Методические основы цифрового управления

Введение. Согласно [1,2], цифровой называют систему, в состав которой входит компьютер. В этих монографиях и им подобным не уделяется должного внимания особенностям цифрового сигнала и методам его обработки, которые представляют интерес при решении задач управления. Компьютер, в первую очередь, является техническим средством реализации тех алгоритмов, на основе которых и решаются поставленные задачи. Цель настоящей работы заключается в определении методических основ цифрового управления для некоторого класса управляемых объектов.

Ряд задач управления могут быть объединены в класс, когда управляемый объект должен достичь требуемого состояния в будущий момент времени. К этому классу относится значительное число управляющих устройств и систем. При решении таких задач следует использовать методы прогнозирования.

При разработке систем управления, требующих для решения применения методов прогнозирования можно воспользоваться либо математическим моделированием, либо методами экстраполяции. Проблема математического моделирования заключается в неадекватности разрабатываемых математических моделей.

В связи с такой эффективностью математического моделирования при решении задачи прогнозирования остановимся на применении экстраполяции.

Сформулируем условия экстраполируемости, которым должен отвечать прогнозируемый процесс.

Условия прогнозируемости. Под экстраполяцией функции понимается операция определение значения функции в будущие моменты времени на основе значений, полученных до текущего момента. На языке математического анализа операцию экстраполяции можно определить, как выражение значений функции через саму функцию при другом значении аргумента .

В математическом анализе известно выражение коэффициентов многочлена через значения самого многочлена и его производных. Случай многочлена обобщен на произвольную функцию и назван разложением функции в ряд Тейлора [3]:

Если , то ряд Тейлора можно использовать как алгоритм экстраполяции. Ряд Тейлора дает приближенное значение функции , но это приближение может быть сколь угодно малым, поэтому ряд Тейлора можно использовать, как эталонный алгоритм экстраполяции и сравнивать с ним другие методы экстраполяции, например, экстраполяцию, получаемую с помощью нейронных сетей.

Опираясь на свойства ряда Тейлора, получим свойства экстраполируемости. Функция экстраполируема, если на интервале задания и экстраполяции она непрерывна и имеет производные любого порядка. Интервалом задания в нашем случае являются значения функции состояния, полученные до текущего момента времени.

Под управлением понимают воздействие на управляемый объект, предназначенное для достижения определенной цели. Момент времени, когда должен быть достигнут результат управления, назовем целевой точкой. Для получения уравнения управления воспользуемся понятием функции состояния объекта. В нашем случае функция состояния является функцией времени.

Рассмотрим реальный процесс, протекающий во времени. Будем считать, что он непрерывен и не имеет разрывов в производных.

Информацию об этом процессе получают путем наблюдения. Результаты наблюдения используются для определения функции состояния. С помощью прогнозирования получают значения функции состояния в целевой точке по результатам наблюдения, полученным до текущего момента времени.

В текущий момент времени функция состояния претерпевает разрыв, в то время как сам физический процесс непрерывен. Если пренебрегать такими событиями, как разрыв, неизбежно столкнешься с явлением, известным как явление Гиббса. Явления Гиббса гибельно сказываются на результатах прогнозирования.

Таким образом, чтобы получить значения функции состояния в будущие моменты времени, требуется преодолеть проблему разрыва функции, т. е. восстановить непрерывность функции.

Подведем некоторые итоги вышеизложенному и наметим пути решения проблемы:

1.  Решение задач управления определенным классом объектов, когда целевая точка находится в области будущего времени, основано на методах прогнозирования.

2.  Решение задачи прогнозирования связано с решением задачи с разрывными функциями.

3.  Для успешного решения задач с разрывными функциями требуется проанализировать такие функции, чтобы определить их свойства и особенности.

4.  Для определения свойств и особенностей функций с разрывами воспользуемся гармоническим анализом.

5.  Исходной информацией для решения задач управления являются данные наблюдения за управляемым объектом. Результаты наблюдения представлены в виде последовательности равноотстоящих отсчетов.

6.  Поскольку в настоящей работе речь идет о методах цифровой обработки, воспользуемся для целей анализа дискретным преобразованием Фурье (ДПФ).

Особенности дискретного преобразования Фурье.

