СРАВНЕНИЕ РОЛИ РЕДКОЙ ВЫБОРКИ И СКРЫТОГО ОБЩЕГО ВОЗДЕЙСТВИЯ ПРИ ВЫЯВЛЕНИИ СВЯЗИ МЕЖДУ ОСЦИЛЛЯТОРАМИ
1,2, 2,1, 1,2
1 - Саратовский государственный университет им. ,
2 - Саратовский филиал ИРЭ им. РАН
E-mail: krylov. *****@***ru
Изучение взаимодействий между колебательными системами представляет собой важную задачу в самых разных областях науки и техники [1,2], включая геофизику и нейрофизиологию. Особенно часто необходимо оценить насколько сильно влияние одного наблюдаемого процесса на другой.
Причинность по Грейнджеру при такой постановке задачи - наиболее часто используемый подход [3]. Система Y является «причиной по Грейнджеру» (влияет) на систему X, если прогноз будущего поведения X с учетом данных Y точнее по сравнению с прогнозом, основанном только на учете данных о системе X. Ненулевое улучшение прогноза (PI) обычно понимают как наличие физического воздействия Y на X, а ненулевое PI «в обе стороны» понимают как признак двунаправленной связи. Прогноз осуществляется на один временной шаг (или интервал выборки Δt) вперед. Ранее в математических работах было показано, что при достаточно редкой выборке (т. е. большом Δt) даже в случае однонаправленной связи, может наблюдаться ненулевое PI в обе стороны, что может привести к ложным срабатываниям (эффект ложных связей)[4,5]. Тем не менее, до сих пор остается неясным насколько типично и сильно влияние редкой выборки с физической точки зрения. Также остается неясным, насколько эффект ложных связей силен в широко распространенном случае выборки с осреднением и насколько его влияние сопоставимо с влиянием шума наблюдений и скрытого общего источника воздействия.
Данная работа посвящена поиску таких условий на примере простой математической системы, являющейся моделью широкого класса колебательных систем.
А именно, в данной работе используются линейные стохастические диссипативные осцилляторы с однонаправленной связью, описанные стохастическими разностными уравнениями [6]:
(1),
где коэффициенты 
(2), 
(3), b1 и b2 вычисляются через Ty and τy по аналогии с a1 и a2 соответственно, ξ - Гауссовские взаимно некоррелированные белые шумы с дисперсией, принятой за 1. T в формулах для коэффициентов - период, а τ - время релаксации колебаний. Коэффициент связи k является переменной величиной.
Также в данной работе варьируются индивидуальные параметры осцилляторов (а именно, фиксированное соотношение временных масштабов r1 и r2 - такое, что, Ty= r1Tx и τy= r2τx) для изучения случаев влияния «быстрого» осциллятора на «медленный» и наоборот. Значения PI вычисляются точно (без помощи метода статистической оценки временных рядов) через определители матриц ковариаций двумерного процесса (1), который находим, решая линейные дифференциальные уравнения для моментов второго порядка[7]. Этот расчет проводится для разных интервалов выборки больших единицы для того, чтобы симулировать низкое временное разрешение прореженных данных. Рассматривается как вариант «простого» прореживания, где из имеющихся данных выбираются отдельные i-ые точки, где i - натуральное число, так и вариант прореживания с осреднением. Под большими PI будем понимать PI>>0.01.
В ходе исследований показано, что для осцилляторов с одинаковой добротностью при достаточно редкой выборке наиболее силен эффект редкой выборки, когда «медленный» осциллятор влияет на «быстрый». В обратной ситуации эффект пренебрежимо мал. В первом случае выводы, полученные на основе оценок причинности по Грейнджеру, т. е. выводы о влиянии «быстрых» процессов на «медленные», должны дополнительно проверяться с помощью специальных тестов [8]. Выводы о влиянии «медленных» процессов на «быстрые», могут быть приняты как надежное свидетельство физического воздействия. Для осцилляторов с различной добротностью показана сильная зависимость эффекта от времен релаксации осцилляторов.
При осреднении эффект ложных связей между осцилляторами не только не исчезает, но и заметно усиливается при тех же условиях, которые были получены для случая простого прореживания.
Эффект ложных связей наиболее силен при очень редкой выборке (около трех и менее значений наблюдаемой переменной на характерном периоде), когда он может проявляться при значениях взаимной корреляционной функции, существенно меньших единицы. При большей частоте выборки эффект заметно проявляется только при сильной взаимной корреляции наблюдаемых временных рядов.
Проведен аналогичный анализ условий, при которых эффект ложных связей из-за скрытого источника сигнала (общего воздействия) проявляется наиболее сильно. А именно, найдены значения улучшения прогноза в ложную сторону при различных значениях периодов колебаний, времен релаксации, коэффициентов связи, уровня шума наблюдений. Исследование проводится на эталонной системе осцилляторов:
. (2)
где zn – скрытый процесс, a3 – параметр, определяющий время автокорреляции общего воздействия z, коэффиценты c1 и c2 – коэффициенты связи, определяющие силу воздействия процесса Z на X и Z на Y. Остальные значения параметров определены по аналогии с (1). В работе установлено, при каких интенсивностях внешнего воздействия, эффект ложных связей становится столь же сильным, как максимальный эффект ложных связей из-за редкой выборки при прочих неизменных значениях параметров.
Работа выполнена при поддержке РНФ (грант № 14-12-00291).
Библиографический список
1. Pikovsky A. S., Rosenblum M. G., and Kurths J. Synchronization: A Universal Concept in
Nonlinear Sciences // Cambridge University Press, Cambridge, 2001.
2. Anishchenko V. S., Astakhov V. V., Neiman A. B.,Vadivasova N. E., Schimanski-Geier L.
Nonlinear dynamics of chaotic and stochastic systems // Springer-Verlag, Berlin 2002.
3. Granger C. W.J.// In: Econometrica №37 (1969) С. 424.
4. Smirnov D. A., Bezruchko B. P.// In: Europhys. Lett. № 000 (2012) 10005.
5. Крылов С.Н., Смирнов Д.А., Осипов Г.В., Безручко Б.П. // Письма в ЖТФ Т. 41 №11 (2015) С. 94.
6. Timmer J., Lauk M., Pfleger W., and Deuschl G.// In: Biol. Cybern. №78 (1998) С. 349.
7. Smirnov D. A.// In: Phys. Rev. E, №87 (2013) 042917.
8. , // In: Изв. ВУЗов. 55. № 10-11 (2012). С. 736.
Сведения об авторах
· – аспирант, г.
· – д. ф.- м. н., в. н.с. СФ ИРЭ им. РАН, г.
· – д. ф.- м. н., профессор, г.
Вид доклада: стендовый
