С3 – поиск выигрышной стратегии
Два игрока играют в следующую игру.
Имеются три кучи камней, содержащих соответственно 2, 3, 4 камня. За один ход разрешается или удвоить количество камней в какой–нибудь кучке, или добавить по два камня в каждую из куч. Предполагается, что у каждого имеется неограниченный запас камней.
Выиграет тот игрок, после чьего хода в какой-нибудь кучке становится не меньше 15 или во всех трех кучах суммарно становится не меньше 25 камней.
Игроки ходят по очереди. Выясните, кто выигрывает при правильной игре, — первый или второй игрок.
Решение:
1 ход | 2 ход | 3 ход | |
Стартовая позиция | 1-ый игрок (все варианты хода) | 2-й игрок (все варианты хода) | анализ уже рассчитанных состояний игры. |
2,3,4 | 4,3,4 | 8,3,4 | Выигрыш 1-го игрока |
4,6,4 | Проигрыш 1-го игрока при любом продолжении | ||
4,3,8 | Выигрыш 1-го игрока | ||
6,5,6 | |||
2,6,4 | 4,6,4 | Проигрыш 1-го игрока при любом продолжении | |
2,12,4 | Выигрыш 1-го игрока | ||
2,6,8 | Выигрыш 1-го игрока | ||
4,6,8 | Выигрыш 1-го игрока | ||
2,3,8 | Проигрыш 1-го игрока (при ходе второго 2,3,16) | ||
4,5,6 | 8,5,6 | Выигрыш 1-го игрока | |
4,10,6 | Выигрыш 1-го игрока | ||
4,5,12 | Выигрыш 1-го игрока | ||
6,7,8 | Выигрыш 1-го игрока |
Из таблицы очевидно, что при правильно выбранной стратегии (первый ход должен быть 2,3,4 - 4,5,6).выигрывает 1-й игрок.
Допущенные ошибки:
· Рассмотрены не все возможные варианты ходов игроков
Лучше оформлять дерево игры не в обычном, а табличном виде.
Тренировочные задания в формате ЕГЭ:
1. Два игрока играют в следующую игру. На координатной плоскостистоит фишка. В начале игры фишка находится в точке с координатами (0,2). Игроки ходят по очереди. Ход состоит в том, что игрок перемещает фишку из точки с координатами (x, y) в одну из трех точек: (x-1,y+4), (x+2,y+3), (x+3,y-1). Игра заканчивается, как только расстояние по прямой от фишки до начала координат станет не меньше 10. Выигрывает игрок, который сделал последний ход. Кто выигрывает при безошибочной игре – игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.
2. Два игрока играют в следующую игру. На координатной плоскости стоит фишка. В начале игры фишка находится в точке с координатами (-2,-1). Игроки ходят по очереди. Ход состоит в том, что игрок перемещает фишку из точки с координатами (x, y) в одну из трех точек: (x-1,y+4), (x+2,y+3), (x+3,y-1). Игра заканчивается, как только расстояние по прямой от фишки до начала координат станет не меньше 10. Выигрывает игрок, который сделал последний ход. Кто выигрывает при безошибочной игре – игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.
3. Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежат две кучки камней, в первой из которых 2, а во второй 7 камней. У каждого игрока неограниченно много камней. Игроки ходят по очереди. Ход состоит в том, что игрок или удваивает число камней в какой-то куче или добавляет 3 камня в какую-то кучу. Игрок, после хода которого общее число камней в двух кучах становится больше 20, проигрывает. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков – игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.
4. Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежат две кучки камней, в каждой из которых лежит по три камня. У каждого игрока неограниченно много камней. Игроки ходят по очереди. Ход состоит в том, что игрок или удваивает число камней в какой-то куче или добавляет 3 камня в какую-то кучу. Игрок, после хода которого общее число камней в двух кучах становится больше 20, проигрывает. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков – игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.
