Задача

Задача 1

Составить уравнение линейной регрессии (данные в табл.1). Также вычислить параметры и рассчитать линейный коэффициент корреляции и корреляционное отношение. Сравнить величину коэффициента корреляции и корреляционного отношения. Сформулировать выводы.

Таблица 1

Исходные данные для задачи 1

Месяц	Цена за 1 т, тыс. руб	Произведено, млн. т.
январь	82.46	279.7
февраль	80.13	71.4
март	63.42	242.8
апрель	76.17	76.3
май	75.13	74.7
июнь	74.84	210.7
июль	73.03	75.1
август	73.41	75.5
сентябрь	71.34	335.3

Решение

1)  Требуется построить уравнение линейной регрессии, которое показывает зависимость объема произведенной продукций от цены за единицу продукции. Значит:

Х – цена за 1 т, тыс. руб.;

Y – объем произведенной продукции, млн. т.

2)  Чтобы найти параметры уравнения линейной регрессии решается следующая система уравнений:

Поэтому строим вспомогательную таблицу и находим коэффициенты при параметрах a и b, а также свободные члены уравнений.

Таблица 2

Вспомогательная расчетная таблица для построения линии регрессии

Месяц	Х	Y	X2	Y2	X*Y
январь	82.46	279.7	6799.652	78232.090	23064.062
февраль	80.13	71.4	6420.817	5097.960	5721.282
март	63.42	242.8	4022.096	58951.840	15398.376
апрель	76.17	76.3	5801.869	5821.690	5811.771
май	75.13	74.7	5644.517	5580.090	5612.211
июнь	74.84	210.7	5601.026	44394.490	15768.788
июль	73.03	75.1	5333.381	5640.010	5484.553
август	73.41	75.5	5389.028	5700.250	5542.455
сентябрь	71.34	335.3	5089.396	112426.090	23920.302
Сумма	669.93	1441.5	448806.205	2077922.250	2077922.250

Получаем систему уравнений:

Умножаем левую и правую стороны первого уравнения на

В итоге имеем систему уравнений, которую решаем методом сложения:

388938.849*b = 1970621.795

b = 4.94

, откуда:

Записываем уравнение линейной регрессии:

Y = -207.55 + 4.94*X

3)  Линейный коэффициент корреляции находим по формуле:

Cтроим вспомагательную таблицу и находим необходимые суммы, предварительно рассчитав средние значения:

Таблица 3

Вспомогательная расчетная таблица для вычисления линейного коэффициента корреляции

Месяц	Х	Y
январь	82.46	279.7	8.023	119.533	959.056	64.374	14288.218
февраль	80.13	71.4	5.693	-88.767	-505.378	32.414	7879.521
март	63.42	242.8	-11.017	82.633	-910.344	121.367	6828.268
апрель	76.17	76.3	1.733	-83.867	-145.369	3.004	7033.618
май	75.13	74.7	0.693	-85.467	-59.257	0.481	7304.551
июнь	74.84	210.7	0.403	50.533	20.382	0.163	2553.618
июль	73.03	75.1	-1.407	-85.067	119.660	1.979	7236.338
август	73.41	75.5	-1.027	-84.667	86.924	1.054	7168.444
сентябрь	71.34	335.3	-3.097	175.133	-542.330	9.589	30671.684
Сумма	669.93	1441.5			-976.655	234.425	90964.260

По шкале Чеддока выясняем, что между объемом произведенной продукции и ценой за

1 т. существует слабая обратная статистическая связь.

4)  Корреляционное отношение находим по формуле:

Если сравнивать коэффициент корреляции и корреляционное соотношение, то очевидно, что

Выводы: Мы построили уравнение регрессии, которое показывает зависимость между объемом произведенной продукции и ценой за 1 т. Оно имеет вид: Y = -207.55 + 4.94*X. Также мы выяснили, что между факторной и зависимой переменной существует слабая обратная статистическая связь (линейный коэффициент корреляции = -0.21). Также мы нашли корреляционное соотношение и выяснили, что квадрат коэффициента корреляции приблизительно равен величине корреляционного соотношения.

Задача 2

Составить уравнение регрессии по данным таблицы:

Таблица 4

Исходные данные для задачи 2

№ п/п.	Прибыль, тыс. руб	Затраты на 1 руб, руб
1	1200	0.96
2	2400	0.77
3	2480	0.77
4	1600	0.89
5	1750	0.82
6	1800	0.81

Решение

1)  Требуется построить уравнение линейной регрессии, которое показывает зависимость объема произведенной продукций от цены за единицу продукции. Значит:

Х – затраты за 1 руб, руб.;

Y – прибыль, тыс. руб.

2)  Чтобы найти параметры уравнения линейной регрессии решается следующая система уравнений:

Поэтому строим вспомагательную таблицу и находим коэффициенты при параметрах a и b, а также свободные члены уравнений.

Таблица 5

Вспомогательная расчетная таблица для построения линии регрессии

№ п/п.	Х	Y	X2	Y2	X*Y
1	0.96	1200	0.9216	1440000	1152
2	0.77	2400	0.5929	5760000	1848
3	0.77	2480	0.5929	6150400	1909.6
4	0.89	1600	0.7921	2560000	1424
5	0.82	1750	0.6724	3062500	1435
6	0.81	1800	0.6561	3240000	1458
Сумма	5.02	11230	4.228	22212900	9226.6

Получаем систему уравнений:

Умножаем левую и правую стороны первого уравнения на

В итоге имеем систему уравнений, которую решаем методом сложения:

0.028*b = -169.167

b = -6056.1

,откуда:

Записываем уравнение линейной регрессии:

Y = 6938.6 – 6056.1*X

Вывод: Мы построили уравнение линейной регрессии, которое показывает нам зависимость прибыли от затрат в расчёте на 1 рубль.

