Лекция №2.
Тема: Множества и операции над ними.
Цель: Сформировать основные понятия об операциях, производимых над множествами.
Вопросы:
1. Пересечение множеств.
2. Объединение множеств.
3. Свойства пересечения и объединения множеств.
4. Вычитание множеств. Дополнение множества.
5. Декартово умножение множеств.
Содержание:
1. Из элементов двух и более множеств можно образовывать новые множества. Пусть даны множества: А = {2, 4, 6, 8} и В = {5, 6, 7, 8, 9}. Образуем множество С, в которое включим общие элементы множества А и В, т. е. С = {6, 8}. Так полученное множество С называют пересечением множеств А и В.
Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В.
Пересечение множеств А и В обозначают А ⋂ В. Таким образом, по определению, А ⋂ В = {х| х ∈ А и х ∈ В}. Если изобразить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то пересечением данных множеств является заштрихованная область (рис. 3).
Рис.3
В том случае, когда множества А и В не имеют общих элементов, говорят, что их пересечение пусто и пишут: А ⋂ В = ∅. Выясним, как находить пересечение множеств в конкретных случаях. Если элементы множеств А и В перечислены, то, чтобы найти А ⋂ В, достаточно перечислить элементы, которые одновременно принадлежат множеству А и множеству В, т. е. их общие элементы. А как быть, если множества заданы характеристическими свойствами своих элементов? Из определения пересечения следует, что характеристическое свойство множества А ⋂ В составляется из характеристических свойств пересекаемых множеств с помощью союза «и».
2. Пусть даны множества: А = {2, 4, 6, 8} и В = {5, 6, 7, 8, 9}. Образуем множество D, в которое включим элементы, принадлежащие хотя бы одному из данных множеств, т. е. множеству А или множеству В: D = {2, 4, 6, 8, 5, 7, 9}. Так полученное множество D называют объединением множеств А и В.
Объединением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.
Объединением множеств А и В обозначают А ∪ В. Таким образом, по определению, А ∪ В = {х| х ∈ А или х ∈ В}. Если изобразить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то объединение данных множеств изобразится заштрихованной областью (рис.4).
Рис.4
Выясним, как находить объединение множеств в конкретных случаях. Если элементы множества А и В перечислены, то, чтобы найти А ∪ В, достаточно перечислить элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В. А как быть, если множества заданы характеристическими свойствами их элементов? Из определения объединения следует, что характеристическое свойство элементов множества А ∪ В составляется из характеристических свойств элементов множеств А и В с помощью союза «или».
3. Из школьного курса математики известно, что операция, при помощи которой находят сумму чисел, называется сложением. Над числами выполняют и другие операции, например умножение, вычитание, деление; при этом результат умножения чисел называют произведением, деления – частным, т. е. для операций над числами и результатов этих операций существуют разные термины. Для рассмотренных операций над множествами ситуация иная: операции, при помощи которых находят пересечение и объединение множеств, называются соответственно пересечением и объединением. Если обратиться к определениям пересечения и объединения множеств, то можно увидеть, что в них не фиксируется порядок оперирования множествами. Например, выполняя объединение, можно к элементам одного множества присоединить элементы другого, а можно поступить наоборот: к элементам второго множества присоединить элементы первого. Аналогичная ситуация и в случае, когда выполняется пересечение множеств. Это означает, что пересечение и объединение множеств обладают переместительным, или, как говорят в математике, коммутативным свойством: для любых множеств А и В выполняются равенства: А ⋂ В = В ⋂ А и А ∪ В = В ∪ А. Пересечение и объединение множеств обладают также сочетательным, или ассоциативным, свойством: для любых множеств А, В и С выполняются равенства: (А ⋂ В) ⋂ С = А ⋂ (В ⋂ С) и (А ∪ В) ∪ С = А ∪ (В ∪ С). Заметим, что назначение скобок в этих записях то же, что и в записях операций над числами. Взаимосвязь пересечения и объединения множеств отражается в распределительных, или дистрибутивных, свойствах этих операций. Таких свойств два:
1. Пересечение дистрибутивно относительно объединения множеств, т. е. для любых множеств А, В и С выполняется равенство (А ∪ В) ⋂ С = (А ⋂ С) ∪ (В ⋂ С).
2. Объединение дистрибутивно относительно пересечения множеств, т. е. для любых множеств А, В и С выполняется равенство (А ⋂ В) ∪ С =( А ∪ С) ⋂ (В ∪ С).
