Тема 1. Натуральные числа. Простые и составные числа. Признаки делимости. НОК и НОД чисел. Основные свойства множества натуральных чисел N

Тема 1. Натуральные числа. Простые и составные числа. Признаки делимости. НОК и НОД чисел. Основные свойства множества натуральных чисел N

·  На множестве N заданы две операции – сложение и умножение, относительно которых оно замкнуто, т. е. сумма и произведение натуральных чисел – число натуральное. Для этих операций выполняются переместительный и сочетательный законы, а также распределительный закон умножения относительно сложения.

·  На множестве N задано отношение порядка «<» (читается «меньше»). Причем любые два различных натуральных числа связаны этим отношением, т. е. одно меньше другого.

·  Множество N имеет наименьший элемент – 1. Любая часть множества N (его подмножество) также всегда имеет наименьший элемент. Наибольшего элемента множество N не имеет.

·  Взяв единицу, и многократно прибавляя к ней единицу, можно получить все натуральные числа: 1+1=2, 1+1+1=1+2=3, …

При этом натуральные числа расположатся в порядке возрастания:

1<2<3< , и «подряд», т. к. между любыми двумя соседними числами этой последовательности натуральных чисел нет.

Действие вычитание не всегда выполнимо в натуральных числах. Для того, чтобы оно стало выполнимым, необходимо добавление отрицательных чисел и нуля. При этом получается новое числовое множество целых чисел .

1.  Отношение делимости.

Определение. Число делится (нацело) на целое число b, не равное нулю, если существует такое целое число q, что справедливо равенство

Обозначается это отношение например,

Число a называют делимым, b – делителем, а число q ‑ частным.

Свойства отношения делимости

1.  Для любого выполняется

2.  Если и то .

3.  Если , то для любого .

4.  Если и , то и .

5.  Если , то для любого натурального n верно .

6.  Если и , то .

7.  Если , то , , .

8.  Если , то для любого верно .

9.  Если и то .

10. Пусть числа и взаимно просты. Тогда, если и , то .

11. Если и числа и b взаимно просты, то .

2.  Признаки делимости

Признак делимости на 2. Целое число делится на 2 тогда и только тогда, когда оно оканчивается четной цифрой: 0, 2, 4, 6, 8.

Признак делимости на 4. Целое число делится на 4 тогда и только тогда, когда двузначное число, образованное его двумя последними цифрами, делится на 4.

Признак делимости на 3. Целое число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 9. Целое число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 5. Целое число делится на 5 тогда и только тогда, когда оно оканчивается цифрой, делящейся на 5, т. е. 0 или 5.

Признак делимости на 25. Целое число делится на 25 тогда и только тогда, когда двузначное число, образованное его двумя последними цифрами, делится на 25, т. е. число оканчивается на 00, 25, 50, 75.

Признак делимости на 11. Целое число делится на 11 тогда и только тогда, когда знакопеременная сумма его цифр делится на 11.

Объединенный признак делимости на 7, 11, 13. Число делится на 7 (11, 13) тогда и только тогда, когда знакопеременная сумма его граней делится на 7 (11, 13).

(Гранями числа называются группы по три цифры, считая справа налево. Последняя грань может состоять из одной или двух цифр. Например, гранями числа 4948325408 являются 408, 325, 948, 4. Найдем знакопеременную сумму граней 408-325+948-4=1027. Т. к. это число делится на 13, но не делится на 7 и на 11, то и исходное число делится на 13, но не делится на 7 и на 11).

3.  Простые и составные числа

Очевидно, что любое натуральное число делится на себя и на 1. Таким образом, число 1 имеет ровно один делитель, все остальные – два или более.

Определение. Натуральное число, имеющее ровно два делителя, называется простым. Если натуральное число имеет более двух делителей, оно называется составным. Число 1 не является ни простым, ни составным.

Теорема Евклида. Множество простых чисел бесконечно.

Наименьшим простым числом является число 2, это единственное четное простое число, т. к. все остальные четные числа делятся на 2, и, следовательно, имеют, по крайней мере, три делителя.

Кроме числа 2 все остальные простые числа – нечетные.

Теорема (о наименьшем простом делителе). Если n – составное число, то квадрат его наименьшего простого делителя p не превосходит n. т. е. .

Признак простоты числа. Натуральное число n является простым тогда и только тогда, когда не делится на все простые числа, не превосходящие .