Непрерывное преобразование Фурье сыграло значительную роль в развитии радиотехники, как в анализе радиосигнала, так и в синтезе разнообразных радиотехнических устройств. Дискретное же преобразование Фурье не достигло подобных результатов в обработке цифрового сигнала. Инженеры используют ДПФ только потому, что оно аппроксимирует непрерывное преобразование Фурье, при этом, зачастую, не понимая тех особенностей, которые обусловлены аппроксимацией, тем более, что не все особенности описаны в научной литературе.

Чтобы познакомиться со свойствами ДПФ и понять те трудности, которые встречаются при использовании ДПФ, полезно рассмотреть вывод дискретного преобразования Фурье.

Пусть функция времени представлена рядом из последовательных отсчетов, взятых через равные интервалы вре­мени (рис. 1). Сдвигая по оси времени данную последователь­ность на , образуем бесконечную периодическую по­следовательность. Соответствующая ей функция времени с периодом может быть аппроксимирована рядом Фурье

где i - номер гармоники.

Рис. 1. Образование периодической последовательности отсчетов.

Введем безразмерное время , в котором моментам отсчетов соответствуют целые числа

перейдем к комплексному виду

.

Введя отрицательные частоты, получим

, (1)

где и – пара комплексно-сопряженных векторов.

В ходе времени эти векторы вращаются с угловой скоростью

(2)

в положительном направлении при i > 0 (положительная частота) и в отрицательном направлении при i < 0 (отрицательная частота).

Значения аппроксимирующей функции могут и не совпадать с заданными отсчетами, отличаясь на

,

где n – номер отсчета.

Если принять, что наилучшей аппроксимации соответствует наименьшее значение суммы квадратов отклонений по всем заданным отсчетам (узловым точкам)

то амплитуды гармоник ряда (1) C могут быть определены из условия равенства нулю частных производных от S по C:

Здесь r – фиксированное значение номера гармоники i, комплексная амплитуда которой отыскивается.

Раскрыв скобки и изменив порядок суммирования, получим

. (3)

Воспользовавшись тригонометрическим тождеством

, (4)

получим значение суммы :

.

Так как i + r – целые числа, то сумма

при ,

при .

Подставив значения в (3), получим

(5)

Следовательно, спектр ряда (1) аппроксимирующего процесс, заданный 2N + 1 последовательными отсчетами, является сочетанием (2I + 1) векторов (комплексных амплитуд) В их числе I пар комплексно-сопряженных векторов. Сумма всех векторов спектра равна значению аппроксимирующей функции в нулевой момент времени d = 0, приходящийся на средний отсчет (рис. 1).

Значение аппроксимирующего ряда в момент d является суммой векторов спектра, повернутых на угол

. (6)

Значения d в (1) и (6) непрерывны.

Вклады отдельных отсчетов в спектр процесса и в ряд,

представляющий исходный процесс

Каждый из 2I + 1 векторов спектра аппроксимирующего ряда, как видно из (5), является суммой 2N + 1 комплексных величин, зависящих от величин соответствующих отсчетов. Влияние каждого отсчета сказывается на всех гармониках спектра. Вклад n-го отсчета в спектр, согласно (5), равен

(7)

и представляет собой сочетание 2I +1 векторов с одинаковыми модулями, равными

.

Эти векторы образуют с действительной плоскостью углы, равные

,

причем углы между смежными векторами равны

.

Вклад отсчета в спектр напоминает расческу, закрученную вокруг ее спинки (рис. 2).

Рис. 2. Графическое представление вклада отсчета с номером n в спектр процесса.

Если совместить нуль времени с моментом отсчета, то «векторная расческа» выпрямится, так как при этом каждый вектор повернется на угол, равный

,

и совместится с действительной плоскостью (рис. 3,а).

Вклад отсчета в спектр, отнесенный к моменту отсчета, будем называть «собственным спектром» отсчета, который представляет собой сочетание (2I + 1) векторов, лежащих в действительной плоскости с одинаковыми модулями, равными

, (8)

где – величине n–го отсчета, (2N + 1) – число отсчетов; интервал между векторами по оси частот равен

(9)

Вклад n-го отсчета в аппроксимирующий ряд, согласно (1), равен

.

