НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

«УТВЕРЖДАЮ»

Декан факультета

 

«___»______________20 г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

По дисциплине “Специальные главы математики”

Для студентов, обучающихся по специальности (направлению)

Специальность 210303 “Бытовая радиоэлектронная аппаратура"

номер и наименование специальности (направления)

Факультет РЭФ (Радиотехники, электроники и физики)

Кафедра высшей математики

Курс II Семестр III,IV

Лекции ____68_______ час. Экзамен III,IV

Практические (семинарские)

занятия ____68_______ час.

Самостоятельная

РГР 2 раб. работа 85 час

Контр. работы __2____ раб.

Всего часов 221 час.

2006 г.

Рабочая программа составлена на основании Государственного образовательного стандарта высшего образовательного образования для подготовки бакалавров техники и технологии по направлению 210303 “Бытовая радиоэлектронная аппаратура". Стандарт утвержден 10.03.00 г., регистрационный номер – 21 тех/бак

Рабочая программа обсуждена и утверждена на заседании кафедры высшей математики 31 августа 2006г. протокол № 4

Программу разработал

доцент, кандидат физ.-мат. наук

Заведующий кафедрой

профессор, доктор физ.-мат. наук

Ответственный за основную

образовательную программу

доцент
8. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ

Курс 2 Семестр З и 4

Лекции - 68 часов

Практические (семинарские занятия) - 68 часов

Контрольные работы - 2

РГР-1

Самостоятельная работа -116 часов

И Т О Г О - 252 часа

8.1. ОСОБЕННОСТИ ПОСТРОЕНИЯ КУРСА

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

•  основной целью курса является изучение гармонического анализа,
методов операционного исчисления, необходимых для решения при­
кладных задач;

•  содержательное ядро курса составляют ряды и интеграл Фурье;

•  студенты выполняют расчетно-графическую работу по гармониче­
скому анализу.

8.2. ЦЕЛИ ИЗУЧЕНИЯ КУРСА

•  студент будет иметь представление: о функциях комплексного пере­
менного, об интегральных преобразованиях, о задачах вариационно­
го исчисления;

•  студент будет знать: условия представления функции рядом Фурье,
классификацию изолированных особых точек, способы нахождения
изображений и оригиналов;

•  студент будет уметь: использовать гармонический анализ для реше­
ния профессиональных задач; решать дифференциальные уравнения
и системы дифференциальных уравнений операционным методом.


8.4. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА

Раздел 1. Функции комплексного переменного.

1. Комплексные числа. Понятия комплексного числа. Действия над комплексными числами.

2.Функции комплексного переменного. Понятие области и грани­цы окрестности. Определение функции комплексного переменного. Предел и непрерывность функции. Формулы Эйлера. Простейшие трансцендентные функции: показательная, логарифмическая, тригоно­метрические, обратные тригонометрические, гиперболические.

3.Производная функции комплексного переменного. Определение производной. Условия Коши - Римана. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Аналитические функции. Связь аналитических функций с гармоническими.

4.  Интегрирование функции комплексного переменного. Понятие
интеграла от функции комплексного переменного, вычисление интегра­
лов. Интегралы по замкнутому контуру. Теорема Коши. Интегральная
формула Коши. Неопределенный интеграл и формула Ньютона - Лейб­
ница.

5.  Ряды. Числовые, функциональные, степенные ряды. Ряды Тей­
лора и Лорана. Особые точки функций и их классификация.

6.  Вычеты функции. Определение вычета. Вычисление вычетов в
устранимой особой точке. Основная теорема о вычетах. Вычисление
определенных интегралов с помощью вычетов.

Раздел 2. Элементы гармонического анализа.

1. Элементы функционального анализа. Пространство L2. Скаляр­
ное произведение, норма. Сходимость в среднем квадратичном.

2.  Ряды Фурье. Ряды Фурье по тригонометрической системе функ­
ций. Ряд Фурье для четной и нечетной функции. Различные виды схо­
димости функции к ее ряду Фурье: в среднем квадратичном, поточеч­
ная, равномерная.

3.  Спектры периодических функций. Комплексная форма ряда
Фурье. Амплитудный и фазовый спектры периодической функции.

4.  Интегралы Фурье. Интегральная теорема Фурье. Действитель­
ная форма интеграла Фурье. Спектральная функция.

Раздел 3. Операционное исчисление.

1 .Оригиналы и изображения. Определение оригинала и изображе­ния. Существование изображения. Вычисление изображений. Диффе­ренцирование и интегрирование изображений.

