Задача

Задача 1

  Дана схема, и известны сопротивления резисторов и ЭДС источников. Требуется найти токи в ветвях, используя законы Кирхгофа.

 

  Используя первый закон Кирхгофа, можно записать n-1 уравнений для цепи. В нашем случае количество узлов n=2, а значит нужно составить только одно уравнение.

  Напомним, что по первому закону, сумма токов сходящихся в узле равна нулю. При этом, условно принято считать входящие токи в узел положительными, а выходящими отрицательными. Значит для нашей задачи 

  Затем используя второй закон (сумма падений напряжения в независимом контуре равна сумме ЭДС в нем) составим уравнения для первого и второго контуров цепи. Направления обхода выбраны произвольными, при этом если направление тока через резистор совпадает с направлением обхода, берем со знаком плюс, и наоборот если не совпадает, то со знаком минус. Аналогично с источниками ЭДС.

  На примере первого контура – ток I1 и I3 совпадают с направлением обхода контура (против часовой стрелки), ЭДС E1 также совпадает, поэтому берем их со знаком плюс.

  Уравнения для первого и второго контуров по второму закону будут: 

  Все эти три уравнения образуют систему

  Подставив известные значения и решив данную линейную систему уравнений, найдем токи в ветвях (способ решения может быть любым). 

  Проверку правильности решения можно осуществить разными способами, но самым надежным является проверка балансом мощностей.

Баланс мощностей – это выражение закона сохранения энергии, в электрической цепи. Определение баланса мощностей звучит так: сумма мощностей потребляемых приемниками, равна сумме мощностей отдаваемых источниками. То есть если источник ЭДС в цепи отдает 100 Вт, то приемники в этой цепи потребляют ровно такую же мощность. 

Или

 Проверим это соотношение на простом примере.

Для начала свернем схему и найдем эквивалентное сопротивление. R2 и R3 соединены параллельно.

 

 Найдем по закону Ома ток источника и напряжение на R23, учитывая, что r1 и R23 соединены последовательно, следовательно, сила тока одинаковая. 

Найдем токи I2 и I3

Теперь проверим правильность с помощью баланса мощностей. 

  Небольшое различие в значениях связано с округлениями в ходе расчета.

   С помощью баланса мощностей, можно проверить не только простую цепь, но и сложную. Давайте проверим сложную цепь из статьи метод контурных токов.

 Как видите независимо от сложности цепи, баланс сошелся, и должен сойтись в любой цепи!

Задача 2

  Зная сопротивления резисторов и ЭДС трех источников найти ЭДС четвертого и токи в ветвях.

 

  Как и в предыдущей задаче начнем решение с составления уравнений на основании первого закона Кирхгофа. Количество уравнений n-1= 2 

  Затем составляем уравнения по второму закону для трех контуров. Учитываем направления обхода, как и в предыдущей задаче. 

  На основании этих уравнений составляем систему с 5-ью неизвестными 

  Решив эту систему любым удобным способом, найдем неизвестные величины 

  Для этой задачи выполним проверку с помощью баланса мощностей, при этом сумма мощностей, отданная источниками, должна равняться сумме мощностей полученных приемниками. 

 

 Баланс мощностей сошелся, а значит токи и ЭДС найдены верно. 

Сложные цепи. Применение законов Кирхгофа

Предположим, перед нами стоит задача по расчету сложной электрической цепи, состоящей из k узлов, l ветвей и m идеальных источников тока (под идеальным источником тока подразумевается такой источник тока, для которого Rт равен бесконечности). Суть метода сводится к решению системы линейных уравнений c l неизвестными. В качестве неизвестных выступают токи ветвей. Решив такую систему мы получим значения токов во всех ветвях электрической цепи, зная которые очень просто рассчитать все другие параметры цепи (напряжения на отдельных элементах, мощность и т. д.)

Перед началом расчета будет нелишним, по возможности, упростить электрическую схему с целью уменьшения количества ветвей. Это может существенно упростить расчеты и уменьшить вероятность ошибки. Например, решение системы линейных уравнений с 4 неизвестными гораздо проще решения системы с 5 неизвестными.

Порядок расчета цепей, связанный с использованием законов Кирхгофа следующий:

Выбирают положительные направления токов в ветвях электрической цепи. Составляют (k-1) независимых уравнений по первому закону Кирхгофа. Уравнения составленные по первому закону Кирхгофа гораздо проще уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа. Поэтому их составляют максимально возможное количество. Выбирают (l-k+1-m) независимых контуров электрической цепи. Контуры необходимо выбирать так, чтобы в них вошли все ветви схемы. Контуры взаимно независимы, если каждый последующий выбираемый контур содержит не менее одной новой ветви. Для каждого из выбранных независимых контуров выбирают направления обхода и составляют уравнение по второму закону Кирхгофа. Решают систему из (l-m) линейных уравнений любым удобным способом.