Воспользовавшись тригонометрическим тождеством (4), получим

. (10)

Из (10) следует, что вклад отсчета n в аппроксимирующий ряд (1) является периодической функцией времени, период которой в шкале равен 2N + 1, т. е. числу отсчетов в исходном массиве. Кривая пересекает нулевую линию 2I раз за период (рис. 3,б). Наибольшие значения равны

.

Особым является случай, когда число используемых гармоник 2I + 1 равно числу отсчетов (2N +1). При этом вклад n-го отсчета в ряд равен

. (11)

Рис. 3. Графическое представление: а) «Собственного спектра» n-го отсчета,

б) отношение вклада n-го отсчета в процесс к величине этого отсчета.

Наибольшее значение (при d = n) равно

,

т. е. самому отсчету, а в моменты других отсчетов значения вклада равны нулю. Следовательно, при I = N вклады отдельных отсчетов ортогональны на узловых точках.

Введя условия I = N в (1) и (5) , получим известные выражения дискретного преобразования Фурье (ДПФ) [4]

(12)

(13)

Выражение (12) можно представить в виде суммы вкладов всех 2N + 1 отсчетов

, (14)

причем является интерполирующей функцией: соответствующая кривая проходит через все (2N + 1) заданные точки.

Примечательно, что на один период составляющей ряда (12) с наибольшей частотой (гармоника N) приходится

отсчетов,

Восстановление процесса дискретным рядом Фурье. Особенности ДПФ

Интерполирующая функция, полученная с помощью ДПФ, точно соответствует заданным отсчетам. В интервалах между отсчетами и за пределами ряда отсчетов могут быть ошибки. Погрешности вне отсчетов являются основным критерием при сравнении различных методов интерполяции. Для определения этих погрешностей можно, например, сначала заменить известную пробную функцию времени последовательностью отсчетов, а затем, выполнив интерполяцию и сравнив результаты ее с исходными данными (например, для середин интервалов), получить ошибки интерполяции.

Если допустить, что реальный процесс может быть представлен линейной суммой гармонических колебаний, то такой пробной функцией может служить гармонический процесс

, (15)

или в комплексном виде

, (16)

где – амплитуда, – круговая частота, – начальная фаза.

Представив непрерывно заданную функцию времени последовательностью 2N + 1 отсчетов с интервалами и перейдя к безразмерному времени , получим

Определим спектр интерполирующей функции, применив (13),

. (17)

Воспользовавшись тригонометрическим тождеством (4) и введя круговую частоту в соответствии с (9)

(здесь – круговая частота первой гармоники), а также частоту Найквиста , получим

. (18)

Здесь , – целое число; .

Из (18) следует, что спектр интерполяции с помощью ДПФ гармонического процесса, заданного 2N +1 отсчетами, является суммой двух линейчатых (частных) спектров, расположенных в плоскостях, образующих с действительной плоскостью углы и (рис 4).

Каждый частный спектр состоит из 2N +1 спектральных линий, расположенных симметрично относительно линии нулевой частоты.

Нормированной огибающей частных спектров является функция

, (19)

где

для плоскости ,

для плоскости .

Период этой функции в шкале круговых частот равен . Наибольшее значение функция принимает в максимуме главного лепестка при и т. д. Следовательно, она четна относительно линий или в плоскости и в плоскости . За один период функция пересекает нулевую линию 2N раз.

Рис. 4. Интерполяции с помощью ДПФ: спектры интерполирующего ряда 1, исходного процесса 2, огибающая спектра 3.

Ширина главного лепестка равна удвоенному интервалу, а ширина боковых лепестков равна интервалу между гармониками спектра или частоте первой гармоники

.

Следовательно, число и расположение спектральных линий, а также очертания огибающей спектра зависят только от числа исходных отсчетов и интервала между ними, расположение же огибающей по оси частот – только от частоты анализируемого процесса, расположение плоскостей частного спектра – только от его начальной фазы.

Сравнение спектров восстановленного и исходного процессов позволяет выявить некоторые особенности ДПФ. Эти спектры идентичны только в случаях, когда частота исходного процесса, а, следовательно, и осевая линия главного лепестка огибающей спектра совпадает с одной из гармоник спектра ряда ДПФ. Все гармоники, кроме выделенной главным лепестком огибающей обращаются в нуль. В области времени этому соответствует кратность периодов наблюдения и исходного процесса, а, следовательно, и идеальная (без разрывов функции и ее производных) стыковка на границах основного и дополнительных периодов (рис. 1).

