Практикум по решению задач планиметрии с использованием теоремы Менелая
Задача 1. Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 16:1, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 21.
Рис. 20
Решение.
1) Пусть биссектриса 
точкой 
делится в отношении 
, где точка пересечения биссектрис.
2) В 
– биссектриса, значит 
.
3) В 
– биссектриса, значит 
.
4) 
.
5) 
.
Ответ: 357.
Задача 2. Биссектриса угла 
делит медиану 
в отношении 3:7, считая от вершины 
. В каком отношении, считая от вершины 
, эта биссектриса делит медиану 
?
Рис. 21
Решение.
1) 
.
2) Для 
и секущей 
применим теорему Менелая, имеем:
.
3) Для 
и секущей 
применим теорему Менелая, имеем:
.
Ответ: 28 : 3.
Задача 3. В 
биссектриса 
и медиана 
перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 168. Найдите стороны .
а) б)
Рис. 22
Решение.
I способ (22 а).
1) 
(по катету и острому углу). Пусть 
, 
.
2) – медиана, поэтому 
. Биссектриса делит сторону в отношении 
.
3) Для 
и секущей , применим теорему Менелая:
т. е. 
.
. Значит, 
, 
.
4) Тогда из 
по теореме Пифагора находим
и
.
5) Из 
по теореме Пифагора имеем
, тогда
.
Ответ: 
, 
, 
.
II способ (22 б).
1) 
(
– общий катет, 
). Значит, 
, 
, 
.
Биссектриса 
делит сторону 
в отношении 
. Пусть 
, 
.
2) Пусть 
середина отрезка 
.Тогда 
– средняя линия . Тогда 
, 
, 
.
Следовательно, четырехугольник 
– параллелограмм, в котором диагонали перпендикулярны и делятся точкой 
пополам. Значит, – ромб. Отсюда следует, что 
, , 
.
3) Из находим по теореме Пифагора 
.
.
Далее из по теореме Пифагора имеем 
.
Отсюда 
.
Ответ: , , .
Задача 4. Медиана 
и биссектриса 
пересекаются в точке , причем 
. Найдите отношение площади 
к площади четырехугольника 
.
Рис. 23
Решение.
1) Биссектриса 
делит противоположную сторону 
в отношении: 
. Пусть 
, тогда
.
2) Для 
и секущей применим теорему Менелая:
.
3) Пусть 
.
а) Тогда 
и 
, т. к. медиана 
делит площадь треугольника 
на два равновеликих по площади треугольника.
б) Треугольники 
и 
имеют одинаковую высоту, опущенную на прямую 
. Учитывая, что 
, находим 
.
Аналогично для 
и , учитывая 
, находим 
.
в) Треугольники 
и имеют одинаковую высоту, опущенную на прямую . Учитывая, что 
, находим 
.
г) 
.
д) 
.
Ответ: 
.
Задача 5. Через середину медианы и вершину 
проведена прямая, пересекающая сторону 
в точке 
. Найдите отношение площади к площади четырехугольника .
Рис. 24
Решение.
1) Для 
и секущей применим теорему Менелая:
. (1)
2) Учитывая соотношение (1) последовательно вычисляем:
а) Пусть . Медиана делит на два равновеликих по площади треугольника:
.
б) Так как 
медиана в , то она делит на два равновеликих треугольника:
.
в) Треугольники 
и имеют одинаковую высоту, опущенную на прямую 
. Учитывая (1), находим 
.
г) 
.
д) 
.
Ответ: 
.
Задача 6. Медиана и биссектриса пересекаются в точке , причем 
. Найдите отношение площади к площади четырехугольника .
Рис. 25
Решение.
1) Биссектриса делит сторону (рис. 25) в отношении 
, тогда 
. (1)
2) Для и секущей применим теорему Менелая:
. (2)
3) Учитывая (1) и (2), последовательно вычисляем
а) Пусть . Медиана делит на два равновеликих по площади треугольника: 
.
б) Треугольники 
и 
имеют одинаковую высоту, опущенную на прямую . Учитывая (1), находим 
.
в) Треугольники 
и имеют одинаковую высоту, опущенную на прямую . Учитывая 
, находим 
.
г) Треугольники 
и имеют одинаковую высоту, опущенную на прямую . Учитывая 
, находим 
.
д) 
.
е) 
.
Ответ: 
.
