Тема: Движения – 2 часа

ОТКРЫТЫЕ ЗАНЯТИЯ

Тема: Движения – 2 часа

Цель: Расширить кругозор учащихся по теме. Рассмотреть виды движения, как последовательное выполнение двух или трёх осевых симметрий. Привести примеры задач, на применения понятия движения.

ХОД ЗАНЯТИЙ

I. Организация класса.

II. Повторение изученного материала.

1) 1. Осевая симметрия.

2. Центральная симметрия.

3. Поворот.

4. Параллельный перенос.

2) Пока у доски готовятся к ответу, проведу диктант на построение фигур, симметричных

данным.

1. Дана трапеция ABCD. Постройте фигуру, симметричную данной, относительно

прямой CD.

2. Дан ▲ABC. Постройте треугольник, симметричный данному относительно ТС

3. Дан ▲ABC. Постройте ▲А, который получится из ▲ABC параллельным

переносом на вектор АС.

4. Докажите, что при повороте квадрата вокруг точки пересечения его диагоналей на

Угол 90º квадрат отображается на себя.

III. Возможности движения.

1) Симметрия в координатах.

1. Осевая симметрия – учащийся.

А↔, если Р , АО =

Р

Если т. В , то В ↔В

А

• В

В прямоугольной системе координат

у

•

•

х

О

•

Если , то ↔ А

А и ,

Задача. Известно, что линия L в прямоугольной системе координат имеет форму . Причём при замени х на –х функция не изменяется, т. е. = . Доказать, что линия L симметрична относительно оси .

Доказательство

Координаты произвольной т. М линии L удовлетворяют уравнению , т. к. = , то , т. е. координата т. так же удовлетворяет уравнению = 0 и значит т. . Но т.. следовательно линия L симметрична относительно оси . Примером такой линии парабола , здесь= , =

- фокус параболы

Прямая d – директриса d : у - уравнение директрисы

MF = MD

2 Центральная симметрия – учащийся

• , если ; О↔О.

• О

• А

В прямоугольной системе координат : Если , , то , т. е.

Задача: Пусть некоторая линия L в прямоугольной системе координат уравнение и при замене х на –х, у на –у функция не изменяется, т. е . Тогда линия L симметрична относительно начала координат

Доказательство

, удовлетворяет уравнению т. к. = , то т. е. координата т. . Но точки относительно начала координат. Следовательно линия L симметрична относительно начала координат. Примером такой линии является эллипс, заданный каноническим уравнением:

; ,

,

3 Симметрия симметрии

• у

•

х

О

•

, ,

, , , тогда ,

Задача: Пусть некоторая линия L имеет в прямоугольной системе координат уравнение и при замене х на – х, у на –у или х на – х, у на –у функция не изменяется, т. е. , тогда линия симметрична относительно начала координат, оси , .

Примером может служить гипербола, заданная уравнением

2) Особая роль осевой симметрии.

(рассказ учителя).

1. Напомнить, что такое движение.

2. Центральная симметрия – это частный случай поворота на угол в 180º.

Ещё частным случай поворота – это тождественное отображение, поворота на 0º.

Тождественное отображение можно считать частным случаем параллельного

переноса на нулевой вектор.

3. Последовательное выполнение двух движений даёт новое движение. Выясним,

какое движение получается в результате последовательного выполнения двух

осевых симметрий с различными осями l и m.

Возможны два случая:

а) б)

Итак : а) . Обозначим расстояние между прямыми l и m через d.

Введём систему так, чтобы= l, а m : у = d

1), то MK = KN, MN l

2) , NP = , m.

, тогда т. , что =

Получим: Результатом последовательного выполнения двух осевых симметрий с параллельными осями является параллельный перенос на вектор, перпендикулярный к этим осям, длинна которых равна удвоенному расстоянию между осями.

^

б) ,

Возьмём т.т. О

Пусть М лежит внутри ∟ml.

1) , что ON = OM, ∟АОМ = ∟AON

2) , что и ∟BON =

∟=∟ВОА + ∟AON = ∟AOB + ∟AOM.

∟ ∟∟АОВ = 2∟АОВ + ∟АОМ.

∟ - ∟АОМ = 2∟АОВ = ∟

Получим: В результате двух симметрий т. О – осталась на месте, а произвольная т. М перешла в такую т., то ОМ = О, ∟= 2∟АОВ. Причём направление движения от ОМ к О такое же как от ОА к ОВ.

Итак: Результатом последовательного выполнения двух осевых симметрий с параллельными осями является поворотом вокруг точки пересечения осей на угол вдвое больше угла между осями.

3) Виды движения (учитель)

1. Если движение оставляет не подвижными три точки плоскости, не лежащие на одной прямой, то это движение – тождественное отображение.

2. Если движение оставляет не подвижными две точки плоскости, и не является тождественным отображением, то это - движение осевая симметрия.

3. Если движение оставляет не подвижными только одну точку, то это движение – поворот вокруг неподвижной точки.

4. Если движение не оставляет ни одной неподвижной точки, то это движение либо параллельный перенос, либо последовательное выполнение трёх осевых симметрий, оси которых не параллельны друг другу, и не пересекаются в одной точке.

ИТАК: Любое движение представляет собой либо осевую симметрию, либо результат последовательного выполнения двух или трёх осевых симметрий.

4) Использование движений при решении задач. (сильные учащиеся)

Задача1: Два посёлка расположены по разные стороны реки. Где следует построить мост, чтобы путь из одного посёлка в другой был самым коротким если берега реки – параллельные прямые, а мост строится перпендикулярно к ним.

В

С

А

А и В – посёлки, мост

Путь из А в В состоит из трёх отрезков . Поскольку длинна моста не зависит от места его расположения, то путь будет самым коротким тогда, когда сумма и будет наименьшей. Перенесём параллельно отрезок на вектор .

, те но принимает наименьшее значение тогда, когда точки . Следовательно мост надо строить в точки пересечения прямой СВ с тем берегом реки, на котором находится посёлок В.

Задача2: Через данную точку внутри угла провести прямую так, чтобы:

а) отрезок этой прямой, заключённый в нутрии угла делится данной точкой пополам.

б) прямая отсекала от угла треугольник наименьшей площади.

 

В С

М

О А

а) Пусть М - данная точка.

Построим ∟ - центрально симметричный данному относительно т. М.

Тогда прямая АВ – искомая, тогда В и А симметричны относительно т. М, поэтому ВМ = МА.

б) АВ – искомая. Проведём через т. М какую - нибудь прямую и докажем, что .

▲ и ▲ВСМ - симметричны относительно т. М, значит = ▲ВСМ

Задача 3: Угол большой прямоугольной комнаты требуется огородить двумя небольшими одинаковыми ширмами. Как следует расположить ширмы, чтобы отгороженная площадь была наибольшей?

Решение.

Построим фигуру, центрально – симметричную ширмам относительно вершины угла комнаты, а так же фигуры, симметричные ширмам относительно стен.

В результате получится восьмиугольник ABCDMNPK в восемь раз, а в 4 раза больше отгороженной. Но зная, что из всех n – угольников с данным периметром наибольшую площадь имеет правильный n – угольник. Поэтому отгороженная площадь будет наибольшей в том случае, когда ширмы будут расположены симметрично относительно биссектрис угла комнаты, а угол между ними будет равен углу правильного восьмиугольника т. е. 135º.