Например, проверим простоту числа 3599. Так как , то достаточно проверить делимость 3599 на простые числа не превосходящие 59. Используя свойства и признаки делимости, делаем выводы: четных делителей нет; на 3, 5, 9, 11, 25 не делится. Используя объединенный признак, получаем, что на 7 и 13 число тоже не делится. Остается проверить делимость на числа 17, 19, 23, 29. 37. 41, ... Но если заметить, что

получаем, что наименьший простой делитель числа 3599 окажется в самом конце перебора.

Основная теорема арифметики. Всякое натуральное число может быть представлено в виде произведения простых чисел

,

где простые числа (не обязательно различные), t – натуральное число. Причем такое представление единственно.

Если сгруппировать в виде степени одинаковые простые множители в этом разложении, то получим так называемое каноническое разложение натурального числа , где все основания степеней ‑ попарно различные простые числа.

Канонические разложения чисел:

4.  Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное

Определение. Наибольшим общим делителем натуральных чисел a и b называется наибольшее натуральное число d, на которое делятся числа a и b. Обозначается оно так: . Например, , так как оба числа 24 и 84 делятся на 12, но не делятся ни на какое число, большее 12.

Наименьшим общим кратным натуральных чисел a и b называется наименьшее натуральное число k, которое делится на числа a и b. Обозначается оно так: . Например, .

Числа a и b называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей кроме 1, т. е. если . Например, числа 15 и 38 ‑ взаимно простые.

Правило нахождения

1.  Найти канонические разложения чисел a и b.

2.  Выписать все простые множители, входящие в разложение как числа a, так и числа b.

3.  Каждый из этих множителей возвести в наименьшую степень из встречающихся в разложениях.

4.  Перемножить выписанные степени.

Правило нахождения

1.  Найти канонические разложения чисел a и b.

2.  Выписать все простые множители, входящие хотя бы в одно из разложений: числа a или числа b.

3.  Каждый из этих множителей возвести в наибольшую степень из встречающихся в разложениях.

4.  Перемножить выписанные степени.

Пример. Найдем канонические разложения чисел 24 и 84.

Общими простыми множителями являются 2 и 3. Взяв их в наименьших степенях и перемножив. Получим

Простые множители, входящие хотя бы в одно из разложений  ‑ 2, 3, 7. Взяв их в наибольших степенях и перемножив, получим

Диофантовы уравнения

Определение. Уравнение вида где целые числа, а целочисленные переменные, называются диофантовыми уравнениями первой степени с двумя неизвестными.

Теорема. Диофантово уравнение имеет решения тогда и только тогда, когда

Например, диофантово уравнение имеет решения в целых числах, т. к.

А уравнение не имеет решений, т. к как

Оказывается, если диофантово уравнение имеет решения, то таких решений бесконечно много. И если известно хотя бы одно из них (например, найдено подбором), то все остальные выписываются по готовым формулам, которые дает следующая теорема.

Теорема. Пусть пара чисел решение диофантова уравнения , и пусть Тогда пара чисел вида

где t – произвольное целое число, является решением этого уравнения. Всякое решение представимо в таком виде при подходящем целом значении t.

Пример. Выяснить, сколькими способами можно разменять 50 копеек монетами по 1 и 10 копеек.

Данную задачу, конечно, можно решать перебором всех возможных случаев. Покажем, однако, каким образом можно применить для ее решения предложенный выше теоретический материал.

Обозначим количество однокопеечных монет – x, десятикопеечных – y. Заметим, что обе переменные могут принимать только неотрицательные значения.

Имеем диофантово уравнение оно имеет решения, так как

Одно решение найдем подбором Тогда все решения могут быть найдены по формулам

где t – произвольное целое число.

Учтем ограничения на переменные, для этого решим систему неравенств: .

По формулам для каждого значения t находим значения x и y.

t	x	y
-5	0	5
-4	10	4
-3	20	3
-2	30	2
-1	40	1
0	50	0

Таким образом, существует 6 способов разменять 50 копеек на одно - и десятикопеечные монеты.

Задачи для аудиторного занятия

Множества натуральных и целых чисел. Отношение делимости

1.  Найти а) НОД (24, 84) и НОК (24, 84); б) НОД (3421, 561) и НОК (3421, 561).

2.  Можно ли найти четыре целых числа, сумма и произведение которых являются нечетными числами?

3.  Делится ли сумма трех последовательных натуральных чисел на 3? А четырех последовательных – на 4?

4.  К числу 13 приписать слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 45.