Более наглядно методика составления системы уравнений для данного способа расчета сложных электрических цепей показана на рисунке ниже.

На рисунке изображена схема сложной электрической цепи, содержащей 4 узла и 6 ветвей (k=4, l=6). Для расчета цепи необходимо составить систему из 6 линейных уравнений. Предварительно выберем направления токов в каждой из ветвей. По первому закону Кирхгофа (формула 1.20) составляем 3 уравнения (k-1=4-1=3), например для узлов A, B и C. Вместо любого из этих узлов для составления уравнения можно взять узел D, на результат расчетов это не повлияет. Оставшиеся 3 уравнения (l-k+1-m=6-4+1-0=3) придется составлять по второму закону Кирхгофа.

Для этого выбираем 3 независимых контура электрической цепи и для каждого из них выберем направление обхода. Составляем для каждого выбранного контура уравнение по второму закону Кирхгофа (формула 1.21). Получаем систему из 6 линейных уравнений с 6 неизвестными, которую и решаем любым удобным способом. Более подробный расчет данной схемы в сочетании с численным расчетом системы уравнений приведен в примере №9.

Использование данной методики расчета сложных электрических цепей для других схем можно рассмотреть на примере №7 и на примере №8.

РАСЧЕТ СЛОЖНОЙ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
МЕТОДОМ НАЛОЖЕНИЯ

Определить токи в ветвях, режимы работы источников, проверить соблюдение баланса мощностей в электрической цепи постоянного тока (рис. 4.1, а). Эдс источников питания и , их внутренние сопротивления и , сопротивления резисторов …, а также схема включения резисторов на участке 2–3 цепи (ограничен пунктиром) (рис. 4.1, б–е) для соответствующих вариантов задания приведены в табл. 4.1. Задачу решить методом наложения.

а д	б
в
г
е

Рис. 4.1. Варианты электрической цепи к задаче № 4

Ход решения задачи

 Метод наложения (метод суперпозиции) применяется для расчета сложных электрических цепей постоянного тока несколькими источниками энергии. Наиболее целесообразно применять его при небольшом числе источников. По сравнению с другими методами он имеет преимущества в тех случаях, когда не требуется полного расчета цепи, а можно ограничиться, например, только определением токов на участках электрической цепи с источником питания.

Метод наложения заключается в том, что воздействие нескольких источников питания (эдс и напряжений) на электрическую цепь можно рассматривать как результат воздействия на нее каждого из источников независимо от воздействия других источников, имеющихся в данной электрической цепи. При этом в каждой из ветвей электрической цепи ток определяется как алгебраическая сумма токов, вызываемых в ней действием каждого из источников.

В процессе расчета по методу наложения рассматриваемая электрическая цепь с несколькими источниками эдс и напряжений заменяется расчетными электрическими цепями с одним источником, число которых равно числу источников, действующих в электрической цепи. Другие источники питания, кроме рассматриваемого, при этом закорачиваются, т. е. удаляются из цепи.

В результате расчета каждой из этих преобразованных цепей определяются частичные токи от действия данного источника. Значение действительных токов ветвей определяется алгебраическим суммированием частичных токов в этих ветвях.

Применительно к исходной электрической цепи (рис. 4.2, а), на которой предварительно нанесены положительные направления токов в ветвях, на рис. 4.2, б, в приведены расчетные электрические цепи для частичных токов от действия эдс и .

а

б

в

Рис. 4.2. Последовательность расчета электрической цепи
методом наложения: а – сложная электрическая цепь постоянного тока;
б – от действия эдс Е1; в – от действия эдс Е2

При расчете этих цепей определяются частичные токи во всех ветвях. С учетом направления частичных токов и токов в ветвях исходной электрической цепи определяют действительные токи в ветвях рассматриваемой цепи путем наложения (алгебраического суммирования) частичных токов в ветвях: ; ; .

Правильность расчета необходимо проверить по балансу мощностей. Суммарная мощность источников электрической энергии равна общей мощности, поглощаемой сопротивлениями нагрузки (потребителями) , входящими в состав цепи, т. е.

.

Относительная ошибка должна быть меньше наперед заданного числа, например, 5 %: .

Вычисление определителя квадратной матрицы третьего порядка - формула и пример.

Найдем определитель квадратной матрицы порядка 3 на 3 в общем виде.

В этом случае n=3, следовательно, n!=3!=6.

