Взаимодействие электрона с заряженным проводником и заряженной поверхностью

НГТУ

Школа Развития

Взаимодействие электрона с заряженным проводником и заряженной поверхностью

Учащиеся АКЛ им Зеленский Арсений, Жуков Иван

Руководитель: к. т.н.

2008

1.Введение

Известен закон Кулона, устанавливающий силу взаимодействия двух заряженных частиц. Интересны следующие обобщения: с какой силой взаимодействует единичная заряженная частица с заряженным проводником, а так же с заряженной поверхностью. При этом проводник и поверхность могут быть криволинейной формы, конечными или бесконечными.

2.Расчетная схема для прямолинейного проводника

Электрон расположен на расстоянии a от проводника

длиной 2l, который имеет линейную плотность заряда

q. Учитывая симметричное расположение электрона относительно проводника, и проецируя силу Кулоновского взаимодействия между заряженной частицей e и участком проводника dx с зарядом qdx на нормаль к проводнику, имеет следующее дифференциальное соотношение:

. (1)

Интегрируя, находим

. (2) (2)
Предельный случай приводит к несобственному интегралу, а величина силы следовательно равна:

. (3)

3. Расчетная схема для проводника в форме части окружности радиуса r

Поместим заряженную частицу в центр окружности радиуса r.

Известно, что дифференциал дуги

.

В свою очередь дифференциал силы взаимодействия равен:

(4)

Интегрируя полученное равенство, получим:

. (5)
В случае, когда l=r, имеем:

. (6)
Заметим, что при r=a, формула идентична формуле для бесконечного линейного проводника, что позволяет сделать вывод: сила взаимодействия электрона с бесконечным проводником равна силе взаимодействия электрона с заряженной полуокружностью радиуса r=a.

4.  Расчётная формула взаимодействия электрона с круглой

пластиной

Электрон расположен на расстоянии a от центра круглой пластинки радиуса R, которая имеет поверхностную плотность зарядов q.

Рассматривая силу взаимодействия кольца радиуса r шириной dr и частицы e, определим её дифференциал:

, (7) откуда

. (8)

Рассматривая случай взаимодействия электрона с бесконечной заряженной пластинкой, имеем:

. (9)

Получен любопытный вывод, что искомая сила взаимодействия не зависит от расстояния a частицы от заряженной плоскости неограниченных размеров.

5.Расчетная схема взаимодействия электрона с поверхностью в виде части сферы

Поместим электрон в центре сферы радиуса R и рассмотрим взаимодействие части заряженной сферы с электроном.

Действуя аналогично ранее рассмотренным случаям, легко находим:

. (10) (10)

Интегрируя, получим:

. (11) (11)

Рассматривая взаимодействие электрона с полусферой радиуса R (R0=R), имеем

. (12)

6.Выводы

1.  Схема расчёта взаимодействия заряженной частицы с проводником легко обобщается на произвольный криволинейный проводник.

2.  Сила взаимодействия заряда с бесконечной заряженной плоскостью не зависит от расстояния между зарядом и плоскостью.

3.  Идея взаимодействия электрона с проводником может быть использована для создания двигателя на электронной тяге, который может быть использован для дальних полётов в космическом пространстве.