ЛЕКЦИЯ 7. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
7.1 Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла
Функция 
называется первообразной для функции 
на промежутке Х, если 
.
Например, для функции 
первообразной является функция 
, т. к. 
.
Теорема. Если – первообразная для функции на промежутке Х, то любая другая первообразная для на этом промежутке имеет вид 
, где 
– произвольная постоянная.
Множество всех первообразных функций на промежутке Х, где – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции на этом промежутке и обозначается символом
.
Здесь называется подынтегральной функцией,
– подынтегральным выражением,
– переменной интегрирования,
– знаком неопределенного интеграла
Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.
Теорема. Если функция непрерывна на отрезке 
, то она интегрируема на нем.
7.2 Основные свойства неопределенного интеграла
1) Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции
.
2) Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению
.
3) Неопределенный интеграл от производной функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной
.
4) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной
.
5) Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла
- постоянная.
6) Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций
.
7.3 Таблица основных неопределенных интегралов
Приведем таблицу основных интегралов.
1) 
2) 
, 
3) 
, 
4) 
, 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
, 
11) 
, 
12) 
13) 
14) 
15) 
16) 
17) 
18) 
19) 
20) 
21) 
22) 
23) 
Вычисление интегралов с помощью основных их свойств и таблицы основных интегралов называется непосредственным интегри-рованием.
Пример 7.1. Найти интеграл 
.
Решение.
.
Пример 7.2. Найти интеграл 
.
Решение.
.
7.4 Метод интегрирования заменой переменной (подстановкой)
Часто удается с помощью замены переменной интегрирования упростить данный интеграл.
Пусть требуется найти интеграл 
.
Выполним подстановку 
, где 
- функция, имеющая непрерывную производную.
Учитывая, что 
, получим формулу интегрирования заменой переменной (подстановкой)
.
Иногда используют подстановку вида 
, тогда
.
Замечание. После нахождения интеграла надо перейти от новой переменной 
к переменной 
.
Пример 7.3. Найти интеграл 
.
Решение.
Пример 7.4. Найти интеграл 
.
Решение.
.
7.5 Метод интегрирования по частям
Пусть 
и 
– функции, имеющие непрерывные производные, тогда справедлива следующая формула интегрирования по частям
.
Доказательство.
Интегрируя равенство
,
получим
или 
.
Рассмотрим некоторые типы интегралов, которые можно найти с помощью метода интегрирования по частям.
1) Интегралы вида
,
где 
– многочлен 
-ой степени, 
– число.
В интегралах этих типов полагают 
, а 
- все остальные сомножители.
2) Интегралы вида
, 
, 
,
, 
,
где 
- многочлен -ой степени, - число.
В этом случае за 
принимают функцию, являющуюся множителем при многочлене .
3) Интегралы вида
, 
.
Эти интегралы находятся двукратным интегрированием по частям.
Пример 7.5. Найти 
.
Решение.
.
Пример 7.6. Найти 
.
Решение.
.
Пример 7.7. Найти 
.
Решение.
.
Пример 7.8. Найти 
.
Решение.
.
Пример 7.9. Найти 
.
Решение.
.
Перенося полученный интеграл в левую часть, получим:
,
отсюда
.