5.  Найти все пары значений (x, y), при которых число делится а) на 12; б) на 15.

6.  Доказать, что при любом четном n число кратно 12.

7.  Докажите признак делимости на 8. Число

8.  Некоторое двузначное число умножили на каждую его цифру и получили 777. Найдите это двузначное число.

9.  Незнайка хвастался умением умножать в уме. Чтобы его проверить, Знайка предложил написать какое-нибудь число, перемножить его цифры и назвать результат. «2310», – немедленно выпалил Незнайка. «Не может быть», – ответил, подумав, Знайка. Как он обнаружил ошибку?

10.  Сколькими нулями оканчивается число 250! ; 367!; 680! ?

11.  Найти последнюю цифру числа .

12.  Выяснить, являются ли следующие числа простыми или составными: а) 1991; б) в)  г) , д) е)

13.  Для приготовления новогодних подарков купили 200 апельсинов, 240 конфет и 320 орехов. Какое наибольшее количество подарков можно приготовить для детей, и сколько апельсинов, орехов и конфет будет положено в каждый из них?

14.  Торговка принесла на рынок корзину с яблоками. Если раскладывать яблоки в кучки по 5, то останется 4 яблока, если раскладывать по 4, то останется 3 яблока, а если раскладывать по 3, то останется 2. Каково наименьшее число яблок могло быть в корзине, если их – нечетное число?

15.  Если числа 173 и 185 разделить на одно и то же число, то получатся остатки 8 и 9. Чему равно это число?

16.  Решить уравнение в натуральных числах

Домашняя самостоятельная работа №1

Тема 1. Натуральные числа. Простые и составные числа. Признаки делимости. НОК и НОД чисел.

Вариант 1

1.  Найти НОД (4555, 765) и НОК (4555, 765).

2.  Выяснить, являются ли следующие числа простыми или составными:

а) , б) в)

3. К числу 13 приписать слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 45.

4. На складе имеются ножи и вилки, общее число которых больше 300, но меньше 400. Если ножи и вилки считать вместе десятками или дюжинами, то в обоих случаях получается целое число десятков и целое число дюжин. Сколько было вилок и ножей на складе, если ножей было на 160 меньше, чем вилок?

5. Сколько цифр «5» понадобится, чтобы выписать все натуральные числа от 1 до 1000?

Вариант 2

1.  Найти НОД (4244, 456) и НОК (4244, 456).

2.  Выяснить, являются ли следующие числа простыми или составными:

а) , б) в)

3. Найти все пары значений (x, y), при которых число 756y1x делится на 12.

4. На вступительном экзамене по математике одна треть абитуриентов получила оценку «удовлетворительно», одна четвертая часть – оценку «хорошо», а одна пятая часть – оценку «неудовлетворительно». Остальные получили оценку «отлично». Сколько человек получили оценку «отлично», если всего абитуриентов было более 200, но менее 300?

5. Торговка, сидя на рынке, соображала: «Если бы к моим яблокам прибавить половину их да еще десяток, то у меня была бы целая сотня». Сколько яблок у нее было?

Вариант 3

1.  Найти НОД (8962, 654) и НОК (8962, 654).

2.  Выяснить, являются ли следующие числа простыми или составными:

а) , б) в)

3.  Найти все пары значений (x, y), при которых число 197y7x делится на 18.

4.  Три парохода заходят в порт после каждого рейса. Первый пароход совершает рейс за 6 дней, второй – за 5 дней, а третий – за 10 дней. Через сколько дней после одновременного выхода в рейс первый пароход встретится с третьим? А третий со вторым? Все три парохода вместе?

5.  Два крестьянина расположились у лесной опушки перекусить, у одного было 2 хлеба, у другого ‑ один такой же хлеб. Подошел тут к ним путник и попросил перекусить. Все втроем перекусили, ели поровну. Уходя, путник отдал за свой обед 5 копеек. Как должны разделить крестьяне эти деньги?

Вариант 4

1.  Найти НОД (3456, 984) и НОК (3456, 984).

2.  Выяснить, являются ли следующие числа простыми или составными:

а) , б) в)

3.  Найти все пары значений (x, y), при которых число 16y72x делится на 12.

4.  Отец и сын решили измерить шагами расстояние между двумя деревьями, для чего прошли одновременно от одного дерева до другого. Длина шага отца 70 см, сына – 56 см. Найдите расстояние между деревьями, если известно, что их следы совпали в точности 10 раз.