Оформим в виде таблицы необходимые данные для применения формулы .

Имеем

Таким образом, мы получили формулу для вычисления определителя матрицы порядка 3 на 3, она имеет вид

Аналогично можно получить формулы для вычисления определителей матриц порядка 4 на 4, 5 на 5 и более высоких. Они будут иметь очень громоздкий вид.

Пример.

Вычислите определитель квадратной матрицы порядка 3 на 3.

Решение.

В нашем примере

Применяем полученную формулу для вычисления определителя матрицы третьего порядка:

Метод свертывания

Согласно методу свертывания, сложная электрическая схема поэтапно упрощается путем замены ее участков последовательно и параллельно соединенных сопротивлений соответствующими эквивалентными сопротивлениями. В результате преобразования получают схему с одним эквивалентным сопротивлением, подключенным к клеммам источника. Рассчитывается ток, протекающий в преобразованной схеме через эквивалентное сопротивление, а затем возвращаются поэтапно к исходной схеме, определяя токи, протекающие через ее элементы.

Задача 1. Определите напряжение на участке АВ в цепи, показанной на рисунке, если R1=R3 = R4 = R6 = 1 Ом, R2 = R5 = 4 Ом. Напряжение источника U=4,4 В.

Решение. Из анализа схемы следует, что резисторы R4, R5 и R6 соединены последовательно и эквивалентное сопротивление этого участка цепи R’ = R4+R5+R6=6Ом. Изобразим эквивалентную схему.

Как видно из рисунка, в новой схеме резисторы R2 и R’ соединены параллельно. Эквивалентное сопротивление этого участка схемы =2,4 Ом. Заменив участок параллельно соединенных резисторов – одним, получим конечную схему. К клеммам источника подключен резистор Re = R1+Rab+R3 = 4,4 Ом.

Ток протекающий в такой цепи = 1А.
Напряжение на участке ab = 2,4 В. Тогда ток, протекающий по участку АВ = 0,4 А. Для нахождения напряжения на участке АВ = 1,6 В.

Метод подобных (пропорциональных) величин

В этом методе задаются произвольным значением тока, протекающим через один из элементов цепи. Выбирается, как правило, элемент, наиболее удаленный от источника.

Затем поэтапно рассчитываются токи, протекающие через другие элементы цепи, и в итоге определяется напряжения источника при выбранном значении тока. Если вычисленное значение напряжения источника в к раз отличается от известного из условия задачи, то во столько раз реально протекающие через элементы цепи токи, отличаются от рассчитанных.

Рассмотрим в качестве примера решение задачи 1.

Наиболее удаленным от источника является сопротивление R5. Предположим, что через это сопротивление протекает ток в . Тогда =6 В. В этом случае, ток, протекающий через сопротивление R2 =1,5 А. Полный ток в цепи =2,5 А. Тогда, =2,5+6+2,5=11 В. Находим отношение и умножаем на этот коэффициент полученные значения токов. =0,4 А, = 0,6 А и = 1 А. Находим = 1,6 В.

Наряду с методом контурных токов для анализа электрических цепей используется другой метод – метод наложения. Этот метод основан на  принципе наложения, который применяется только к линейным системам.

  Метод наложения относительно прост, и в основном применяется для не сложных электрических цепей.

  Его суть заключается в том, что токи в ветвях определяются как алгебраическая сумма их составляющих от каждого источника. То есть каждый источник тока вносит свою часть в каждый ток в цепи, а чтобы найти эти токи, нужно найти и сложить все составляющие. Таким образом, мы сводим решение одной сложной цепи к нескольким простым (с одним источником).

Порядок расчета

1 – Составление частных схем, с одним источником ЭДС, остальные источники исключаются, от них остаются только их внутренние сопротивления.

2 – Определение частичных токов в частных схемах, обычно это несложно, так как цепь получается простой.

3 – Алгебраическое суммирование всех частичных токов, для нахождения токов в исходной цепи.

Пример решения методом наложения 

1. Для начала произвольно выберем направление токов, если в итоге какой либо ток получится со знаком минус, значит нужно изменить направление данного тока на противоположное.

 

2. Составим частную схему с первым источником ЭДС и рассчитаем частные токи в ней, убрав второй источник. Для удобства частичные токи будем обозначать штрихами. 

Свернем схему к одному контуру, с сопротивлением источника и эквивалентным сопротивлением цепи для нахождения тока источника I1.

 

Найдем ток по закону Ома для полной цепи 

 Найдем напряжение на R2345

 Тогда ток I3 равен

 А ток I4

 Определим напряжение на R25 

Найдем токи I2 и I5