УДК 519.6
ДИФРАКЦИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН
НАД НЕРОВНЫМ ДНОМ
Кемеровский Государственный Университет
Математический факультет
Кафедра вычислительной математики
Дифференциальные уравнения в частных производных имеют широкое приложение в математической физике, гидродинамике, акустике и т. д. многие задачи гидродинамики сводятся к решению дифференциальных уравнений в частных производных. Как правило, получить решение таких уравнений в явном виде не представляется возможным. В связи с этим широко применяются приближенные методы. Построение различных схем в случае уравнений частых производных зависит от типов уравнений и вида граничных условий.
Целью работы является проверка эффективности и устойчивости использования итерационные схемы неполной аппроксимации для системы дифференциальных уравнений движения равномерно стратифицированной жидкости. И определить влияние формы дна на движение равномерно стратифицированной жидкости.
Движение волн на поверхности тяжелой стратифицированной жидкости описывается следующей системой дифференциальных уравнений:
где 
– начальная функция дна, постоянная,
– функция изменения дна, 
- функция свободной поверхности, 
– скорость по оси Ox, 
– скорость по оси Oy, g=9.8. Начальное возмущение 
.
Для приближенного решения уравнения
,
с невырожденной незнакоопределенной матрицей 
размерности m, u, f-неизвестный и известный m-мерные векторы из 
. Где – вещественное гильбертово пространство.
В дальнейшем будем считать, что detA может быть близок к машинному нулю.
Если матрица незнакоопределена, то умножая систему уравнение на A* (1-ая трансформация Гаусса), мы получим новую систему с положительно определенной матрицей A=A*A и правой частью A*f. И для решения этой системы можно использовать достаточно богатый арсенал итерационных схем. Но в нашем случае, когда detA=0, такой путь решения системы приемлем. Рассмотрим итерационные алгоритмы не использующие 1-ую трансформацию Гаусса для решения системы с незнакоопределенной матрицей A.
Для решения системы Au=f рассмотрим итерационную схему неполной аппроксимации:
где B – неособенная квадратная матрица, 
- произвольный вектор, 
- итерационные параметры, 
- произвольный начальный вектор.
Поскольку было решено поставить на границе 
области 
ту же систему уравнений, что и внутри области, возникла проблема, связанная с выбором порядка аппроксимации по пространственным переменным, входящим в эти уравнения. После перебора некоторых комбинаций, были выбраны условия, позволяющие достаточно эффективно решить эту проблему.
Граница 
, где
В результате проведенных расчетов было установлено, что неявная разностная схема устойчива и позволяет успешно решать задачи о дифракции волн с большим шагом по времени (
), что позволяет намного быстрее решать задачи данного вида. В результате чего, данный алгоритм является единообразным, и применим для решения задач подобного типа.
Литература.
1. Марчук Ю. И. «Численное моделирование волн цунами» // Численные методы механики сплошной среды. – Новосибирск,1983 –с. 71-74.
2. , , «Об одном методе ускорения сходимости итерационных схем» // Численные методы механики сплошной среды. – 1974 – т. 5 - № 5 – с. 57-62