Заметим, что если в выражении есть знаки пересечения и объединения множеств и нет скобок, то сначала выполняют пересечение, так как считают, что пересечение более «сильная» операция, чем объединение. В связи со сказанным запись дистрибутивного свойства пересечения относительно объединения можно упростить опустив скобки в правой части равенства.
4. Если заданы два множества, то можно не только найти их пересечение и объединение, но и вычесть из одного множества другое. Результат вычитания называют разностью и определяют следующим образом.
Разностью множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.
Разность множеств А и В обозначают А \ В. Тогда, по определению, имеем: А \ В = {х| х ∈ А или х ∉ В}. Если представить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то разность А \ В изобразится заштрихованной областью (рис. 5).
Рис. 5
В школьном курсе математики чаще всего приходится выполнять вычитание множеств в случае, когда одно из них является подмножеством другого, при этом разность множеств А \ В называют дополнением множества В до множества А, и обозначают символом В´А, а наглядно изображают так, как представлено на рисунке 6.
Рис. 6
Пусть В ⊂ А. Дополнением множества В до множества А называется множество, содержащее те и только те элементы множества А, которые не принадлежат множеству В.
Вычитание множеств обладает рядом свойств. В частности, можно доказать, что для любых множеств А, В и С справедливы следующие равенства:
1) (А \ В) \ С = (А \ С) \ В;
2) (А ∪ В) \ С = (А \ С) ∪ (В \ С);
3) (А \ В) ⋂ С = (А ⋂ С) \ (В ⋂ С);
4) А \ (В ∪ С) = (А \ В) ⋂ (А \ С);
5) А \ (В ⋂ С) = (А \ В) ∪ (А \ С).
5. Упорядоченную пару, образованную из элементов a и b, принято записывать, используя круглые скобки: (a; b). Элемент a называют первой координатой (компонентой) пары, а элемент b – второй координатой (компонентой) пары. Пары (a; b) и (c; d) равны в том и только в том случае, когда a = c и b = d. В упорядоченной паре (a; b) может быть, что a = b. Упорядоченные пары можно образовывать как из элементов одного множества, так и двух множеств. Пусть, например, А = {1, 2, 3}, В = {3, 5}. Образуем упорядоченные пары так, чтобы первая компонента принадлежала множеству А, а вторая – множеству В. Если мы перечислим все такие пары, то получим множество: {(1; 3), (1; 5), (2; 5), (3; 3), (3; 5)}. Видим, что имея два множества А и В, мы получили новое множество, элементами которого являются упорядоченные пары чисел. Это множество называют декартовым произведением множеств А и В.
Декартовым произведением множеств А и В называется множество всех пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая компонента принадлежит множеству В.
Декартово произведение множеств А и В обозначают А × В. Используя это обозначение, определение декартова произведения можно записать так: А × В = {(x; y) | х ∈ А и y ∈ В}. Операцию нахождения декартова произведения множеств называют декартовым произведением.
Выясним теперь, как можно наглядно представить декартово произведение множеств. Если множества А и В конечны и содержат небольшое число элементов, то можно изобразить декартово произведение этих множеств при помощи графа или таблицы. Например, декартово произведение множеств А = {1, 2, 3}, В = {3, 5} можно представить так, как показано на рисунке 7(а, б).
Рис. 7
Декартово произведение двух числовых множеств (конечных и бесконечных) можно изобразить на координатной плоскости, так как каждая пара чисел может быть единственным образом изображена точкой на этой плоскости. Например, декартово произведение А × В множеств А = {1, 2, 3}, В = {3, 5} на координатной плоскости будем выглядеть так, как показано на рисунке 8.
Рис. 8
В математике и других науках рассматривают не только упорядоченные пары, но и упорядоченные наборы из трех, четырех и т. д. элементов. Например, запись числа 367 – это упорядоченный набор из трех элементов, а запись слова «математика» - это упорядоченный набор из 10 элементов. Упорядоченные наборы часто называют кортежами и различают по длине. Длина кортежа – это число элементов, из которых он состоит. Например, (3; 6; 7) – это кортеж длины 3, (м, а, т, е, м, а, т, и, к, а) это кортеж длины 10. Рассматривают в математике и декартово произведение трех, четырех и вообще n множеств.
Декартовым произведением множеств А1, А2, … , Аn называется множество всех кортежей длины n, первая компонента которых принадлежит множеству А1, вторая – множеству А2, … , n – я – множеству Аn.
