Варианты УИРС
по теме
«Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду»
ЗАДАНИЕ: приведите данное уравнение к каноническому виду и постройте кривую, изобразив на чертеже все вводимые по ходу решения прямоугольные системы координат; запишите формулы преобразования координат.
1. 
Решение. Найдем координаты центра 
КВП из условия, что в выражении
отсутствуют слагаемые, линейные по переменным:
Таким образом, кривая центральна и координаты центра 
. Перенесем в эту точку начало координат:
В новых координатах уравнение КВП имеет вид
.
Выполним поворот координатных осей:
В новых координатах уравнение записывается так:
Приведем подобные слагаемые:
Поворот к главным осям КВП определяется углом, при котором
,
то есть 
. Выберем в качестве решения этого уравнения такой угол, что 
(при этом 
). Новые оси наклонены к старым под углом 
: 
.
При таком выборе угла уравнение КВП примет вид
Или, окончательно, 
.
Формулы преобразования координат:
Уравнения координатных линий.
Ось абсцисс штрихованной системы координат 
,
Ось ординат штрихованной системы координат 
,
Ось абсцисс дважды штрихованной системы координат 
,
Ось ординат штрихованной системы координат 
.
2. 
-3x+4y+1=0;
Выделим полный квадрат и сдвинем по оси абсцисс:
.
Это – уравнение параболы с параметром 3/2 и вершиной в точке (-1,-2).
Канонический вид: 
. Уравнение новых осей: 
, 
3 Привести к каноническому виду 
.
Выполним поворот координатных осей:
В новых координатах уравнение записывается так:
Приведем подобные слагаемые:
Поворот к главным осям КВП определяется углом, при котором
,
то есть 
. Выберем в качестве решения этого уравнения такой угол, что 
(при этом 
). Новые оси наклонены к старым под углом 
: 
.
При таком выборе угла уравнение КВП примет вид
Или, окончательно, 
. Это – гипербола с полуосями 
(вещественная) и 1 (мнимая).
Уравнения координатных линий.
Ось абсцисс штрихованной системы координат 
,
Ось ординат штрихованной системы координат 
