Численное моделирование процесса разрушения хрупких тел при ударе

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012 Математика. Механика. Информатика Вып. 2(10)

УДК 539.3

Численное моделирование процесса разрушения хрупких тел при ударе

, ,

Пермский государственный национальный исследовательский университет,

614990, Пермь, ул. Букирева, 15

Институт механики сплошных сред УрО РАН, 614013, Пермь,

Численное моделирование процессов деформирования и разрушения материалов и конструкций при ударе является достаточно сложной проблемой как при формулировке физических уравнений, так и при создании надежных работающих алгоритмов. Ранее на основе разработанной авторами оригинальной явной конечно-разностной схемы с локальной перестройкой лагранжевой треугольной сетки, был представлен алгоритм численного моделирования трещин отрыва и сдвига, апробированный при решении задачи о действии продуктов детонации на горный массив. В данной статье этот алгоритм реализован в пакете прикладных программ IMPULSE для решения задач высокоскоростного взаимодействия твердых тел. Рассмотрены некоторые примеры расчета процессов разрушения хрупких тел при ударе в двухмерной постановке.

Ключевые слова: численное моделирование, ударное нагружение, разрушение хрупких тел

Введение

Численное моделирование процессов деформирования и разрушения материалов при ударных и взрывных нагрузках отражено в различных работах, например, [1–5]. Проблемы моделирования этих процессов заключаются в необходимости учета большого разнообразия сопутствующих им явлений (неупругие деформации, волновые эффекты, тепловыделение, влияние скорости деформирования, разрушение и др.). В данной статье на основе развиваемой авторами явной конечно-разностной схемы [6] для случая нерегулярных треугольных сеток с локальной автоматической перестройкой [4,7,8], осуществлено моделирование процесса разрушения материалов при ударном нагружении. Ранее на основе работы [9] разработан алгоритм численного моделирования трещин отрыва и сдвига, реализованный в виде программного модуля для пакета программ EXPLOSION [10]. В данной статье этот алгоритм реализован в пакете прикладных программ IMPULSE для анализа процессов высокоскоростного взаимодействия твердых тел. Рассмотрены примеры применения пакета IMPULSE для решения некоторых задач ударного взаимодействия хрупких тел.

Основные уравнения.

Законы сохранения массы и импульса для деформируемого тела имеют вид [1-3]

, (1)

где – плотность среды; – вектор массовой скорости, – тензор напряжений Коши.

Уравнение сохранения энергии (изменения температуры в адиабатическом приближении) имеет вид

, (2)

где – теплоемкость; – температура; – мощность внутренних тепловых источников.

В упругой области компоненты девиатора тензора напряжений определяются как

(3)

где – модуль сдвига.

В соотношении (3) обозначает производную по Яуманну [6]:

,

где – компоненты тензора вихря.

Связь между гидростатическим давлением и текущей плотностью формулируется в виде зависимостей [5,6]:

, , (4)

где – модуль объемного сжатия; – константы материала.

Второе соотношение (4) справедливо для большом давлении (в ударных волнах), при малом давлении используется первое соотношение.

В неупругой области девиатор тензора напряжений определяется на основе модели упруго-вязкопластической среды [5]. Условие текучести записывается в форме Мизеса с переменным пределом текучести

, (5)

где – интенсивность пластических деформаций и интенсивность скоростей пластических деформаций; – интенсивность напряжений.

Конкретный вид зависимости (5) представлен в работе [4]:

, (6)

где , , – функции, позволяющие учитывать деформационное упрочнение и вязкое упрочнение, температурное разупрочнение.

Деформационное упрочнение представлено зависимостью [4]

, (7)

где – параметры модели, подбираемые при описании экспериментальных кривых для статических испытаний при нормальной температуре; – статический предел текучести.

Для вязкого упрочнения применим аппроксимацию [4]:

, (8)

где – экспериментальные параметры материала.

Данные многочисленных испытаний свидетельствуют о существенном изменении деформационных и прочностных свойств металлов при повышенных температурах. Зависимость предела текучести от температуры аппроксимировали функцией [4], имеющей вид

, (9)

где – абсолютная температура; - температура плавления; - параметры модели.

Предполагается, что влияние температуры на предел текучести при больших скоростях деформации подобно ее влиянию при процессах деформирования, близких к статическим.

Мощность внутренних тепловых источников в уравнении (2) определяется изменением объема и работой пластического формоизменения. В терминах приращений уравнение для изменения температуры (2) имеет вид

, (10)

где – коэффициент температурного расширения.