2. Основные теоремы операционного исчисления. Теорема подо­бия. Теорема запаздывания. Теорема смещения. Теорема умножения изображений. Изображение периодических оригиналов.

З. Дифферицирование и интегрирование оригиналов. Теорема о дифференцирование оригинала. Теорема об интегрирование оригинала. Решение линейных дифференциальных уравнений операционным мето­дом. Интеграл Дюамеля. Решение систем линейных уравнений с посто­янными коэффициентами операционным методом.

4. Теоремы разложения. Первая теорема разложения. Вторая тео­рема разложения.

Раздел 4. Элементы теории вероятности и математической статистики.

1. Случайные события. Понятие случайного события. Виды слу­
чайных событий. Статистическое определение вероятности. Аксиома­
тическое определение вероятности. Вероятностное пространство. При­
меры вероятностных пространств: классическая схема, геометрическая
схема. Совместные и несовместные события. Теорема сложения вероят­
ностей. Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Тео­
рема умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула
Байеса.

2.  Повторение испытаний. Формула Бернулли. Локальная и инте­
гральная теорема Лапласа. Формула Пуассона.

3.  Случайные величины. Понятие случайной величины. Виды слу­
чайных величин. Функция распределения. Свойства функции распреде­
ления. Примеры распределения дискретной случайной величины: рас­
пределение Пуассона, геометрическое и гипергеометрическое распреде­
ление. Числовые характеристики дискретной случайной величины: ма­
тематическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклоне­
ние. Непрерывная случайная величина. Функция плотности вероятно­
сти. Числовые характеристики. Примеры распределения непрерывной
случайной величины: нормальное распределение, равномерное, показа­
тельное.

4.  Системы двух случайных величин. Понятие о системе несколь­
ких случайных величин. Функция распределения двумерной случайной
величины. Свойства функции распределения. Плотность совместного
распределения непрерывной двумерной случайной величины. Нахож­
дение функции распределения системы по известной плотности распре-

деления. Отыскание плотностей вероятности составляющих двумерной случайной величины. Зависимые и независимые случайные величины. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреля­ционный момент. Коэффициент корреляции.

5.  Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебы-
шева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема.

6.  Основные понятия математической статистики. Генеральная со­
вокупность и выборка. Распределение выборки. Числовые характери­
стики выборки. Оценка параметров генеральной совокупности: точеч­
ные и интервальные оценки параметров распределения (доверительный
интервал, доверительная вероятность). Статистическая проверка гипо­
тез. Критерий согласия Пирсона.

Раздел 5. Вариационное исчисление и задачи оптимального управления.

1. Примеры задач классического вариационного исчисления: зада­ча о брахистохроне, задача о поверхности вращения наименьшей пло­щади.

2.Простейшая задача вариационного исчисления.

3.  Необходимое условие локального экстремума.

4.  Решение задачи о брахистохроне.

5.Решение задачи о поверхности вращения наименьшей площади.

6.  Вариационная задача с несколькими неизвестными функциями.

7. Вариационная задача с подвижной границей.

8. Решение классической изопериметрической задачи. Вариацион­
ная задача на условный экстремум.

9.  Задачи оптимального управления. Принцип максимума.

8.5. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМ И ЛЕКЦИОННЫХ ЗАНЯТИЙ ПО СЕМЕСТРАМ.

3 семестр (34 часа).

I. функции комплексного переменного (16 часов).

1) Комплексные числа. (2 часа).

2)  Функции комплексного переменного (2 часа).

3)  Аналитические функции. Производные (2 часа).

4)  Интеграл от функции комплексного переменного (4 часа).

5)  Ряды Тейлора и Лорана (4 часа).

6)  Теория вычетов (4 часа).

II. Элементы гармонического анализа (10 часов).

1) Элементы функционального анализа (2 часа).

2)  Ряды Фурье сходимость ряда Фурье (4 часа).

3)  Комплексная форма ряда Фурье (2 часа).

4)  Интеграл Фурье (2 часа).

III. Операционное исчисление (8 часов).

1) Оригинал и изображение (2 часа).

2)  Основные теоремы операционного исчисления (2 часа).

3)  Дифференцирование и интегрирование оригиналов (2 часа).

4)  Теоремы разложения (2 часа).

IV. Элементы теории вероятности и математической статистики
(26 часов).

1) Случайные события. Вероятность. Условная вероятность. Тео­
рема умножения и сложения вероятностей. Формула полной
вероятности. Схема последовательных испытаний Бернулли (8
часов).

2)  Случайные величины. Функция распределения. Непрерывные и
дискретные случайные величины. Функция плотности вероят­
ности. Числовые характеристики (6 часов).