Если частота исходного процесса не совпадает ни с одной из гармоник, например, она приходится на середину интервала между двумя из них (рис. 5,б), то в главном лепестке появляются две спектральные составляющие и по одной в каждом боковом лепестке. Это явление называют [4] растеканием спектральных составляющих (leakage) и «паразитной» амплитудной модуляцией (picket-fence effect – эффект частокола). Во временной области ему соответствует некратность периодов наблюдения и исходного процесса, следствием чего является наличие разрывов на границе основного и дополнительных периодов, проявляющихся в виде ошибок восстановления вблизи границ периода наблюдения (явление Гиббса).

Способы повышения точности восстановления ДПФ, «организуемые» в частотной области. Представление процесса рядом Котельникова.

В зависимости от частоты исходного гармонического процесса спектры восстановленного ДПФ и исходного процессов могут полностью совпадать и существенно отличаться. Это наблюдается как в главном лепестке, где может происходить расщепление спектральной линии исходного процесса, так и в боковых лепестках спектра, где могут появиться линии, отсутствующие в спектре исходного процесса. Структура восстановленного спектра при изменении исходной частоты тоже изменяется. Полное исключение изменений, т. е. идентичность спектров исходного и восстановленного процессов, не достижимо. Поэтому целесообразно допустить некоторые изменения, обеспечив независимость (или слабую зависимость) их от частоты исходного процесса.

Изменения структуры спектра являются следствием линейчатости спектра ДПФ (эффект частокола). Поэтому для устранения этого эффекта целесообразно использовать преобразование, обладающее сплошным спектром.

Кроме того, необходимо более полное сосредоточение энергии в главном лепестке, т. е. необходимо уменьшить растекание спектра (leakage).

ДПФ со сплошным спектром. Конечный ряд Котельникова. Переход к ДПФ со сплошным спектром может быть выполнен следующим образом. Первый этап перехода – неограниченное увеличение числа отсчетов. При этом интервал между линиями собственного спектра отсчета стремится к нулю

,

т. е. спектр переходит в сплошной, ограниченный пределами (рис. 5,б).

Рис. 5. Ряд Котельникова. а) – вклад отсчета для ряда Котельникова,

б) – «собственный спектр» отсчета.

Спектральная плотность собственного спектра отсчета n равна

. (20)

Напомним, что сумма векторов «собственного спектра» отсчета n, согласно (8), равна самому отсчету .

Вклад отсчета n в ряд, согласно (10), при неограниченном увеличении числа отсчетов и сохранении интервала между ними () переходит в

. (21)

Сумма вкладов всех отсчетов равна

. (22)

Перейдя к физическому времени , получим известное выражение ряда Котельникова (теоремы Котельникова) [5]:

. (23)

Для того чтобы представить рядом Котельникова процесс, заданный конечным числом отсчетов 2N +1, достаточно ввести в (22) конечные пределы

. (24)

Этому соответствует добавление к исходным отсчетам неограниченного числа отсчетов с номерами и (рис. 6) и нулевыми значениями.

Рис. 6. Конечный ряд Котельникова. Расширение области определения.

Таким образом, ряд Котельникова является аналогом интеграла Фурье для дискретного задания функции.

Хотя приемы перехода от ряда Фурье к интегралу и от ДПФ к конечному ряду Котельникова (КРК) схожи, результаты их различны:

-  бесконечным спектром интеграла Фурье определяется процесс конечной длительности, заданный непрерывно на конечном интервале;

-  конечным спектром КРК определяется процесс бесконечной длительности, заданный дискретно конечным числом отсчетов (в последнем нет противоречий, так как восстановленный рядом Котельникова процесс равен нулю в моменты отсчетов за пределами интервала задания (рис. 6)).

Особенности спектра конечного ряда Котельникова. Для выявления свойств КРК восстановим пробный гармонический процесс

.

Собственный спектр отсчета n ряда Котельникова представляет собой векторный флажок, лежащий в действительной плоскости, с протяженностью по оси частот и высотой, равной, согласно (20), спектральной плотности

.

Подставив в (20) значение для гармонического процесса, получим собственный спектр отсчета

, (25)

представленный на рис. 7 двумя векторными флажками, образующими с действительной плоскостью углы и , высоты флажков равны .