Если затраты в расчёте на 1 рубль будут равны 0.96, то Yрасч = 1124,4, а на самом деле они равны 1200, то есть отклонение от фактического результата составит всего 75 руб, что косвенно указывает на то, что модель пригодна для того, чтобы по ней производились расчёты, от которых зависит принятие некоторых важных решений.

Задача 3

Зависимость между объемом произведенной продукции и балансовой прибылью по 10 предприятиям одной из отраслей промышленности характеризуется следующими данными:

№ предприятия	Объем реализованной продукции,	Балансовая прибыль,
млн. руб	млн. руб
1	491.8	133.8
2	483	124.1
3	481.7	62.4
4	478.7	62.9
5	476.9	51.4
6	475.2	72.4
7	474.4	99.3
8	459.5	40.9
9	452.9	104
10	446.5	116.1

Определите вид корреляционной зависимости, постройте уравнение регрессии, предварительно рассчитав его параметры, а также вычислите тесноту связи между показателями. Объясните полученные статистические характеристики.

Решение

1)  Для того чтобы определить вид корреляционной зависимости нужно построить диаграму рассеивания (корреляционное поле точок), по виду которого можно определить характер зависимости между факторной и зависимой переменными.

В нашей задаче эта зависимость имеет такой вид:

Разброс точек напоминает параболу. Аппроксимация всех точек на прямую невозможна, поэтому отсюда следует, что корреляционная зависимость нелинейная и представляет собой квадратическую функцию.

2)  Строим уравнение квадратичной регрессии и рассчитываем ее параметры.

Параметры квадратической регрессии находятся со следующей системы уравнений:

Поэтому строим вспомогательную таблицу и находим коэффициенты при параметрах a и b, а также свободные члены уравнений.

Таблица 6

Вспомогательная расчетная таблица для построения квадратичной регрессии

№ предприятия	X	Y	X2	X3	X4	X*Y	X2*Y
1	491.8	133.8	241867.24	118950308.6	58499761785	65802.84	32361836.71
2	483	124.1	233289	112678587	54423757521	59940.3	28951164.9
3	481.7	62.4	232034.89	111771206.5	53840190177	30058.08	14478977.14
4	478.7	62.9	229153.69	109695871.4	52511413641	30110.23	14413767.1
5	476.9	51.4	227433.61	108463088.6	51726046958	24512.66	11690087.55
6	475.2	72.4	225815.04	107307307	50992432290	34404.48	16349008.9
7	474.4	99.3	225055.36	106766262.8	50649915065	47107.92	22347997.25
8	459.5	40.9	211140.25	97018944.88	44580205170	18793.55	8635636.225
9	452.9	104	205118.41	92898127.89	42073562121	47101.6	21332314.64
10	446.5	116.1	199362.25	89015244.63	39745306725	51838.65	23145957.23
Сумма	4720.6	867.3	2230269.74	1054564949	499042591452.76	409670.31	193706747.6

Записываем систему уравнений:

Решим эту систему уравнений матричным методом.

A*X = B

X = A-1*В

Сразу запишем обратную матрицу не расписывая этапов ее вычислений:

В =

Х =

с =

b =

a = 0.134

Модель квадратической регрессии запишется таким образом:

Y = 0.134*X2 – 125.68*X + 29433.19

3)  Тесноту связи (коэффициент корреляции для нелинейной параболической зависимости) между показателями Х и Y определим по такой формуле:

– рассчётное значение Y по модели квадратичной регрессии:

Y = 0.134*X2 – 125.68*X + 29433.19

Строим вспомогательную таблицу, предварительно находим значение величины Y.

Таблица 7

Вспомогательная расчетная таблица для вычисления коэффициента корреляции для нелинейной параболической зависимости

№ предприятия	X	Y
1	491.8	133.8	2215.5849	138.630	23.330
2	483	124.1	1396.5169	91.383	1070.400
3	481.7	62.4	591.9489	86.169	564.944
4	478.7	62.9	567.8689	75.869	168.206
5	476.9	51.4	1248.2089	70.852	378.362
6	475.2	72.4	205.3489	66.912	30.115
7	474.4	99.3	158.0049	65.327	1154.133
8	459.5	40.9	2100.3889	67.259	694.807
9	452.9	104	298.2529	87.192	282.508
10	446.5	116.1	862.5969	117.706	2.580
Сумма	4720.6	867.3	9644.721	867.300	4369.386

Коэффициент корреляции для модели квадратичной регрессии высокий, что говорит о достаточно тесной связи между Х и Y.

Вывод: мы построили квадратичную регрессию – один из видов нелинейной регрессии. Сначала мы выяснили по виду корреляционного поля точек, что лучше корреляционное отношение описывает квадратическая зависимость. Затем нашли коэффициенты уравнения квадратической регрессии и нашли уравнение этой нелинейной регрессии, его вид: Y = 0.134*X2 – 125.68*X + 29433.19. Связь между Х и Y тесная, о чем свидетельствует высокое значение коэффициента корреляции для нелинейной зависимости (он намного ближе к 1, чем к 0).

Объяснение полученных статистических характеристик: Коэффициенты регрессии показывают вклад фактора в общую дисперсию, сама кривая регрессии (парабола) – показывает нам уравнение, которое лучше всего аппроксимирует точки, которые представлены корреляционным полем. Коэффициент корреляции показывает тесноту связи между фактором и зависимой переменной, в нашем случае между балансовой прибылью и объемом реализованной продукции.