Анализ двумерных портфелей с комиссией в условиях неопределенности

Анализ двумерных портфелей с комиссией в условиях неопределенности

Аль-1, Аль-2

1,2Финансовый университет при Правительстве РФ,

*****@***ru, *****@***ru

Исследуются двумерные портфели с комиссией в условиях неопределенности. Получены точные границы для функций ожидаемой доходности и риска (вариации) доходности портфеля.

Ключевые слова: портфель, ожидаемая доходность портфеля, риск портфеля, длинная позиция, короткая позиция.

Введение

Данная работа является непосредственным продолжением [1-3].

В работе [3] (см. также [2]) получено полное решение известной задачи о нахождении явных формул для ожидаемой доходности и риска портфелей с комиссией, зависящей от актива, типа позиций и от того, открывается или закрывается данная позиция. Согласно этой теореме, эти функции являются в общем случае негладкими функциями от весов портфеля. Показано, что функции ожидаемой доходности и вариация портфелей с комиссией являются ограниченными функциями. Этот неожиданный результат не имеет аналога для портфелей без комиссии.

Цель данной работы состоит в анализе двумерных портфелей и получении точных границ для ожидаемой доходности и риска.

Обозначения и предположения

Пусть рынок состоит из активов . Портфель будем обозначать вектором весов (вектор-столбец), где – вес актива , .

Всюду дальше мы рассматриваем однопериодные портфельные сделки с конечным и фиксированным инвестиционным горизонтом. Кроме того, все портфели предполагаются инвестиционными (т. е. портфели, для которых выручка от коротких продаж не покрывает расходы на открытие длинных позиций портфеля). Для простоты изложения будем предполагать, что дивиденды отдельно не выплачиваются.

Будем различать две модели портфелей: модель Блека, для которой (короткие позиции допускаются) и модель Марковица, для которой (короткие позиции запрещены).

Будем предполагать, что комиссия зависит от типа позиции (короткой или длинной) данного актива и от того, открывается или закрывается данная позиция.

Введем следующие обозначения

– вектор начальных комиссий, – вектор конечных комиссий, где (соотв. – комиссия при открытии (соотв. закрытии) позиции по активу , , если открывается или закрывается длинная позиция, , если открывается или закрывается короткая позиция.

– случайная величина ценовой доходности актива , – ожидаемая доходность актива ; , – ковариационная матрица доходностей активов: .

Основные результаты

Применяя результаты [2], [3], легко получить следующие две теоремы.

Теорема 1. Для ожидаемой доходности портфеля с учетом комиссий , справедливо следующее соотношение

Риск (вариация) доходности портфеля определяется по правилу

Теорема 2. Фиксируем векторы комиссий , . Тогда в модели Блека функции и ограничены:

где , , , .

Заметим, что для модели Марковица функции и ограничены, поскольку они определены на компакте .

Следствие 1. Формулы (1) и (2) записываются в виде

где

, , , ,

Формулы для модели Марковица получаются из (5) и (6) сужением , на отрезке .

Формулы (5) и (6) упрощаются, если комиссия не зависит от актива и позиции: , . Например, для имеем

.

Наиболее простой вид (5) и (6) получаются, если комиссия не зависит от актива, позиции и от того открывается или закрывается данная позиция: . Например, для имеем

Используя (5) и (6), можно получить точные границы в неравенствах (3) и (4). Например, функция в общем случае линейно рациональна в каждой из областей , , . Заметим, что для области и только для нее, функция может быть линейной (случай ) или постоянной (например, если , , ). Предположим, что непостоянна на . Тогда – монотонная функция. Она достигает минимального и максимального значения в конечных точках. Функция монотонна в каждой из областей , . Положим

Числа , конечны и находятся с помощью пределов

Аналогично, достигает своего минмального в максиального значения на отрезке . Далее находим , в каждой области , . Затем вычисляем пределы

После этого находим точные границы для .

Литература

1. Al-Nator M. S., Al-Nator S. V., Kasimov Yu. F. Portfolio analysis with transaction costs under uncertainty // XXXII International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models. – June, Trondheim, Norway. – Moscow, IPI RAN. – 2014. – Pp. 14–16.

2. Al-Nator M. S., Al-Nator S. V., Kasimov Yu. F. Portfolio analysis with transaction costs under uncertainty // Journal of Mathematical Sciences, Springer Science+Business Media New York, Vol. 214, No.1, April 2016, Pp. 12–21.

3. Аль-, Аль- Однопериодные портфельные сделки с комиссией в условиях неопределенности // В книге: Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем материалы Всероссийской конференции с международным участием. Москва, 2015. С. 210-212.

Analysis of two-dimensional portfolios with COMMISSION UNDER UNCERTAINTY

Al-Nator M. S.1, Al-Nator S. V.2

1,2Financial University under the Government of Russian Federation

*****@***ru, *****@***ru

We study two-dimensional portfolios with commission under uncertainty. The exact boundaries for the expected return function and risk (variation) of portfolio return function are obtained.

Кеу words: portfolio, expected portfolio return, portfolio risk, long position, short position.