Вклад отсчета n в спектр гармонического процесса получается сдвигом (25) по временной оси в нулевую точку

(26)

Сумма вкладов всех 2N +1 отсчетов, т. е. спектральная плотность КРК

.

Воспользовавшись тождеством (4), получим

(27)

На рис. 7 это выражение представлено графически.

Рис. 7. Спектр конечного ряда Котельникова

Таким образом, спектр КРК имеет следующие общие со спектром ДПФ (рис.4) особенности:

1)  нормированная огибающая частных спектров ДПФ и кривая нормированной спектральной плотности частных спектров КРК идентичны и определяются только числом исходных отсчетов и интервалом между ними. В соответствии с (19) имеем

;

2)  максимумы огибающей спектра ДПФ и кривой спектральной плотности КРК лежат на линии частоты исходного гармонического процесса ;

3)  плоскости частных спектров ДПФ и КРК образуют с действительной плоскостью углы, равные начальной фазе исходного процесса;

4)  спектры ДПФ и КРК ограничены пределами .

Наряду с этим спектр ДПФ дискретен, а спектр КРК непрерывен, хотя степень растекания спектра, зависящая от ширины главного лепестка

, (28)

одинакова как для ДПФ, так и для КРК. Спектру КРК всегда присуще растекание, спектр же ДПФ при некоторых значениях исходной частоты идентичен исходному спектру, т. е. не растекается по всем боковым лепесткам.

Следовательно, структура спектра КРК в меньшей степени зависит от исходной частоты. Однако некоторая зависимость спектра КРК от исходной частоты все же имеется. В этом случае эффект частокола сменяется эффектом «окна», вызывающим асимметричность огибающей частного спектра относительно линии исходной частоты. Если последняя равна нулю (), то «окном» с границами выделяется симметричная относительно линии часть огибающей спектра. Если исходная частота отлична от нуля, то ее линия смещена с центра «окна», и «окно» выделяет несимметричный относительно исходной частоты частный спектр (рис. 8,б).

При неограниченном увеличении числа исходных отсчетов спектр ряда Котельникова обращается в спектральную линию исходного процесса с модулем, равным , смещенную относительно центра «окна». Растекание спектра исчезает, исчезает также и эффект «окна», так как по обе стороны от линии исходной частоты спектр равен нулю. Растекание спектра и эффект «окна» связаны с заданием процесса в виде конечного числа равноотстоящих отсчетов, которое может трактоваться как умножение неограниченного бесконечного процесса на некоторую «выделяющую» функцию, т. е. как амплитудная модуляция.

Рис. 8. Эффект «окна» при восстановлении КРК гармонического процесса с

круговой частотой заданного 2N+1 отсчетами: а) = 0 – огибающая частного спектра симметрична, б) ¹ 0 – огибающая частного спектра не симметрична,

Если выделяющая (модулирующая) функция известна, то, в принципе, становится возможным восстановление процесса на бесконечном интервале делением КРК, соответствующего исходным отсчетам, на выделяющую функцию.

Известно из основ теоретической радиотехники [6], что амплитудная модуляция приводит к появлению в спектре боковых составляющих либо дискретных, либо сплошных, расположенных симметрично относительно линии несущей частоты . Огибающая частного спектра в шкале подобна огибающей спектра модулирующей функции. Если огибающая частного спектра несимметрична относительно линии несущей частоты, то помимо амплитудной имеет место и фазовая модуляция. Следовательно, появление эффекта «окна» приводит к тому, что становится невозможным восстановление процесса с использованием деления на выделяющую функцию. (Исключением является случай, когда = 0, т. е. процесс – постоянная величина).

Отсюда следует, что устранение эффекта «окна» способствует повышению точности восстановления спектра исходного процесса. Подавление боковых лепестков частного спектра методами, изложенными в [9], способствует подавлению эффекта «окна».

Выводы.

Применение спектральных методов было издавна плодотворным во многих отраслях науки и техники, и особенно там, где явления по своей природе периодичны (акустика, радиотехника, и др.). Преобразование Фурье устанавливает однозначное соответствие между сигналом, определенным во временной области, и его отображением в частотной. В результате спектрального анализа облегчается построение алгоритма или устройства обработки сигнала.