3)  Системы двух случайных величин (4 часа).

4)  Законы больших чисел (2 часа).

5)  Основные понятия математической статистики (6 часов).

V. Вариационные исчисления и задачи оптимального управления
(8 часов).

1) Примеры задач классического вариационного исчисления.

2)  Решение задачи о брахистохроне (2 часа).

3)  Решение задачи о поверхности вращения наименьшей площади
(2 часа).

4)  Вариационная задача с подвижной границей (2 часа).

5)  Задачи оптимального управления. Принцип максимума (2 часа).

8.6. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

3 семестр (34 часа).

Функции комплексного переменного (16 часов). 1) Комплексные числа. Функции комплексного переменного (4 часа).

2)  Дифференцирование функций. Аналитичность (2 часа).

3)  Интегрирование функций (4 часа).

4)  Разложение функций в ряд Тейлора и Лорана (2 часа).

5)  Вычеты и применение вычетов к вычислению интегралов (4 ча­
са).

Элементы гармонического анализа (8 часов).

1) разложение 2П - периодических функций в ряд Фурье (2 часа).

2)  Сходимость рядов Фурье и разложение 2е - периодических
функций в ряд Фурье (2 часа).

3)  Комплексная форма ряда Фурье. Амплитудный и фазовый
спектры (2 часа).

4)  Интеграл Фурье (2 часа).

Операционные исчисления (8 часов).

1) нахождение изображений функций по оригиналам (2 часа).

2)  Решение дифференциальных уравнений и систем операцион­
ным методом (4 часа).

3)  Теоремы разложения (2 часа).

4 семестр.

Элементы теории вероятности и математической статистики (34

часа).

1) Случайные события (8 часов).

2)  Случайные величины (6 часов).

3)  Системы случайных величин (2 часа).

4)  Законы больших чисел (2 часа).

5)  Основные понятия математической статистики (6 часов).

Вариационное исчисление и задачи оптимального управления (8 часов).

1) Простейшая задача вариационного исчисления. Задачи, допускающие
понижение порядка в уравнении Эйлера.

2)  Задача с подвижной границей. Условие трансверсальности.

3)  Изопериметрическая задача. Применение теоремы Эйлера и принци­
па взаимности.

4)  Условный экстремум. Использование правила множителей Лагранжа.

8.7. КОНТРОЛЬНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ

3 семестр.

1) Типовой расчет №5 "Теория функции комлексного переменного".

2)  Контрольная работа по теме: "Ряды Фурье и интеграл Фурье".

3)  Самостоятельная работа по теме: "Операционное исчисление".
Самостоятельная работа студентов:

1) Подготовка к лекциям и практическим занятиям (34 часа).

2)  Типовой расчет №5 (12 часов).

3)  Подготовка к контрольной и самостоятельной работам (12 часов).

4 семестр.

1) Типовой расчет №6 "Теория вероятностей и элементы математиче­
ской статистики".

2)  Контрольная работа по теории вероятностей.

Самостоятельная работа студентов:

1) Подготовка к лекциям и практическим занятиям (34 часа).

2)  Типовой расчет №6 (12 часов).

3)  Подготовка к контрольным работам (12 часов).

Литература.

1.  Бугров математика. В 3 т. : учебник для вузов. Т. 3. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного / , .-М.: Дрофа, 2003.- 511 с., Феникс, 1997.- 511 с.(Всего 25 экз.)

2.  Будак интегралы и ряды : Учебник / , .-М.: Физматлит, 2002.- 511с. (Всего 4 экз.)

3.  Краснов комплексного переменного. Задачи и примеры с подробными решениями : учебное пособие для втузов / , , .-М.: Едиториал УРСС, 2003.- 205 с. (Всего 2 экз.+старые)

4.  Свешников функций комплексной переменной : Учебник для вузов по спец. "Физика" и "Прикладная математика" / , .-М.: Наука, 1999.-320 с., ".-М.: Физматлит, 2001.-335 с. (Всего 24 экз.)

5. Гмурман вероятностей и математическая статистика : учебное пособие для вузов / .-М.: Высшая школа, 1997-2005гг.- 479 с. (всего 281 экз.)

6. Гмурман к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. Учебное пособие для вузов.-М.: Высш. шк., 1997-2005гг.-400 с. (всего 246экз.)

7. Вентцель вероятностей : Учебник для вузов.-М.: Высш. шк., 1998-2003гг.

- 575 с. (всего 191 экз.)

ДОПОЛНИТЕЛЬНО:

, , Эльсгольц комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. – Мю: Наука, 1968 и последующие издания