О выборе оптимального портфеля с комиссией в модели Марковица

О Выборе оптимального протфеля с комиссией

в модели Марковица

Аль-

Финансовый университет при Правительстве РФ

*****@***ru

Исследуются модель Марковица (портфели без коротких позиций) с комиссией. Рассматриваются классические задачи выбора оптимального портфеля. Показано, что при некоторых ограничениях на комиссию эти задачи сводятся к аналогичным задачам без комиссии.

Ключевые слова: портфель, ожидаемая доходность портфеля, риск портфеля, оптимальные портфели, длинная позиция, короткая позиция, функция полезности.

Введение

Данная работа является непосредственным продолжением и обобщением [1-3].

В работе исследуется однопериодная модель Марковица (портфели без коротких позиций) с комиссией и с фиксированным конечным инвестиционным горизонтом. Приведены формулы для функций ожидаемой доходности и риска портфелей с комиссией, зависящей от актива, типа позиций и от того, открывается или закрывается данная позиция. При некоторых ограничениях на комиссию получены точные границы для этих функций.

Рассматривается задача выбора оптимального портфеля. Как показано в работе, классические задачи нахождения оптимального портфеля при некоторых ограничениях на комиссию сводятся к аналогичным задачам без комиссии с помощью аффинного преобразования. Для произвольной комиссии эти задачи аналитически усложняются из-за рационального характера зависимости функций ожидаемой доходности и риска от весов и комиссии.

Обозначения и предположения

Предположим, что рынок состоит из активов . Портфель будем обозначать вектором весов (вектор-столбец), где – вес актива . Заметим, что для любого портфеля сумма весов равна 1(бюджетное ограничение).

В работе рассматриваются однопериодные портфельные сделки с конечным и фиксированным инвестиционным горизонтом. Кроме того, все портфели предполагаются инвестиционными (т. е. портфели, для которых выручка от коротких продаж не покрывает расходы на открытие длинных позиций портфеля). Для простоты изложения будем предполагать, что дивиденды отдельно не выплачиваются.

В дальнейшем мы рассматриваем только портфели Марковица (модель Марковица). Для этой модели не допускаются короткие позиции, поэтому помимо бюджетного ограничения должны выполняться дополнительные ограничения , . Модель Блека (портфели с единственным бюджетным ограничением. Для них возможны короткие позиции) была исследована в [1-3]. Основные понятия и задачи портфельного анализа можно найти в [4-6].

Пусть – случайная величина ценовой доходности актива , – ожидаемая доходность актива , – доходность портфеля без учета транзакционных издержек, – ожидаемая доходность портфеля . В этом случае (см. [5-6])

а риск (вариация) доходности портфеля равен

где , – стандартное скалярное произведение в , – ковариационная матрица доходностей активов: ;

– вектор начальных комиссий, где – комиссия при открытии позиции по активу ; – вектор конечных комиссий, где – комиссия при закрытии позиции по активу .

Положим , где – ожидаемый коэффициент роста актива за инвестиционный период. Для векторов , положим также .

Основные результаты и выводы

Применяя результаты [1-3] к модели Марковица, получаем следующие теоремы (в теореме 2 получены более точные границы для значений и по сравнению с [1-3]).

Теорема 1. Для ожидаемой доходности портфеля с учетом комиссий , в модели Марковица справедливо следующее соотношение

В частности, риск (вариация) доходности портфеля определяется по правилу

Заметим, что и .

Замечание. Вопреки идеальному случаю без комиссии при функция в общем случае зависит от весов. Но, если комиссия не зависит от активов и от открытия или закрытия позиций: , тогда не зависит от весов, именно

Заметим, что функции , определены на компакте. Отсюда они достигают своего максимума и минимума. В следующей теоремы даны оценки границ для значений функций , .

Для положим

(норма вектора ),

Теорема 2. Фиксируем векторы комиссий , . Тогда для модели Марковица имеем

В частности, если , то

а если , , то

Рассмотрим один частный случай, для которого удается получить точные границы для и . Пусть . Положим , . Нам понадобится понятие функции полезности. Напомним [5,6], что для портфельных сделок без комиссии функция полезности определяется как , где – коэффициент неприятия риска. Для нашего случая с фиксированной комиссией положим . Заметим, что . Тогда

Согласно этим формулам, можно сделать следующие выводы:

1. портфель с минимальным риском и портфель с максимальной полезностью не зависят от комиссии ;

2. задача нахождения портфеля с минимальным риском при заданном уровне доходности и задача нахождения портфеля с максимальной доходностью при заданном уровне риска сводятся с помощью аффинного преобразования к аналогичным задачам без комиссии.

Эти выводы сохраняются и для случая, когда портфельная сделка для всех активов открывается с фиксированной комиссией но закрывается без комиссии ). В этом случае тоже удается получить точные границы для функций ожидаемой доходности и риска. Введем следующие обозначения: , , , , . Тогда

Аналогичные выводы верны для случая, когда портфельная сделка для всех активов открывается без комиссии ) но закрывается с фиксированной комиссией . В этом случае тоже удается получить точные границы для функций ожидаемой доходности и риска. Введем обозначения , , . Тогда

Литература

1. Al-Nator M. S., Al-Nator S. V., Kasimov Yu. F. Portfolio analysis with transaction costs under uncertainty // XXXII International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models. – June, Trondheim, Norway. – Moscow, IPI RAN. – 2014. – Pp. 14–16.

2. Al-Nator M. S., Al-Nator S. V., Kasimov Yu. F. Portfolio analysis with transaction costs under uncertainty // Journal of Mathematical Sciences, Springer Science+Business Media New York, Vol. 214, No.1, April 2016, Pp. 12–21.

3. Аль-, Аль- Однопериодные портфельные сделки с комиссией в условиях неопределенности // В книге: Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем, материалы Всероссийской конференции с международным участием. Москва, 2015. С. 210-212.

4. Аль-, , Основы финансовых вычислений. Часть 2. Учебное пособие. Финансовый университет. 2013.

5. Аль-, , Основы финансовых вычислений. Часть 3. Учебное пособие. Финансовый университет. 2014.

6. Luenberger D.G. Investment science. Oxford University Press, New York. 2013.

On the choice of an optimal portfolio with COMMISSION for The Markowitz model

Al-Nator M. S.

Financial University under the Government of Russian Federation

*****@***ru

The Markowitz model (portfolios without short positions) with commission is investigated. We consider the classical problems of the choice of an optimal portfolio. It is shown that under certain restrictions on the commission, these problems can be reduced to similar problems without commission.

Кеу words: portfolio, expected portfolio return, portfolio risk, optimal portfolios, long position, short position, Utility function.