Практическое занятие №6
Тема «Получение амплитудных фазо-частотных характеристик систем в обыкновенной и логарифмической формах»
6.1 Получение частотных характеристик сложной системы прямым методом
Если математическое описание сложной динамической системы задано ее передаточной функцией (или передаточная функция может быть получена из дифференциального уравнения) в виде отношения двух полиномов 
, то для построения частотных характеристик используется следующая методика:
- получить частотную передаточную функцию, выполнив формальную замену комплексной переменной передаточной функции 
, то есть 
;
- если частотная передаточная функция представляет собой дробь, в знаменателе которой присутствует комплексное выражение, то путем алгебраических преобразований необходимо избавиться от мнимости в знаменателе;
- в полученном выражении привести подобные члены и выделить вещественную и мнимую части полученного комплексного выражения, в результате чего будет получено выражение амплитудной фазо-частотной функции в алгебраической форме 
;
- записать (при необходимости) выражение амплитудной фазо-частотной функции в показательной форме 
;
- построить график обыкновенной АФЧХ в координатах комплексной плоскости при изменении частоты от 0 до бесконечности, а также при необходимости построить АЧХ и ФЧХ;
- записать выражение для логарифмической амплитудно-частотной характеристики, используя соотношение 
;
- построить график ЛАЧХ в координатах L(ω) ‑ lg(ω) и ЛФЧХ в координатах Ψ(ω) ‑ lg(ω);
Задача. Построить частотные (обыкновенную и логарифмическую) характеристики системы, заданной передаточной функцией вида
. (П6-1)
Решение
1. Выполняем замену для получения частотной передаточной функции (переходим в частотную область)
. (П6-2)
2. Знаменатель частотной передаточной функции является комплексным выражением, поэтому необходимо избавиться от мнимости в знаменателе путем деления числителя на знаменатель. На практике это осуществляется путем умножения числителя и знаменателя выражения (П6-2) на выражение, комплексно сопряженное знаменателю, т. е. в данном случае на 
. После деления и приведения подобных членов получим
(П6-3)
. (П6-4)
(П6-5)
и выражение фазо-частотной функции
. (П6-6)
Отсюда амплитудная фазо-частотная функция в показательной форме
 |
(П6-7)
Построим графики АФЧХ (рис П6.1), ФЧХ (рис. П6.2) и ФЧХ (рис. П6.3).  |
Анализируя АФЧХ системы, следует отметить сложный и несколько необычный характер поведения годографа характеристики, что вызвано наличием в составе ее передаточной функции звеньев как с интегрирующими, так и дифференцирующими свойствами. Получим выражение для построения логарифмической амплитудной частотной характеристики
(П6-8)
Для построения фазо-частотной характеристики в логарифмическом масштабе используем ранее полученное выражение (П6-6).
Необходимо обратить внимание на следующее:
- по оси частот фактически откладывается логарифм (десятичный) частоты, но оцифрованные точки указывают фактическое значение (саму частоту);
- предельный сдвиг фаз рассматриваемой системы составляет минус 900, хотя в знаменателе полином второго порядка, т. е. апериодическое звено второго порядка с предельным сдвигом фаз минус 1800. Этот факт объясняется тем, что в числителе передаточной функции находится сомножитель, представляющий дифференцирующее звено с действием по отношению к сдвигу фаз противоположным интегрирующим звеньям. Поэтому в целом рассматриваемая система имеет предельный свиг фаз, равный сумме (факически разности) сдвигов фаз, входящих в ее состав элементарных звеньев.
- начальный участок ЛАХ является горизональным. Это означает, что рассмаириваемая система является статической, что подтверждается фактом отсутствия в составе передаточной функции чисто интегрирующих звеньев;
- характерная точка логарифмической характеристики – частота среза системы ωср=14Гц;
- наклоны начального и конечного участков ЛАХ системы соответствуют апериодическому звену первого порядка, однако принципиальное отличие системы от апериодического звена в наличии положительного сдвига фаз в области низких частот. Этот пример показывает, что линейные системы не имеют однозначного соответствия между видом ЛАЧХ и ЛФЧХ, т. е. изменение формы ЛАЧХ в определенном направлении приводит к изменению формы ЛФЧХ трудно предсказуемым образом.
6.2 Методика построения частотных характеристик системы с использованием MathCad
Задать мнимую единицу
(в последних версиях MathCad не надо). Записать частотную передаточную функцию, выполнив замену 
Замечания: 1. Обратить внимание на наличие знака умножения в выражении 
;
2. Возводить в степени при подстановке не надо!
Записать выражения для вещественной и мнимой часте АФЧХ
Записать выражение для АЧХ и ФЧХ (в градусах) в виде 
Замечание. В системе MathCad возникают проблемы при построении ФЧХ с предельным сдвигом фаз большим ±1800. В таком случае можно попробовать построить логарифмические характеристики в другом математическом пакете (например, MATLAB дает возможность построения диаграммы Боде (АФЧХ) без указанных проблем) или представить передаточную функцию системы в виде произведения типовых элементарных звеньев не выше второго порядка и записать выражение для ФЧХ как сумму составляющих ФЧХ каждого из звеньев.
Построить графики АЧХ в координатах A(ω) – ω и ФЧХ в координатах Ψ(ω) – ω. Записать выражение для логарифмической АЧХ в виде
Замечания. 1. На оси частот устанавливаем значение частоты ω и после этого в свойствах графиков («Формат – Оси Х-Y») задаем «логарифмическая шкала» Х. Остальные настройки по необходимости.
