«Средняя линия треугольника. Средняя линия трапеции»

Тираспольский общеобразовательный теоретический лицей

План-конспект урока

по геометрии

На тему: «Средняя линия треугольника. Средняя линия трапеции»

8 класс

углубленный курс

(спаренный урок)

Дата проведения: 17 октября 2012г.

Учитель математики I квалификационной категории:

г. Тирасполь, 2003

Тема урока: «Средняя линия треугольника. Средняя линия трапеции»

Цели и задачи урока:

·  образовательные – актуализировать субъективный опыт учащихся (опорные знания и способы действий, комплекс знаний), необходимый для изучения нового материала; организовать деятельность учащихся по восприятию, осмыслению и первичному закреплению знаний и способов действий.

·  развивающие – развивать пространственного воображения учащихся, применять знания на практике, способствовать развитию логического мышления, воли и самостоятельности, умения работать в парах.

·  воспитательные – создавать условия для воспитания интереса к изучаемой теме, воспитание мотивов учения, положительного отношения к знаниям, воспитания дисциплинированности, обеспечивать условия успешной работы в коллективе.

Тип урока: урок – открытие.

Методы обучения: беседа, фронтальный опрос, самостоятельная работа.

Средства обучения: доска, учебник, карточки, мультимедийный проектор.

Форма обучения: коллективная, индивидуальная.

Форма учебного занятия: классно-урочная.

Структура урока:

1.  Организация класса и рабочий настрой _____ 2 мин

Повторение и актуализация знаний _____ 3 мин Открытие новых знаний __________ 20 мин Решение задач __________15 мин Физминутка __________ 5 мин Открытие новых знаний __________ 30 мин Решение задачи __________ 7 мин Подведение итогов и домашнее задание ____ 3 мин

Итого ______________ 85 мин

Ход урока:

Учитель: Здравствуйте, ребята, садитесь. На прошлых уроках, мы с вами познакомились с четырехугольниками и их свойствами. Повторим их:

Опрос:

·  Что называется многоугольником?

·  Что такое параллелограмм?

·  Свойства параллелограмма?

·  Что такое прямоугольник?

·  Свойства прямоугольника?

·  Что такое ромб?

·  Свойства ромба?

·  Что такое квадрат?

·  Свойства квадрата?

·  Что такое трапеция?

·  Какая трапеция называется равнобокой?

·  Свойства равнобокой трапеции?

·  Чему равен периметр многоугольника?

·  Сформулируйте теорему Фалеса.

Средняя линия треугольника

Решим задачу: В треугольнике АВС, через точку К — середину стороны АВ проведена прямая КМ параллельная стороне АС. Зная, что АК = 4 см, ВМ = 6 см, см и см. Найти: КМ, АС.

Решение:

Рис.1

1. Так как К середина АВ и АК = 4 см, то АВ = 8 см

2. По теореме Фалеса имеем: ВМ=МС= 6 см, тогда ВС = 12см

3. Зная, что , получим АС = 36 – 8 – 12 = 16 (см).

4. Зная, что , получим КМ = 18 – 4 – 6 = 8 (см)

Ответ: 8 см, 16 см.

Учитель: Какие определения и теоремы были использованы в решении задачи?

Учащиеся: Перечисляют и озвучивают: определение равных отрезков, периметра треугольника, теорема Фалеса.

Учитель: отрезок, который соединяет середины двух сторон многоугольника, имеет специальное название: средняя линия треугольника. Запишем определение: Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (рис. 2).

Рис.2

Практическая работа: 1 ряд строит треугольник прямоугольный, 2 ряд – тупоугольный, 3 ряд – остроугольный. Далее:

1.  Постройте в треугольнике среднюю линию треугольника. Обозначьте ее.

2.  Как расположена средняя линия относительно третьей стороны?
Дети отвечают не очень утвердительно: я думаю, они параллельны; мне кажется, они параллельны; они параллельны; у меня они не параллельны.

3.  Измерьте третью сторону и среднюю линию треугольника. Что вы можете сказать по этому поводу? Учащиеся высказывают свое мнение: у меня получилось, что средняя линия треугольника в два раза меньше третьей стороны; а у меня третья сторона почти в два раза больше средней линии.

4.  Сколько можно провести в треугольнике средних линий? 3

Я подвожу итог. Итак, ребята, мы провели практическую работу, в процессе которой вы выдвинули гипотезу, что средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине. Докажем это.

      Утверждение 1. Средняя линия треугольника параллельна не пересекающейся с ней стороне треугольника и равна половине этой стороны.

      Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC и обозначим буквой К середину стороны AB (рис. 3). Проведем через точку К до пересечения с прямой BC прямую, параллельную прямой AC.  Обозначим буквой Н точку пересечения прямых КН и BC.

Рис.3

      Поскольку AК = КB, а прямые AC и КН параллельны, то выполнены все условия теоремы Фалеса, и можно заключить, что выполнено равенство:  CН = НB. Отсюда вытекает, что точка Н  является серединой стороны CB, а отрезок  КН является средней линией треугольника.

      Первую часть утверждения 1 мы доказали.