Граничные условия подразделяются на условия на свободных поверхностях (, где – компоненты вектора внешней нормали к поверхности); условия непротекания – отсутствие нормального к поверхности скачка скорости и отсутствие трения (, где – компоненты вектора касательной к поверхности); условия динамического контакта с проскальзыванием (на границе контакта деформируемых тел) – условия непрерывности нормальной скорости и нормального напряжения к поверхности, отсутствие трения:

.

Алгоритм учета хрупкого разрушения

Эффект разрушения ячеек материала получен исходя из идей классической работы [9]. На основе некоторого критерия разрушения полагается, что образуется ориентированная трещина, это приводит к коррекции тензора напряжений, предварительно приведенного к главным осям. С помощью этого метода определяется также деформация, связанная с возможным раскрытием трещины, отслеживается возможность раскрытия и схлопывания трещины.

Ранее [10] для учёта возможности образования трещин в материале и их влияния на развитие дальнейшего процесса при взаимодействии продуктов детонации и деформируемого тела пакет программ EXPLOSION был дополнен модулем CRACK. MOD. В данной работе этот модуль модифицирован и реализован в пакете программ IMPULSE. В модуле реализованы два классических критерия разрушения: критерий максимального растягивающего напряжения – образование трещин отрыва; критерий Кулона – образование трещин сдвига:

, , (10)

где – главное и предельное напряжение; – сцепление; – угол внутреннего трения; – максимально допустимое касательное напряжение на площадке с нормальным напряжением .

Используемый в данной статье тип критерия разрушения не является принципиальным, модель (критерий) разрушения может быть более сложной, например, позволяющей учитывать появление и рост поврежденности. Главное в алгоритме – учет эффекта образования макротрещин (разрушение расчетных ячеек) и дальнейшее их моделирование в рамках явной конечно-разностной схемы.

Кратко алгоритм можно описать следующим образом. Сначала определяются главные оси и главные напряжения в элементе, а также максимальные касательные напряжения. Далее осуществляется проверка критериев (10)1 и (10)2.

Производится проверка на наличие в элементе трещин. За это отвечает переменная crackCount1, которая равна

·  0, если трещины отсутствуют

·  1, если существует одна трещина

·  2, если существуют две и более трещины.

1) Если элемент не разрушен – проверяется реализация обоих критериев одновременно. Если выполнен один из критериев, и согласно первому критерию только одно главное напряжение превысило максимально допустимое значение, то производится корректировка тензора напряжений по описанию. Переменная crackCount1=1. Если же первому критерию соответствовали больше одного главного напряжения, то можно считать элемент полностью разрушенным – компоненты напряжения полагаются равными нулю. Аналогично поступаем, когда срабатывают оба критерия: переменная crackCount1= 2.

2) В элементе уже существует трещина. В этом случае тензор напряжения приводится к осям, чтобы направление было перпендикулярно трещине. Преобразуются компоненты тензора напряжений по обычным формулам для ортогонального преобразования системы координат. Причем, в соответствии с [9] главные напряжения связаны с системой главных деформаций посредством закона Гука (через постоянные Ляме ). Таким образом, связь между напряжениями и деформациями в окрестности трещины предполагается линейной:

, .

При внезапном раскрытии трещины возникающее движение среды происходит нормально к поверхности трещины. Если, например, главное напряжение превысило предельное значение, то главная деформация корректируется к виду , где . Причем, корректируются и главные напряжения:

. После этого, предполагая, что трещина поворачивается вместе с материалом при деформировании, осуществляется преобразование к исходным осям – корректируются напряжения в неподвижной (базовой) системе координат.

Примеры расчета разрушения хрупких тел при ударе

Рассмотрим применение развитых алгоритмов и программ на примере расчета соударения хрупких тел с массивными преградами при небольших скоростях взаимодействия.

Шар из кварцевого стекла диаметром 1 см ударяет по жесткой стенке, в результате удара в шаре при распространении волн напряжений образуются и развиваются трещины, конечные картины разрушения в момент отскока показаны на рис. 1, 2.

Рис. 1. Конечные зоны разрушения, начальная скорость удара 15 м/с

Рис. 2. Конечные зоны разрушения, начальная скорость удара 25 м/с

Механические свойства кварцевого стекла: удельный вес () – 2,56 г/см3; модуль упругости () – 65 ГПа; объемный модуль () – 32,8 ГПа; коэффициент Пуассона () – 0,17; модуль адиабаты () – 20 ГПа; () – 5,8; удельная теплоемкость () – 1,5 кДж/кг·К; температура плавления () – 1400 К; предел текучести () – 1 ГПа.

