ДИСПЕРСИЯ ВОЛНОВОДНЫХ МОД ПРЯМОУГОЛЬНОГО ВОЛНОВОДА С ФРАКТАЛЬНЫМ ДИЭЛЕКТРИКОМ
,
Самарский государственный университет
E-mail: *****@***ru
В последнее время во многих разделах физики наблюдается повышенный интерес к исследованиям волновых процессов природных и искусственных средах с фрактальными свойствами [1]. В электродинамике к ним относятся, в частности, волны в диэлектриках в условиях, когда процессы неэкспоненциальной релаксации [2] определяют дробную частотную дисперсию диэлектрической восприимчивости. Результаты исследований применимы, например, в диагностике параметров диэлектриков, плазмы и полупроводников [3].
В настоящем сообщении решается модельная задача о распространении волноводных мод в прямоугольном волноводе, частично заполненном диэлектриком с дробным током смещения. Предполагается, что в диэлектрике первое уравнение Максвелла имеет вид
. (1)
Здесь Е и Н – векторы электрического и магнитного полей, 
– электрическая постоянная, 
– относительная диэлектрическая восприимчивость среды, 
– проводимость. Правая часть уравнения (1) содержит две частных производных по времени – первого порядка 
и производную Лиувилля дробного порядка 
, определяемую как
,
где 
, 
– гамма-функция.
Рассмотрена волноведущая структура, в которой диэлектрическая пластина толщиной 
полностью заполняет прямоугольный волновод по высоте и расположена между двумя областями вакуума с толщинами 
и 
(a – размер широкой стенки волновода).
Дисперсионное уравнение для постоянных распространения 
мод 
имеет вид
(2)
с волновыми числами
и 
Дисперсионное уравнение (2) решено методом дифференцирования по параметрам 
и 
. Дисперсионные характеристики первых трех мод представлены на рис. 1, где сплошные линии соответствуют действительным частям постоянных распространения, а пунктирные – мнимым. Расчеты проведены для значений 
, 
и 
.
 |
Рис. 1. Дисперсионные характеристики волноводных мод
Из рис. 1 и аналогичных ему следует, что наличие дробной компоненты тока смещения в уравнении (1) при 
приводит к размытию областей отсечки волноводных мод и возникновению их затухания. При 
диэлектрик становится активным – способным усиливать электромагнитное излучение. Но физическая реализация такой модели требует учета дополнительного источника энергии. Кроме того, в этом случае необходимо решать вопросы устойчивости волноведущей системы, например, как это сделано в работе [4].
Библиографический список
1. Тарасов В. Е. Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного порядка. – М.–Ижевск: Ижевский институт компьютерных исследований, 2011. 568 с.
2. Нигматуллин Р. Р., Рябов Я. Е. Диэлектрическая релаксация типа Коула – Девидсона и самоподобный процесс релаксации // Физика твердого тела. 1997. Т. 39. №1. С. 101–105.
3. Пережогин А. С., Шевцов Б. М. Нестационарные отражения волн в средах с фрактальной дисперсией // Радиотехника и электроника. 2014. Т. 59. №1. С. 46–52.
4. Зайцев В. В., Занин В. И., Тяпухин П. В. Дисперсия электромагнитной волны в прямоугольном волноводе с активной полупроводниковой неоднородностью // Электронная техника. Электроника СВЧ. 1987. Вып. 3(397). С. 27–29.
