Классический подход к оценке МО «любой» стратегии в «Европейской рулетке»

Основа класического метода оценки математического ожидания (МО) базируется на оценке МО для каждой «простой» (элементарной) ставки.

Для каждой «простой» (элементарной) ставки в «Европейскую рулетку» (колесо с одним «Зеро») можно расчитать математическое ожидание выигрыша игрока. Результат расчета МО для элементарных ставок представлен в таблице:

Таблица 1.

№

«Простая» Ставка

Выигрыш

Проигрыш

Расчет МО, у. е.

Выплата

Вероятность

Вероятность

1.

Straight-Up

35:1

1/37

36/37

=35×1/37-36/37=-1/37

2.

Split

17:1

2/37

35/37

=17×2/37-35/37=-1/37

3.

Street

11:1

3/37

34/37

=11×3/37-34/37=-1/37

4.

Corner

8:1

4/37

33/37

=8×4/37-33/37=-1/37

5.

Six Line

5:1

6/37

31/37

=5×6/37-31/37=-1/37

6.

Column & Dozens

2:1

12/37

25/37

=2×12/37-25/37=-1/37

7.

Even Chance

1:1

18/37

19/37

=1×18/37-19/37=-1/37

Вывод: для «любых простых» ставок в «Европейской рулетке» математическое ожидание всегда равно МО=-1/37 или в процентном отношении МО=-2.7027%. Во всех случаях МО отридцательно, что означает, что игрок должен проигрывать КАЗИНО играя в «Европейскую рулетку» на «любые» элементарные ставки.

Анализ МО «любой» игровой стратегии по классической методике:

«Любую» игровую стратегию (систему) нужно разбить, на элементарные ставки. Для каждой из элементарных ставок МО выигрыша (смотри таблицу 1) равно: МО=-1/37·(Сумма ставки), т. е. МО не зависит от величины «простой» ставки. Тогда для «любой» игровой стратегии состоящей из элементарных ставок в целом справедливо утверждение, что МО=-1/37·(Сумма всех ставок), т. е. используется принцип суперпозиции (наложения) независимых событий для «простых» ставок.

Вывод: Результат теоретического анализа МО «любой» игровой стратегии (системы) по классической методике не зависит от вида стратегии (т. е. от того на что, как и сколько ставит игрок), и всегда равно МО=-1/37 или МО=-2.7027% от суммы всех сделанных ставок. По класической методике расчета МО стратегии считается «абсолютно», т. е. без учета реальной динамики игры, поэтому МО «любой» стратегии всегда равно МО рулетки, и равно -2.703%.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Попробуем подтвердить или опровергнуть результат данного теоретического анализа, на примере «лимитированного» Мартингейла.

Анализ «лимитированного» Мартингейла

Рассмотрим пример «лимитированного» Мартингейла с пределом ставки равным 64, т. е. отношение МАХ/МИН ставки на игровом столе больше 64, но меньше 128. Тогда игровая прогрессия «лимитированного» Мартингейла имеет следующий вид: 11, 22, 43, 84, 165, 326, 647 (индекс в верху ставки указывает на порядковый номер шага прогрессии). Играя по данной прогрессии игрок, после 6 проигрышей подряд, не сможет больше повысить ставку из-за ограничения МАХ/МИН на игровом столе.

После 6 проигрышей подряд не зависимо от результата 8 спина, следующая ставка игрока всегда будет равна 1. В случае выиграша на 8 спине баланс игрока будет +1 фишка, в случае проигрыша -127 фишек.

Рассмотрим следующую таблицу, которая иллюстрирует баланс игрока играющего по данной игровой системе с принятым ограничением предела МАХ/МИН для ставки.

Таблица 2.

№

Ставка

Баланс игрока

Вероятность Р,

у. е.

Проигрыш

Сумма

Проигрыша

Выигрыш

Всего

1.

1

-1

-1

+2

+1

(19/37)1=0.5135135

2.

2

-1-2

-3

+4

+1

(19/37)2=0.2636961

3.

4

-1-2-4

-7

+8

+1

(19/37)3=0.1354115

4.

8

-1-2-4-8

-15

+16

+1

(19/37)4=0.0695356

5.

16

-1-2-4-8-16

-31

+32

+1

(19/37)5=0.0357075

6.

32

-1-2-4-8-16-32

-63

+64

+1

(19/37)6=0.0183363

7.

