность использована система дифференциальных уравнений (СДУ) движения неоперенного летательного аппарата (НЛА) в возмущенной среде.

Получение математических моделей, описывающих состояние ЛА, имеет своей целью, как правило, определение искомых параметров движения: компонентов скорости движения центра масс, угловой скорости ЛА относительно его центра масс, углов, характеризующих ориентацию аппарата, и, наконец, координат центра масс, по которым может быть построена траектория движения ЛА. В качестве независимой переменной (главного аргумента) в математической модели движения ЛА выступает текущее время t. Основу математической модели, характеризующей состояние ЛА, составляют дифференциальные уравнения движения. Для того чтобы получить их решения в конечной форме, должны быть однозначно заданы начальные условия и определены силы, находящиеся в правых частях дифференциальных уравнений. При этом несущественно, в какой форме задаются воздействия (детерминированный или стохастический подход), важно, чтобы принятая модель сил характеризовалась полной информацией об их значениях в рассматриваемом интервале времени. Именно эта полная совокупность сил, определяющая вид входных воздействий, и будет характеризовать при помощи фазовых координат состояние ЛА в данный и последующий моменты времени [1, 5]

Дифференциальные уравнения пространственного движения получены проектированием на оси полускоростной и полусвязанной систем координат (рис 1, 2) [3, 4] общих векторных уравнений, выражающих содержание теорем о производных по времени от векторов количества и момента количества движения:

(1)

В качестве составляющих главного вектора действующих сил были учтены такие силы: сила лобового сопротивления; подъемная сила; сила тяги; сила Кориолиса, возникающая за счет истечения пороховых газов; силы, вызванные эксцентриситетом тяги и центра масс; силы, вызванные вращением Земли.

Составляющими главного момента количества движения учитывались следующие моменты: опрокидывающий (для ОЛА – стабилизирующий) момент; экваториальный демпфирующий момент; момент трения; момент Кориолиса, возникающий за счет истечения пороховых газов; моменты, вызванные эксцентриситетом тяги и масс; моменты, вызванные вращением Земли.

Уравнения вращательного движения неоперенного летательного аппарата около его центра масс являются динамическими уравнениями Эйлера, для которых существует наиболее простое представление в проекциях на полусвязанные оси С (рис. 2) [3, 4].

1. Уравнения движения ЛА при наличии перекоса и смещения с оси симметрии вектора силы тяги

При исследовании этого вопроса будем иметь в виду то, что ЛА все же является телом вращения, причем его ось симметрии одновременно является и осью динамической симметрии. В рассматриваемом случае к ЛА будут приложены следующие дополнительные силы и моменты:

- вследствие смещения и перекоса вектор силы тяги раскладывается на две составляющие, одна из которых параллельна оси симметрии, а вторая – ей перпендикулярна. Вследствие малости угла наклона вектора силы тяги к оси симметрии составляющую, параллельную этой оси, можно принять равной силе тяги;

- вследствие эксцентриситета силы тяги в плоскости сξη (рис.2) возникает отклоняющий реактивный момент МΔ, величина которого равна произведению силы тяги Р на эксцентриситет Δ, стремящийся вращать ЛА относительно центра масс.

Учтем также момент от косо поставленного оперения, который направлен вдоль оси симметрии ЛА и описывается соотношением:

(2)

где – угол наклона оперения, L – длинна ЛА, – площадь поперечного сечения ЛА, –массовая плотность воздуха, V – скорость ЛА, – аэродинамический коэффициент, А – полярный момент инерции.

С учетом дополнительных сил и моментов, создаваемых перекосом и смещением с оси симметрии вектора силы тяги, уравнения будут иметь вид [4]:

(3)

где .

Рассмотрим, каким же образом влияют конструктивные параметры ЛА на величину характеристик рассеивания по дальности и по направлению .

Расчет характеристик рассеивания с учетом конструктивных параметров ЛА можно провести по зависимостям [5]:

(4)

.

