Построение модели оптимального управления для повышения уровня общественного здоровья в Кемеровской области

УДК 519.86

ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ПОВЫШЕНИЯ УРОВНЯ ОБЩЕСТВЕННОГО ЗДОРОВЬЯ В КЕМЕРОВСКОЙ ОБЛАСТИ

Кафедра математической кибернетики КемГУ

*****@***ru

Одним из показателей социально-экономического развития региона, политической стабильности и процветания является, конечно же, уровень здоровья населения, т. е. тот самый показатель, над повышением которого постоянно работает здравоохранение.

Существенную помощь в этом способна оказать и математическая наука, которая через построение и исследование различных моделей, систем, уравнений может выявить взаимосвязи между разными факторами, построить прогноз их будущих значений, сопоставить имеющиеся альтернативы и дать рекомендации по улучшению здоровья населения региона (общественного здоровья).

Основной целью работы является построение динамической модели максимизации интегрального показателя здоровья населения Кемеровской области в виде задачи оптимального управления с дискретным временем, где в качестве фазовых переменных выступают показатели здоровья населения, управляющими переменными являются численности врачей по отдельным специальностям.

Анализ причинно-следственных связей основных факторов, влияющих на показатели здоровья (ПЗ) населения, показывает, что большинство этих показателей в значительной степени зависит от качества окружающей среды в рассматриваемом регионе, от эффективности работы системы здравоохранения, образа жизни населения и социально-экономических условий жизни. К основным показателям здоровья населения, публикуемым в государственной статистике и зависящим от указанных факторов, можно отнести общую рождаемость (ОРЖ – характеризует воспроизводство населения), среднюю продолжительность предстоящей жизни при рождении (СППЖ – расчетный показатель, аккумулирующий повозрастные показатели смертности), заболеваемость (общую заболеваемость по обращениям населения в учреждения здравоохранения – ОЗО), первичную инвалидность (ПИНВ) и общую смертность (ОСМ).

Одна из линейных моделей интегрального показателя (ИП) общественного здоровья, учитывающая эти показатели, предложена в работах в целом для Российской Федерации [2]. Она задается следующей зависимостью: (1)

Здесь Ki – весовые коэффициенты ПЗ, а С – число, определяемое средним значением ИП для рассматриваемой модели.

На основе представленной методики построена модель ИП здоровья населения для Кемеровской области. Статистические данные показателей здоровья, необходимые для расчета ИП, были взяты в ежегодно публикуемых соответствующих статистических сборниках (напр., [3]).

Таблица 1

Ежегодные значения ИП здоровья населения Кемеровской области за 1995-2009 гг.

Год	1995	1996	1997	1998	1999	2000	2001	2002
ИП	0.5214	0.5612	0.5995	0.6138	0.5696	0.5416	0.5414	0.5156
Год	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009	2010
ИП	0.5463	0.5192	0.3809	0.3335	0.3446	0.4109	0.4629	0.5376

Найденный интегральный показатель общественного здоровья количественно оценивает состояние здоровья в Кемеровской области. Поэтому он может быть использован как критерий качества в задаче оптимального управления для повышения уровня здоровья населения.

Для построения этой задачи будем рассматривать промежуток 1996-2010 гг., за который имеется более полная статистическая информация о развитии области. Пронумеруем годы индексами и запишем формулу интегрального показателя для произвольного t следующим образом:

(2)

где – общая рождаемость, – средняя продолжительность предстоящей жизни при рождении, – первичная инвалидность, – заболеваемость, – общая смертность (за соответствующий год t).

Переменные, от которых зависит интегральный показатель , будем рассматривать в качестве характеристик, описывающих состояние рассматриваемой системы, т. е. ее фазовых переменных.

В качестве управляющих параметров возьмем численность врачей Кемеровской области по отдельным специальностям: – терапевтического профиля, – хирургического профиля, – акушеров-гинекологов, – педиатров, – офтальмологов, - отоларингологов, - неврологов, - психиатров и наркологов, - фтизиатров, - дермато-венерологов, - рентгенологов и радиологов, - санитарно-противоэпидемической группы и врачей по общей гигиене, - стоматологов. Для указания номера года введем соответствующий индекс времени t: , .