Методы спектрального анализа и синтеза аналогового радиосигнала могут быть использованы для тех же целей в случае цифрового сигнала. Гармонический анализ цифрового сигнала на основе ДПФ позволил определить эффект, связанный с конечной выборкой цифрового сигнала. Этот эффект назван эффектом функции окна, или эффектом окна. Выбор функции окна позволяет сформировать условия, при которых возможна амплитудная демодуляцию путем операции деления, что позволяет получить исходный процесс, как на интервале его существования, так и в области экстраполяции. При проведении операции демодуляции плодотворной оказалась идея применения функций с ограниченным спектром. Восстановление непрерывности основано на использовании ограниченных по спектру функций. Применение выделяющей функции с ограниченным спектром позволило смоделировать ситуацию разрыва функции с помощью комбинации непрерывных функций.

Идея использования оконных функций не нова. Она появилась при поиске методов борьбы с последствиями разрывов. Наиболее обстоятельно тема оконных функций рассмотрена в работе [7], когда окна используются при синтезе нерекурсивных цифровых фильтров с помощью БПФ. В настоящей работе предлагается применение окон не только для восстановления непрерывности, но и для восстановления дискретной функции. С этой целью предлагается гипотеза использования ограниченных по спектру функций. Спектр произведения двух ограниченных по спектру является симметричной функций, что следует из тригонометрического равенства

. (29)

Если в качестве выделяющей функции и функции состояния выбрать ограниченные по спектру функции, то функцию состояния можно определить на основе выражения (29) путем операции деления.

Хемминг не полностью учитывал эффект окна: так если результаты фильтрации разделить на восстановленную функцию окна, то фильтрация будет более эффективна (значительно подавятся колебания Гиббса). Только надо иметь в виду, что функция окна должна формироваться при условии, что степень подавления в полосе среза должна быть не менее 250 дБ, такими значениями ни фильтр Хемминга, ни другие окна [8] не обладают.

Выделяющая функция формируется с помощью полиномов Чебышева [9], функция состояния, прежде чем поступит на операцию восстановления непрерывности и экстраполяции, должна пройти предварительную цифровую обработку. Условие ограниченности спектра при восстановлении непрерывности требует ограниченности спектра функции состояния. Цель предварительной обработки заключается в том, чтобы выделить из результатов измерения функции состояния составляющую, имеющую ограниченный спектр, при этом полоса частот функции может выбираться на основе оптимального соотношения сигнал/шум. Точность восстановления зависит от полосы частот.

В работе получены методические основы восстановления непрерывности, расчета производной дискретного процесса и экстраполяции, которые могут являться и основой цифрового управления. Материалы, которые можно рассматривать, как дополнение к настоящей работе, изложены в [10-12].

Литература.

1. Теория и проектирование цифровых систем управления. М.: Машиностроение.

1986.

2. Современные системы управления. – М,: Лаборатория Базовых

Знаний, 2004. – 832с.

3. Курс дифференциального и интегрального исчисления: В 3 т. Т 1 –

М: ФИЗМАТЛИТ, 2007. – 680 с.

4. Бергланд. Руководство к быстрому преобразованию Фурье. Зарубежная

радиоэлектроника. №3, 1971. с. 52 – 72.

5 ., О пропускной способности «эфира» и проволоки в электросвязи.

Радиотехника, 1999. № 4-5. С. 42-55.

6 Гоноровский

7 Хемминг Р. В., Цифровые фильтры. Советское радио. Москва, 1980г. 224 с.

8 ж. Использование окон при гармоническом анализе методом дискретного

преобразования Фурье //ТИИЭР. 1978. т. 66. № 1. С. 60-90.

9.  , Цифровая фильтрация в задачах восстановления непрерывного процесса по дискретным отсчетам. – Информационно-измерительные и управляющие системы. №3, т.8, 2010. с. 51 – 61.

10.  , Дискретизация и теорема дискретизации. // Автоматика и Телемеханика, 2006, № 12, с. 145-153.

11. , Методы экстраполяции на основе алгоритма восстановления непрерывного процесса по конечному числу равноотстоящих отсчетов. // Автоматика и Телемеханика, 2008, № 1, с. 183-189.

12.  , Интеллектуальные информационные системы управления.// Нейрокомпьютеры: разработка, применение. 2009. № 12. С. 59 – 62.