Параметры критериев разрушения (10) принимали следующие значения: угол внутреннего трения () – 15º; предел прочности на растяжение и сцепление () и () – 48 МПа.

Реальное время появления показанных на рис. 1, 2 зон разрушения составляет соответственно 0,98 мкс и 0,55 мкс. Кварцевое стекло ведет себя практически идеально упруго – средняя относительная деформация сжатия диаметров шаров составляет 0,14÷0,16 %.

При повышении скорости удара область разрушения увеличивается (черным цветом показаны трещины сдвига, серым – отрыва), вблизи центра шара возникает область трещин отрыва.

Другая серия расчетов посвящена ударному взаимодействию цилиндров с различной относительной длиной из кварцевого стекла с жесткой стенкой. Механические свойства кварцевого стекла и параметры критериев разрушения приблизительно соответствуют ранее принятым.

Рис. 3. Конечные зоны разрушения, начальная скорость удара 40 м/с, =3,8

Рис. 4. Конечные зоны разрушения, начальная скорость удара 32 м/с, =7,4

На рис. 3-5 показаны конечные зоны разрушения в относительно толстом, среднем и тонком стержне из кварцевого стекла. Очевидно, что распределение зон трещинообразования связано как с начальной скоростью удара, так и с геометрией стержня – это обусловлено прежде всего ударно-волновым характером разрушения.

Рис. 5. Конечные зоны разрушения, начальная скорость удара 26 м/с, =13,2

7. Заключение

Разработан алгоритм учета возникновения и развития трещин отрыва и сдвига в деформируемых хрупких телах при распространении волн напряжений. Алгоритм реализован в разработанном ранее пакете прикладных программ IMPULSE, основанном на явной конечно-разностной схеме М. Уилкинса, модернизированном на случай нерегулярных треугольных лагранжевых сеток с локальной перестройкой.

На примерах соударения шара и цилиндра из кварцевого стекла с жесткой стенкой показана возможность применения предложенных методов при анализе различных задач разрушения деформируемых тел в волнах напряжений. В дальнейшем предполагается осуществить детальное сравнение расчетных и экспериментальных данных, провести корректировку параметров модели.

Список литературы

1.  , , и др. Высокоскоростное взаимодействие тел. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1999. 600 с.

2.  , , и др. Динамика высокоскоростного удара и сопутствующие физические явления. – Northampton; Томск: STT, 2005. 356 с.

3.  Моделирование разрушения упругопластических тел // Вычислительная механика сплошных сред. 2008. Том 1, № 4. С. 5–20.

4.  , , Прикладная теория проникания. М.: Наука, 1992. 104 c.

5.  , Численное решение неодномерных задач динамики твердого тела // Проблемы динамики упругопластических сред. М.: Мир. 1975. C. 39–84.

6.  Расчет упругопластических течений // Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967. C. 212–263.

7.  Применение произвольных треугольных разностных сеток к решению задач импульсного деформирования упругопластических тел // Модели деформирования и разрушения композиционных материалов. Свердловск: Изд-во УНЦ АН СССР, 1988. С. 83–89.

8.  , Расчет упругопластических течений на нерегулярных треугольных сетках с перестройкой // Журн. прикладной механики и технической физики. 1990. № 6. С. 109–115.

9.  Майнчен Дж., Метод расчета «Тензор» // Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967. С. 185–211.

10.  , , Моделирование трещинообразования в материалах под действием взрывных нагрузок // Вычислительная механика сплошных сред. 2010. Т. 3, № 1. С. 5–12.

Numerical simulation of brittle bodies fracture process under impact loading

V. N. Aptukov1, L. V. Landik1, P. A. Romanov1, A. V. Fonarev2

1Perm State University, 614990, Perm, Bukireva st., 15

2ICMM of Ural Branch RAS, 614013, Perm, Ac. Koroleva st., 1

Numerical modeling of material/structures deformation and fracture under impact loading is complicated problem both in the physical equation formulation and in creating reliable and working algorithms. Previously was presented algorithm for numerical simulation of tensile and shear cracks which based on explicit finite-difference scheme with a local rearrangement of the Lagrangian triangular mesh. It was tested in the problem of influence of detonation products on rock massif. In present article this algorithm is implemented in the application software package called IMPULSE for solving problems concerning with high velocity interaction of solid bodies. There are some examples of calculation of brittle bodies fracture in two-dimensional formulation.

Key words: numerical modeling, impact loading, brittle bodies fracture