Для формулировки закона движения задачи запишем уравнения зависимости показателей здоровья , , , , от инвестиций , .

Чтобы учесть динамический аспект, включим в правые части этих уравнений значения показателей здоровья предыдущего периода времени.

В качестве формы зависимости будем использовать нелинейную функцию типа Кобба-Дугласа, которая в общем случае имеет вид:

, a > 0, , , ,

где y – зависимая переменная, – независимые переменные.

Оценка коэффициентов производится методом наименьших квадратов (МНК). В результате получаем следующие уравнения динамики:

где j принимает одно из значений ОЗО, ПИНВ, ОСМ, ОРЖ, СППЖ.

Величины оценок параметров этих уравнений, найденные с помощью МНК, представлены в таблице 2 (значения индексов j для простоты опущены).

Таблица 2

Оценки параметров уравнений движения

Показатель	a
ОСМ	6.070	0.001	0.001	0.001	0.001	0.001	0.379	0.001	0.001	0.001	0.001
ПИНВ	1.570	0.001	0.001	0.001	0.001	0.001	0.176	0.001	0.001	0.001	0.001
СППЖ	21.174	0.001	0.035	0.177	0.001	0.024	0.001	0.001	0.001	0.225	0.167
ОЗО	207.041	0.077	0.002	0.001	0.176	0.001	0.001	0.462	0.059	0.051	0.084
ОРЖ	1.049	0.002	0.001	0.001	0.002	0.001	0.001	0.001	0.001	0.001	0.001
Показатель
ОСМ	0.278	0.001	0.001	0.332
ПИНВ	0.001	0.001	0.001	0.811
СППЖ	0.168	0.001	0.001	0.197
ОЗО	0.001	0.001	0.051	0.033
ОРЖ	0.001	0.002	0.001	0.985

В силу рекуррентного характера полученных соотношений к ним необходимо добавить начальные условия вида

где Lj – заданный исходный уровень соответствующего показателя здоровья. В рассматриваемой задаче в качестве уровней Lj выбираются фактические значения ПЗ начального (1995-го) года.

Общая численность врачей по отдельным специальностям в регионе в каждый год t, не должна превышать максимального числа врачей, необходимых для нормального функционирования региональной системы здравоохранения.

Кроме того число врачей по каждой специальности не должны быть меньше некоторого минимального установленного значения:

Минимальные значения , определяются экспертным путем, исходя из установок социально-экономического развития региона.

На роль критерия качества возьмем требование максимизации уровня здоровья населения области, оцениваемого через интегральный показатель, к концу планового периода:

при .

Объединяя все приведенные выше соотношения, окончательно получаем следующую математическую модель:

(3)

(4)

(5) (6) (7)

, , , , (8)

(9)

(10)

(11)

Эта задача является задачей оптимального управления с дискретным временем и терминальным критерием качества. Фазовыми переменными в ней являются показатели здоровья, а управляющими переменными – число врачей по отдельным специальностям в Кемеровской области.

Соотношения (3) - (7) являются уравнениями движения. Условия (8) задают начальное состояние системы. Неравенства (9) - (10) представляют собой ограничения на управляющие параметры задачи. Выражение (11) является критерием качества модели, и, исходя из его вида, можно говорить о задаче оптимизации конечного состояния (задаче оптимального управления в форме Майера).

Таким образом, совокупность выражений (3) - (11) представляет собой модель оптимального управления для повышения уровня общественного здоровья в Кемеровской области.

Литература

1.  Данилов, математической теории оптимальных процессов / , . – Кемерово: Кузбассвузиздат, 2004.

2.  Кирьянов, модели интегрального показателя здоровья населения / // Фундаментальные исследования. – 2008. – № 9. – С. 99-100.

3.  Кузбасс, 2010: стат. сб. / Кемеровостат. – Кемерово, 2010.

4.  Пропой, теории оптимальных дискретных процессов / . – М.: Наука, 1973.

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук, доцент