Поправочные коэффициенты по дальности:

на изменение – угла бросания, – начальной скорости, – баллистического коэффициента, , – углов нутации, , – угловых скоростей нутации, – линейного эксцентриситета силы тяги, – углового эксцентриситета силы тяги, – угла наклона сопел, , – линейных эксцентриситетов центра масс, – угловых эксцентриситетов центра масс, – угловой скорости собственного вращения ЛА, – времени выключения реактивного двигателя, – угла наклона оперения, – диаметра оперения, – углов нутации в точке выключения двигателя, – угловых скоростей нутации в точке выключения двигателя, – времени работы реактивного двигателя, – дальность полёта ЛА. Коэффициенты, характеризующие разброс соответствующего параметра (фактора): , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , . Поправочные коэффициенты по дальности рассчитаны с помощью СДУ(7).

Проведенные расчеты с помощью зависимостей (4, 8) показали, что для получения оптимальных характеристик рассеивания по дальности и по направлению , а также для обеспечения устойчивого полета ОЛА, эксцентриситет силы тяги не должен превышать ∆ мм, угловой аэродинамический эксцентриситет (рис. 4, 7).

2. Влияние асимметрии масс на полет летательных аппаратов

Рассмотрим случай, когда центр масс не лежит на геометрической оси симметрии ЛА, которая, в свою очередь, уже не является главной центральной осью инерции. Будем считать, что вектор силы тяги лежит на геометрической оси симметрии, а центр масс смещен с нее на некоторую величину ε (рис. 1). Данное смещение называется эксцентриситетом силы тяжести. Все оси координат связываем с центром инерции, а положение главных центральных осей Сξ1,η1,1 относительно связанных осей определяем с помощью малых углов γ1 и γ2 (рис. 2).

Учитывая изложенное выше и данные работы [5] получим уравнения вращательного движения с учётом асиметрии центра масс в следующем виде:

(5)

Система уравнений (5) отличается от системы (3) наличием в правой части колеблющихся слагаемых, обусловленных асимметрией масс. Заметим также, что в результате асимметрии в правой части первого уравнения системы (5) появляется почти постоянный подкручивающий момент, обусловленный силой тяги , поэтому даже невращающийся ОЛА при наличии асимметрии получает с течением времени угловую скорость собственного вращения.

При наличии разного рода асимметрии, особенно если система попадает в "резонансный" режим, существенно изменяется правая часть уравнения, описывающего изменения скорости полета. Последнее означает, что движение ОЛА будет происходить не по расчетной траектории, и в результате кучность ухудшится.

Расчеты, проведенные по зависимостям (4), (8) для ЛА: «Град», «Ураган» для различных дальностей полёта и различных тормозных колец (без тормозного кольца, с большим тормозным кольцом и малым тормозным кольцом), показали, что для получения оптимальных характеристик рассеивания линейный эксцентриситет центра масс не должен превышать ; угловой (рис 5, 8).

3. Влияние силы и момента Кориолиса за счет истечения газов из сопла

Сила и момент Кориолиса возникают в результате движения пороховых газов по камере и соплу (при наличии угловой скорости вращения ЛА, которую обозначим Ω) (рис. 3).

Элементарная сила Кориолиса определится по зависимости:

(6)

где dm = ρ∙σ; ρ – плотность газов, σ – свободная от пороха площадь сечения, U – относительная скорость истечения газов.

С учётом размеров пороховой шашки получим силу и момент Кориолиса за счёт истечения газов [4]:

(7)

где , ; массовый расход газов через сопло; эффективная скорость истечения газов; – расстояния, указанные на рис. 3.

Сравнительная оценка показала, что влияние силы Кориолиса невелико и ею можно пренебречь, а момент силы Кориолиса можно сравнить с экваториальным демпфирующим моментом и его необходимо учитывать [4].

Учитывая уравнения 3, 5, 6 и данные работы [4], система дифференциальных уравнений пространственного движения НЛА будет иметь вид:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

(8)

9.

10.

;

;

11.

12.

13.