64

-1-2-4-8-16-32-64

-127

-

-127

(19/37)7=0.0094159

8.

1

-

(19/37)8=0.0048352

Из таблицы 2 видно, что при длине серии проигрышей большей или равной 7 игрок проигрывает ровно -127 фишек, а при меньших длинах серий игрок всегда выигрывает +1 фишку, т. е. имеется только 2 возможных варианта исхода (для баланса в микросерии): либо игрок выигрывает +1 фишку, либо проигрывает -127 фишек. Как говориться: «третьего не дано»! Исходя из данного свойства «лимитированного» Мартингейла-64 проведем теоретический анализ данной стратегии.

Для игрока, играющего по «лимитированному» Мартингейлу-64 с пределом ставки равной 64, будут критическими не только серии из 7 проигрышей подряд, но и из серий состоящих из 8, 9, 10, 11 и более, проигрышей подряд. Поэтому при решении задачи необходимо брать во внимание не вероятность появления 7 проигрышей подряд, а вероятность появления серии длинной большей или равной, 7 проигрышам подряд.

Все возможные «элементарные» исходы и их вероятности, необходимые для расчета МО стратегии представленны в таблице 3.

Таблица 3. Балансы игрока и вероятности данного события.

№

Ставка

Баланс игрока

«Логика»

Вероятность события

Проигрыш

Сумма

Проигрыша

Выигрыш

Баланс

0

1

-

-

+1

+1

0L+1W

(19/37)0·(18/37)1

1.

1

-1

-1

+2

+1

1L+1W

(19/37)1·(18/37)1

2.

2

-1-2

-3

+4

+1

2L+1W

(19/37)2·(18/37)1

3.

4

-1-2-4

-7

+8

+1

3L+1W

(19/37)3·(18/37)1

4.

8

-1-2-4-8

-15

+16

+1

4L+1W

(19/37)4·(18/37)1

5.

16

-1-2-4-8-16

-31

+32

+1

5L+1W

(19/37)5·(18/37)1

6.

32

-1-2-4-8-16-32

-63

+64

+1

6L+1W

(19/37)6·(18/37)1

7.

64

-1-2-4-8-16-32-64

-127

-127

-127

7L+0W

(19/37)7·(18/37)0

Например «логика»: 1L+1W – 1 проигрыш (1L=1LOSS) + 1 выигрыш (1W=1WIN).

Вероятность выиграть +1 фишку в микросерии равна сумме вероятностей с 1 по 6 строку таблицы 3:

.

Вероятность проиграть -127 фишек в микросерии равна разности 1-Р, т. к. события не совместные:

.

Или:

.

Частота появления серий проигрышей длиной больше критической равна:

.

Тогда МО «лимитированного» Мартингейла-64 равно:

.

По классической теории МО рулетки должно быть не зависимо от длины игры N и всегда равно МО=-2.7027%·(Сред. Ставка), т. к. величина средней ставки остается неизменной и не зависимой от длины игры и для Мартингейла-64 Сред. Ставка=3.729, то:

МО=-2.7027%·(Сред. Ставка)=-2.7027%·3.729=-10.078%.

Результаты классического анализа МО=-10.078% и проведенного МО=-20.524% сильно отличаются. Откуда возникает правомерный вопрос:

Какой анализ МО является более точным? И чем обьяснить данное различие в величинах МО рулетки и МО стратегии?

В общем случае МО «лимитированного» Мартингейла-n степени может быть расчитанно по выражению и преобразованно:

.

Т. е. конечная формула для МО «лимитированного» Мартингейла-n произвольной степени n может быть записанна в виде:

.

Т. е. МО «лимитированного» Мартингейла отличается от МО рулетки, в показательной степени с основанием (1+1/37), и МО стратегии может быть представленна в виде ряда:

,

Где: Сi – биноминальные коэффициенты Ньютона.

Таблица 4. Биноминальные коэффициенты Ньтона.

n

Биноминальные коэффициенты Ньютона

1.

1

2.

1 2 1

3.

1 3 3 1

4.

1 4 6 4 1

5.

1 5 10 5 1

6.

1 6 15 15 6 1

7.

1 7 21 30 21 7 1

8.

1 8 28 51 51 28 8 1

9.

1 9 36 79 102 79 36 9 1

11.

1 10 45 115 181 181 115 45 10 1

12.

1 11 55 160 296 362 296 160 55 11 1

...