5.  Два работника сели обедать. У одного было 4 лепешки, а у другого только 3. Стоимость лепешек была одинаковой. Подошел к ним прохожий и попросил поесть. Работники накормили прохожего, съели они вместе все лепешки, причем ели примерно поровну. После обеда прохожий отдал работникам 7 копеек. Не поможете ли Вы разделить эти деньги работникам между собой по справедливости?

Вариант 5

1.  Найти НОД (1323, 459) и НОК (1323, 459).

2.  Выяснить, являются ли следующие числа простыми или составными:

а) , б) в)

3. Найти все пары значений (x, y), при которых число 98y27x делится на 24.

4. Петя подсчитал, что ровно одна треть фильмов, которые он посмотрел за месяц – боевики, одна шестая часть – комедии, а одна седьмая – фильмы ужасов. Сколько часов провел перед телевизором Петя за месяц, если продолжительность одного фильма два часа, и Петя смотрел не более двух фильмов в день?

5. Две женщины варили кашу. Одна дала два фунта крупы, другая – 3 фунта. Только каша сварилась, как пришли еще две работницы. Все вчетвером съели всю кашу, примерно поровну каждая. После обеда каждая из пришедших уплатила по 5 копеек. Как должны разделить эти 10 копеек две женщины, варившие кашу?

Вариант 6

1.  Найти НОД (5043, 369) и НОК (5043, 369).

2.  Выяснить, являются ли следующие числа простыми или составными:

а) , б) в)

3.  Найти все пары значений (x, y), при которых число 3y782x2 делится на 18.

4.  Вова утверждает, что в этом году будет месяц с пятью воскресеньями и пятью средами. Прав ли он?

5.  В классе число отсутствующих учеников составляет часть от числа присутствующих. После того, как из класса вышел один ученик, число отсутствующих стало равно числа присутствующих. Сколько учеников учится в данном классе?

Вариант 7

1.  Найти НОД (5484, 324) и НОК (5484, 324).

2.  Выяснить, являются ли следующие числа простыми или составными:

а) , б) в)

3.  Найти все пары значений (x, y), при которых число 672y1x делится на 24.

4.  Учитель математики Татьяна Ивановна обнаружила, что в 1979 году ей исполнилось столько лет, какова сумма цифр года ее рождения. В каком году родилась Татьяна Ивановна?

5.  Запишите при помощи цифр 4, 7, 1 трехзначные числа от 400 до 500 в порядке возрастания. Цифры могут повторяться.

Вариант 8

1.  Найти НОД (1292, 684) и НОК (1292, 684).

2.  Выяснить, являются ли следующие числа простыми или составными:

а) , б) в)

3.  Найти все пары значений (x, y), при которых число 91y8x делится на 12.

4.  Найти двузначное число, равное сумме числа десятков и квадрата числа единиц.

5.  Запишите при помощи цифр 4, 7, 1 трехзначные числа от 100 до 200 в порядке возрастания. Цифры могут повторяться.

Вариант 9

1.  Найти НОД (3369, 573) и НОК (3369, 573).

2.  Выяснить, являются ли следующие числа простыми или составными:

а) , б) в)

3.  Найти все пары значений (x, y), при которых число 7y54x делится на 15.

4.  Определите ребро куба, объем и площадь поверхности которого выражаются одним и тем же числом.

5.  Богатый сенатор, умирая, оставил жену в ожидании ребенка. После его смерти огласили завещание. «В случае рождения сына две трети состояния отдать мальчику, остальное – матери. В случае рождения девочки две трети состояния отдать матери, остальное – дочери». У вдовы сенатора родилась двойня: мальчик и девочка. Как разделить имущество между тремя наследниками с наилучшим приближением к условию завещания?

Вариант 10

1.  Найти НОД (8525, 66) и НОК (8525, 66).

2.  Выяснить, являются ли следующие числа простыми или составными:

а) , б) в)

3. Незнайка хвастался умением умножать в уме. Чтобы его проверить, Знайка предложил написать какое-нибудь число, перемножить его цифры и назвать результат. «2310»,- немедленно выпалил Незнайка. «Не может быть»,- ответил, подумав, Знайка. Как он обнаружил ошибку?

4. Иван Петрович умножил число, выражающее его возраст, на каждую цифру этого числа и получил 1375. Сколько лет Ивану Петровичу?

5. В записи 4* 12 + 18 : 6 + 3 расставить скобки так, чтобы получилось наибольшее возможное число.