где

В данной СДУ описано движение тела (ЛА) переменной массы в которых учтены: силы лобового сопротивления, подъемная сила, сила тяги, сила Кориолиса за счёт истечения пороховых газов, силы, вызванные эксцентриситетом тяги и центра масс, силы, вызванные вращением Земли, опрокидывающий (для ОЛА – стабилизирующий) момент, экваториальный демпфирующий момент, момент трения, момент Кориолиса за счёт истечения пороховых газов, моменты, вызванные эксцентриситетом тяги и центра масс, моменты, вызванные вращением Земли. Все применяемые обозначения введены в работах [2, 3, 5]

Система дифференциальных уравнений была решена при помощи численного интегрирования методом Рунге-Кутта четвертого порядка.

 

Экспериментальные характеристики рассеивания , взяты по данным работ [6, 7].

4. Пути улучшения кучности оперенных летательных аппаратов

Проведенные расчеты показывают, что на угловое отклонение (рассеивание) траектории неуправляемых оперенных летательных аппаратов (ОЛА), которое характеризуется углом ψk отклонения вектора скорости в конце активного участка траектории, доминирующее влияние оказывает эксцентриситет силы тяги.

Из результатов видно, что сравнительно медленное вращение оперенных неуправляемых ОЛА вокруг продольной оси приводят к резкому уменьшению влияния эксцентриситета силы тяги и асимметрии центра масс.

Расчеты, проведенные с помощью зависимостей (4) и СДУ (8) показали, что вследствие вращения рассеивание оперенных неуправляемых ЛА по направлению уменьшается в 2–2,5 раза, по дальности – в 1–1,5 раза (рис. 6,9). Таким образом, вращение оперенных неуправляемых ЛА является эффективным средством уменьшения рассеивания и значительно улучшает кучность. Для каждого оперенного неуправляемого ЛА существует некоторая оптимальная угловая скорость вращения r0, при которой рассеивание ЛА принимает оптимальное значения. Проведенные расчеты показали, что оптимальная скорость вращения при сходе с направляющей и в полете которое будет обеспечивать минимальное техническое рассеивание, составляет: для ОЛА: М21ОФ «Град» r0=20,9 рад/с; для 9М55Ф «Смерч», r0=25,1 рад/с; для 9М27Ф «Ураган» r0=22,5 рад/с (рис. 6,9).

Угол наклона оперения для обеспечения оптимальной скорости вращения r0 и устойчивого полета ЛА должен составлять для ОЛА: М21ОФ «Град» αoper=0,049 рад, для 9М27Ф «Ураган» αoper=0,054 рад, для 9М55Ф «Смерч» αoper≤0,087 рад (рис 6.9)

Вращение оперенных направляемых ЛА можно получить одним из сделующих трех способов:

1.  за счет реактивного момента, создаваемого наклоном сопел ;

2.  за счет придания вращательного движения в момент старта за счет винтовых направляющих;

3.  за счет косопоставленного оперения.

Выводы

1. Выбранная в качестве объекта исследования совокупность типов неуправляемых ЛА позволяет всесторонне изучить особенности динамики их полета и разработать рекомендации по баллистической подготовке как существующих, так и перспективных ЛА.

2. Принятая в работе математическая модель динамики полета ЛА позволяет наиболее полно исследовать особенности баллистики ЛА и определить направления её совершенствования.

3. С целью повышения достоверности результатов исследования особенностей динамики полета ЛА по современной методике, учитывающей как волновое сопротивление, так и сопротивление трения, определены коэффициенты аэродинамических сил и моментов, действующих на ЛА в полете, а также рассчитаны их инерционно-массовые характеристики [4].

4. Вопросы влияния линейного и аэродинамического эксцентриситета силы тяги и асимметрии центра масс, рассмотренные в статье, а также начальные возмущения при сходе ЛА с направляющей и в точке выключения двигателя [4] являются определяющими при расчете оптимальных характеристик рассеивания ЛА.

5. Предложенная система дифференциальных уравнений (7) позволяет выбрать оптимальные конструктивные параметры неуправляемых ЛА, обеспечивающие максимальную дальность полета и минимальное техническое рассеивание.

6. Разработанная программа решения системы дифференциальных уравнений позволяет:

а) проводить вычисления значений параметров движения ЛА с заданным по времени шагом, а также их отклонения относительно невозмущенного движения как в пределах полной траектории, так и по участкам: активном участке траектории, пассивном участке траектории;

б) исследовать поведение ЛА под действием любой совокупности возмущений;

в) производить вычисления по возмущениям, заданным как в конечном виде, так и различными законами распределения.