...

i

МО равно сумме ряда с коэффициентами без первой 1, т. к. она сокращается.

Приведу таблицу расчета МО для различных «лимитированных» Мартингейлов-n:

Таблица 5. Результат анализа МО стратегии и МО рулетки.

n

MaxBet,

r. u.

P_WIN,

r. u.

P_LOSS,

r. u.

LossSum,

r. u.

MOstrategy,

%

MidlBet,

r. u.

MOroulette, %

1.

1

0.4864865

0.5135135

1

-2.702703

1.000

-2.702703

2.

2

0.7363039

0.2636961

3

-5.478451

1.339

-3.618919

3.

4

0.8645885

0.1354115

7

-8.32922

1.734

-4.686486

4.

8

0.9304644

0.0695356

15

-11.25704

2.178

-5.886486

5.

16

0.9642925

0.0357075

31

-14.26398

2.663

-7.197297

6.

32

0.9816637

0.0183363

63

-17.35220

3.182

-8.600000

7.

64

0.9905841

0.0094159

127

-20.52388

3.729

-10.07838

8.

128

0.9951648

0.0048352

255

-23.78128

4.301

-11.62432

9.

256

0.9975171

0.0024829

511

-27.12672

4.895

-13.22973

10.

512

0.9987250

0.0012750

1 023

-30.56258

5.508

-14.88649

11.

1 024

0.9993453

0.0006547

2 047

-34.09130

6.140

-16.59459

12.

2 048

0.9996638

0.0003362

4 095

-37.71539

6.791

-18.35405

13.

4 096

0.9998273

0.0001727

8 191

-41.43743

7.460

-20.16216

14.

8 192

0.9999113

0.0000887

16 383

-45.26006

8.148

-22.02162

15.

16 384

0.9999545

0.0000455

32 676

-49.18601

8.854

-23.92773

ВЫВОД: МО «лимитированного» Мартингейла-n имеет в основе показательную функцию с основанием 1-(1+1/37)n, а не линейную вида: (-1/37)·(Ср. ставка(n)). Этим и обьясняется различие результатов МО расчитанных по класической формуле и по предложенной.

МО «лимитированного» Мартингейла-n произвольной степени n может быть расчитана по формуле:

.

На мой взгляд классической подход анализа МО рулетки не учитывает реальные денежные балансы игрока играющего по стратегии, а учитывает только -2.703% для всех комбинаций выплат и ставок, а это не корректно. Так же не учитывает реальные динамики изменения ставки. Все это и приводит к существенным различиям в МО рулетки и МО стратегии.

Следует отметить, тот факт, что МО рулетки влияет на текущий баланс игрока, но не влияет на МО стратегии. В рассмотренном примере МО рулетки учитывалось при расчете вероятности выигрыша игроком, т. е. МО рулетки косвенно входит в МО стратегии. Но МО рулетки абсолютно не учитывает динамику изменения ставки.

ВЫВОД: Для анализа МО любой игровой стратегии достаточно решить систему линейных уравнений: первые уравнение для анализа вероятностей выигрыша и проигрыша игроком, вторые уравнение для анализа балансов при проигрыше и при выигрыше. МО расчитывается по класической формуле:

.

Для анализа МО может быть применено математическое моделирование, на большие количество спинов. Но моделировать нужно сериями, например, по 111-370 спинов, и на количество игр 1000, 10 000. По результатам математического моделирования можно определить реальный МО стратегии, по класической формуле определения МО:

.

Результаты данного анализа МО стратегии более приближенные к реальной жизни игрока. Данные интервалы взяты исходя из следующих соображений:

Игрок в день играет 111-370 спинов (2-10 часов), 250 дней в год в течении 40 лет, т. е. 10 000 игровых серий, или 111-370 спинов (2-10 часов), 100 дней в год в течении 10 лет, т. е. 1 000 игровых серий. На компьютере за несколько минут можно оценить по «жизненый» игровой баланс игрока, и его реальный МО.

Заключение: Отношение МО рулетки и МО «лимитированного» Мартингейла (см. Таблицу 5 - 5 и 7 столбцы) может быть посчитано по выражению:

. Предел равен: .

Результат расчета коэффициента к показан в таблице 6.

Таблица 6.

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

k

1.0000

0.6607

0.5627

0.5228

0.5045

0.4956

0.4911

0.4889

0.4877

0.4871

0.4868

0.4867