      Для того, чтобы доказать вторую часть утверждения 1, заметим, что в любом  треугольнике можно  провести три средних линии ­­– отрезки КТ, ТР, РК (рис.4).

Рис.4

      Поскольку , то четырёхугольник ТКРС – параллелограмм, следовательно, ТК = PC.

      Поскольку , то четырехугольник КТВР – параллелограмм, следовательно, ТК = ВР.

Но поскольку ВР = РC, то отсюда вытекает равенство , что и требовалось доказать.

      Доказательство утверждения 1 закончено.

      Следствие. Три средних линии делят треугольник на 4 равных треугольника ADF, DBE, ECF, DEF (рис. 4). (доказательство оформить дома).

Решим задачи на готовых чертежах:

1	Дано: Найти: и	Решение: EF – средняя линия треугольника, значит EF = 5 см, АЕ = ЕВ = 4 см (по условию) BF = FC = 5 см ( по теореме Фалеса) Тогда (см) (см) Ответ: 14 см и 28 см
2	Дано: и Найти: и	Решение: АВ = 2МВ = 8 см ВС = 2BN= 7 см (теорема Фалеса) АС = 2MN = 6 см (средняя линия треугольника) (см) (см) Ответ: 21 см и 10,5 см

Учитель: Обратите внимание на ответы которые мы получили и периметры каких треугольников мы искали. Что вы можете сказать?

Учащиеся: периметры отсекаемых средней линией треугольников равны половине периметра основного треугольника.

Средняя линия трапеции

Учитель: Напомним, что трапецией называют четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – не параллельны.

      Параллельные стороны трапеции называют основаниями, а непараллельные стороны – боковыми сторонами трапеции.

      Отрезки, соединяющие противоположные вершины трапеции, называют диагоналями трапеции.

      Определение. Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции (рис. 5).

Рис.5

      На рисунке 5 средней линией трапеции является отрезок EF.

Решим задачу: найти среднюю линию трапеции, зная ее основания.   

Из теоремы о средних линиях треугольника вытекает свойство средней линии трапеции (рис. 6), а также теоремы об отрезках, соединяющих середины сторон произвольного четырехугольника.

Рис. 6

      Задача 1. Доказать, что средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок с концами на основаниях трапеции.

Рис.7

      Решение. Пусть ABCD – трапеция, EF –  её средняя линия, LM – указанный отрезок (рис.7). Поскольку AE = EB, то, в силу теоремы Фалеса, выполнено равенство: LN = NM, что и требовалось доказать.

      Задача 2. Доказать, что отрезок, который диагонали трапеции высекают на средней линии трапеции, равен половине разности оснований трапеции.

Рис.8

      Решение. Пусть ABCD – трапеция, EF –  её средняя линия, KL – указанный отрезок (рис.8). В соответствии с задачей 1 можем заключить, что точка K – середина отрезка AC, а точка L – середина отрезка BD. Поэтому отрезок  EK – средняя линия треугольника BAC, а отрезок EL – средняя линия треугольника ABD. В силу утверждения 1 выполнены равенства: ,

      Следовательно, , что и требовалось доказать.

      Учитель: Проведем исследование: постройте произвольный четырехугольник.

·  Найдите середины сторон этого четырехугольника и соедините их последовательно. Какую фигуру вы получили? (параллелограмм). Докажите, что это параллелограмм. Что вы при этом использовали? (признак параллелограмма)

·  Что вы можете сказать о длине сторон полученного параллелограмма? (они равны половине соответствующей диагонали четырехугольника)

Теорема 1. Середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Стороны этого параллелограмма параллельны диагоналям четырехугольника, а их длины равны половинам длин диагоналей.

В самом деле, если К и L — середины сторон АВ и ВС (рис. 9), то KL — средняя линия треугольника ABC, поэтому отрезок KL параллелен диагонали АС и равен ее половине; если М и N — середины сторон CD и AD, то отрезок MN также параллелен АС и равен АС/2. Таким образом, отрезки KL и MN параллельны и равны между собой, значит, четырехугольник KLMN — параллелограмм.

В качестве следствия из теоремы 1 получаем интересный факт (т. 2).

Теорема 2. В любом четырехугольнике отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, делятся точкой пересечения пополам.

В этих отрезках можно увидеть диагонали параллелограмма (см. рис. 9), а в параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам (эта точка — центр симметрии параллелограмма).

Учитель: Решим задачу на готовом чертеже:

3

Решение: , и Тогда Ответ: 4; 6

Итак, сегодня на уроке мы с вами узнали, что такое средняя линия треугольника и ее свойства, средняя линия трапеции и ее свойства. Я очень довольна, как вы сегодня работали, особенно хочу отметить…

Домашнее задание: выучить определения и свойства средних линий. И решить задачи 4 и 5 на готовых чертежах (в раздаточных карточках колонка решения пуста):

4		Решение: , , . Тогда , то есть (см) Ответ: 20 см
5		Решение : , , Ответ: 5; 6; 7.

Использованная литература:

1.  Геометрия 7-9 , ,

2.  Геометрия Задачи и упражнения на готовых чертежах

3.  Геометрия 8. Дополнительные главы к учебнику. , ,

4.  Геометрия в таблицах 7-11. ,