Основы исследования операций (стр. 7 )

Тогда в соответствии с соотношениями (5.24)

Вектор является оптимальным решением двойственной задачи,

Анализ оптимальной симплексной таблицы показывает, что исходная задача имеет множество оптимальных решений (D6 = 0).

В этом случае решение двойственной задачи - вырожденное.

6. АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ НА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ

Анализ моделей на чувствительность - это процесс, выполняемый после того, как оптимальное решение задачи получено. В рамках такого анализа выявляются возможные изменения полученного оптимального решения в результате изменений исходной модели. Исследование моделей на чувствительность является чрезвычайно важным при решении конкретных экономических задач, так как позволяет получить динамические характеристики моделей, что делает ее более адекватной реальным процессам.

Основные положения, связанные с анализом моделей на чувствительность изложены в [2–5, 12]. Рассмотрим послеоптимизационный анализ модели на чувствительность на примере задачи определения оптимального ассортимента выпуска продукции.

6.1. Содержательная постановка задачи

Один из цехов химического комбината изготовляет два вида красок: для внутренних (П1) и наружных работ (П2). Продукция обоих видов поступает в бытовую продажу. Для производства красок кроме специальной основы используются три красителя к1, к2, к3. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6, 8, 9 кг соответственно. Расходы красителей на 1т соответствующих красок приведены в таблице 1.

Таблица 1

Красители	Расход красителей в кг на т краски	Суточный запас красителей (кг)
	П1	П2
к1 к2 к3	1 2 1	2 1 3	6 8 9

Изучение спроса показало, что суточный спрос на краску П2 не превышает 2т. Определить оптимальный план выпуска продукции, если оптовая цена на краску П1- 3 тыс. руб. за 1 тонну, а на краску П2- 2 тыс. руб.

6.2. Построение математической модели

Управляемые параметры. Так как нужно определить объемы производства каждого вида краски, переменными в модели являются: x1 – объем производства краски П1 за смену (в тоннах), x2– объем производства краски П2за смену (в тоннах);

Целевая функция. Так как стоимость 1т краски каждого вида известна, то общий доход от ее реализации составляет

Ограничения. При определении плана выпуска продукции должны быть учтены ограничения на расход красителей, а именно расход каждого вида исходного продукта на производство обоих видов красок не должен превышать его запасов. Получаем два ограничения:

Кроме того должны быть соблюдены ограничения по спросу на краску:

Неявное (т. е. подразумеваемое) условие, вытекающее из экономического смысла выбранных переменных, заключается в том, что объемы производства продукции не могут принимать отрицательные значения .

Тогда математическую модель задачи можно сформулировать следующим образом:

Определить план производства краски , обеспечивающий максимальное значение функции:

(6.1)

при ограничениях:

(6.3)

Проведение анализа модели на чувствительность связано с использованием теории двойственности.

Построим двойственную задачу:

Найти (6.4)

при ограничениях:

(6.5)

(6.6)

6.3. Решение задачи

Найдем решение задачи (6.1)–(6.3) симплекс методом и дадим геометрическую интерпретацию решению.

Итерации симплекс-метода приведены в следующих таблицах:

	сj	3	2	0	0	0	0
	Базис	x1	x2	x3	x4	x5	x6	Решение
0	x3	1	2	1	0	0	0	6
0	x4	2	1	0	1	0	0	8
0	x5	1	3	0	0	1	0	9
0	x6	0	1	0	0	0	1	2
	F	–3	–2	0	0	0	0	0
0	x3	0	3/2	1	–1/2	0	0	2
3	x1	1	1/2	0	1/2	0	0	4
0	x5	0	5/2	0	–1/2	1	0	5
0	x6	0	1	0	0	0	1	2
	F	0	–1/2	0	3/2	0	0	12
2	x2	0	1	2/3	–1/3	0	0	4/3
3	x1	1	0	–1/3	2/3	0	0	10/3
0	x5	0	0	–5/3	1/3	1	0	5/3
0	x6	0	0	–2/3	1/3	0	1	2/3
	F	0	0	1/3	4/3	0	0	38/3

Таким образом оптимальное решение задачи это выпуск 10/3 т краски П1и 4/3 т краски П2. При этом получаем доход f = 38/3 млн. рублей.

Из оптимальной симплексной таблицы получаем решение двойственной задачи

6.4. Анализ модели на чувствительность к изменению правых частей ограничений (запасов ресурсов)

При выполнении этого анализа необходимо дать ответы на следующие вопросы:

-  каков статус ресурсов, т. е. какие из них "дефицитные" и какие "недефицитные";

-  какова значимость ресурсов, т. е. изменение объема какого из ресурсов является наиболее выгодным с точки зрения обеспечения наибольшего дохода от реализации продукции;

-  в каких пределах допустимо изменение запаса ресурсов, при которых их влияние на исходную модель задачи линейного программирования адекватно описывается оптимальным решением двойственной задачи (то есть решение двойственной задачи не меняется);

-  как отразится на оптимальном плане увеличение (уменьшение) запасов ресурсов.

6.4.1. Определение статуса факторов производства (ресурсов)

Ресурсы относятся к "дефицитным", если оптимальный план предусматривает их полное использование, при частичном использовании ресурсов они считаются "недефицитными".

Статус ресурсов для любой модели линейного программирования можно установить непосредственно из оптимальной симплексной таблицы исходной задачи по значению дополнительных переменных. Положительное значение дополнительной переменной указывает на неполное использование соответствующего ресурса, т. е. на его "недефицитность", нулевое значение дополнительной переменной указывает на "дефицитность" ресурса.

В нашем примере дополнительные переменные x3 и x4 равны 0, следовательно, красители к1 и к2 являются "дефицитными", а краситель к3 – "недефицитным" (). Значение дополнительной переменной x6 = 2/3 свидетельствует, что остался неудовлетворенный спрос на краску П1 в 0.66т.