7. Предложенная математическая модель (4, 7) может быть использована при разработке перспективных летательных аппаратов с различными способами стабилизации.

Часть результатов, представленных в данной работе, была получена при поддержке президента Украины в рамках гранта Государственного фонда фундаментальных исследований.

Литература

1. Джамая механіка. – К.: Видавництво «Дрохва», 2004. – 415с.

2. , Лысенко баллистика. – М.: Издательство «Машиностроение», 2005. – 607 с.

3. , и др. Баллистика ствольных систем. Справочная библиотека разработчика-исследователя. – М.: Издательство «Машиностроение», 2006. – 461 с.

4. и др. Математическая модель пространственного движения ЛА на твердом топливе в атмосфере. Вестник СумГУ №2, 2008, с 1-6.

5. О движении тела, содержащего подвижную внутреннюю массу // Доклады АН. 2005, т. 405.

6. Таблицы полета М21ОФ ТС, – 74. М.: – 1975г. – 96с.

7. Таблицы полета 9М27Ф ТС, – 84РГ. М.: – 1988г. – 272с.

8. Черноусько и оптимизация движения тела, управляемого посредством подвижной внутренней массы // Прикладная математика и механика. 2006, т. 70, вып. 6. С. 915-941.

МАКЕЕВ Василий Ильич, кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры военной подготовки Сумского государственного университета.

Адрес: б, кв. 43

E-mail: *****@***ru

Телефон: [phone]

, доктор технических, профессор, старший научный сотрудник Института проблем машиностроения им. Подгорного НАН Украины.

Адрес: г. Харьков, ул.

E-mail: *****@***com

Телефон: [phone]

БОНДАРЬ Александр Вячеславович кандидат технических наук, доцент кафедры компьютерных наук Сумского государственного университета.

Адрес: 40000, /5, кв. 16

E-mail: *****@***net

Телефон: [phone]

ТРОФИМЕНКО Павел Евгеньевич, кандидат военных наук, профессор, профессор кафедры военной подготовки Сумского государственного университета.

Адрес: /2, кв. 59

E-mail: *****@***ua

Телефон: [phone]

Рис. 1 – Положение центра масс при асимметрии.

С0 – несмещённое положение центра масс ЛА; С – смещённое положение центра масс ЛА; ε1, ε – линейное значение эксцентриситета центра масс.

1

 

Рис. 2 – Положение новых главных центральных осей инерции ЛА при наличии эксцентриситетов центра его масс.

 

Рис. 3 – Параметры истечения пороховых газов через сопло. Се – центр выходного сечения сопла;

С – центр тяжести.

 

Рисунок 4 – Зависимость характеристик рассеивания ВD, Вb, BD opt,

Bb opt от дальности полёта, и эксцентриситета силы тяги для ЛА «Град» М21ОФ (без тормозного кольца)

 

Рисунок 5 – Зависимость характеристик рассеивания ВD, Вb, BD opt,

Bb opt от дальности полёта, и эксцентриситета центра масс для ЛА «Град» М21ОФ

(с малым тормозным кольцом)

 

Рисунок 6 – Зависимость характеристик рассеивания ВD, Вb, BD opt,

Bb opt от дальности полёта, угловой скорости вращения ЛА и угла наклона оперения для ЛА «Град» М21ОФ

(с большим тормозным кольцом)

 

Рисунок 7 – Зависимость характеристик рассеивания ВD, Вb, BD opt,

Bb opt от дальности полёта, и эксцентриситета силы тяги для ЛА «Ураган» 9М27Ф (без тормозного кольца)

 

Рисунок 8 – Зависимость характеристик рассеивания ВD, Вb, BD opt,

Bb opt от дальности полёта, и эксцентриситета центра масс для ЛА «Ураган» 9М27Ф

(с малым тормозным кольцом)

 

Рисунок 9 – Зависимость характеристик рассеивания ВD, Вb, BD opt,

Bb opt от дальности полёта, угловой скорости вращения ЛА и угла наклона оперения для ЛА «Ураган» 9М27Ф

(с большим тормозным кольцом)