2. По оси ординат для ЛАЧХ устанавливаем 
, где логарифмический масштаб уже учтен, а для ЛФЧХ ‑ 
.
3. Измените ранжированную переменную таким образом, чтобы начальное значение сколь угодно мало отличалось от 0 (но не равнялось нулю), т. к. логарифм нуля равен бесконечности, и изобразить это значение на графике невозможно. Например, так 
6.3 Методика получение основных временных и частотных характеристик систем управления в среде математического пакета MatLab
6.3.1 Получение переходной характеристики
Для получения переходной характеристики в библиотеке CONTROL математического пакета MatLab имеется специальная функция step. Для ее использования необходимо предварительно сформировать tf-модель (или ss-модель) системы и задать массив отсчетов времени в виде равноотстоящих друг от друга значений. Методика задания математической модели изложена в методических указаниях к практической работе 3, п. 3.5.
В качестве примера получите переходную характеристику системы, описываемой передаточной функцией (здесь и далее используется переаточная функция задачи из п. 6.1) в соответствии с приведенной ниже последовательностью команд:
>> sys=tf([50 10],[4 2 1]); % формирование tf-модели
>>t=0:1:10; % задание массива времени от 0 до 10 с шагом 1
>> [y, t,X]= step(sys, t)); % получение переходной характеристики с сохранением результатов в рабочей области [y, t,X]
>> plot(t, y) % вывод графика переходной характеристики
>>grid % нанесение на график сетки
Замечания. 1. В случае если мы имеем дело с системой 2-го порядка и выше в массиве X содержатся все результаты расчета, т. е. хранятся переменные состояния: выходная переменная и ее производные, доступ к которым с выводом на график демонстрирует следующая команда:
>> plot(t, X) % изображение переменной и ее производных на одном графике.
2. Помните, что точка с запятой после любой команды MatLab блокирует немедленный вывод результата (кроме графиков).
6.3.2 Получение импульсной переходной характеристики
Для получения импульсной переходной характеристики в библиотеке CONTROL математического пакета MatLab имеется специальная функция impulse. Ее применение аналогично функции step.
В качестве примера получите переходную характеристику в соответствии с приведенной ниже последовательностью команд:
>> sys= tf([50 10],[4 2 1]); % формирование tf-модели
>>t=0:1:10; % массив времени от 0 до 10 с шагом 1
>> plot(t,impulse(sys, t)) % получение импульсной переходной характеристики и вывод ее на график (вариант совместной операции)
>>grid % нанесение на график сетки
6.3.3 Получение временной характеристики системы при произвольном входном сигнале
Для получения реакции системы на произвольный входной сигнал (вынужденное движение системы) в библиотеке CONTROL математического пакета MatLab имеется специальная функция lsim (linear simulation). Ознакомьтесь с ее работой, используя приведенную ниже последовательность команд:
>>t=0:.1:20; % массив времени от 0 до 20 с шагом 0.1
>>u=sin(t); % задать форму вынужденного сигнала
>> sys= tf([50 10],[4 2 1]); % формирование tf-модели
>> [y, t,X]= lsim(sys, u,t)); % получение временной характеристики
>> plot(t, y) % вывод графика
6.3.4 Получение частотных характеристик
Для получения частотных характеристик в библиотеке CONTROL математического пакета MatLab имеется ряд специальных функций. Важнейшие из них:
o freqresp – получение АФЧХ системы;
o abs и angle – получение АЧХ и ФЧХ соответственно;
o bode – построение ЛАФЧХ в логарифмическом масштабе (диаграмма Боде).
Для ознакомления с методикой использования указанных функций повторите представленный ниже пример:
>> sys= tf([50 10],[4 2 1]); % формирование tf-модели
>> w=0:.1:10; % задание диапазона частот
>>H= freqresp(sys, w); % формирование обычной АФЧХ
>>plot(H(:)) % график АФЧХ в координатах вещественной и мнимой частей АФЧХ
>>A=abs(H(:)); % расчет АЧХ по данным АФЧХ с записью в массив А
>>plot(w, A) % визуализация АЧХ
>>F= angle(H(:)); % расчет ФЧХ по данным АФЧХ с записью в массив А
>>bode(sys) % получение и вывод графика диаграммы Боде (ЛАФЧХ).
Замечания. 1. Система MatLab в отличие от MathCad не позволяет повторного пересчета ранее введенных команд и их редактирование, (это напоминает процесс написания операторов на языке программирования) поэтому команда (функция) набранная с ошибкой должна быть переписана и исполнена в новой строке. Существует также возможность копирования фрагментов команд через буфер обмена (контекстное меню). Для облегчения работы в MatLab предусмотрено синхронное ведение дневника выполненных команд в специальном стеке («Wiev‑>Command History»), откуда их можно выбрать с помощью клавиш перемещения «Вниз» и «Вверх» или с помощью копирования.
2. Система MatLab в отличие от MathCad не позволяет сохранять набранную программу в файле, однако можно сохранить (из текстового меню или программно) результаты расчетов из рабочего пространства системы в файл с расширением «.mat». В следующем сеансе работы эти данные могут быть опять загружены в рабочее пространство и использованы для дальнейших расчетов. Кроме того, надо иметь ввиду, что любые данные из рабочего пространства MatLab могут быть использованы в приложении MatLab «Simulink» и наоборот.
3. При необходимости формирования всех характеристик одновременно, задание модели и указание диапазона можно выполнять только один раз в начале работы.
4. Все приведенные характеристики можно получить и при задании модели в любом другом альтернативном виде (ss-модель, zpk-модель и frd-модель). Порядок работы не изменяется.
