Критерии профильный уровень.
вариант 1
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
6 | 3 | 1840 | 1 | 0,48 | 6 | 60 | 0,5 | 1500 | 1 | 6 | 4 | 9 | 4 |
15. а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 
Решение.
а) Запишем исходное уравнение в виде:
Значит, либо 
откуда 
либо 
откуда 
или 
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа 
Ответ: a) 
б)
16. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD, все ребра которой равны 4, точка K ― середина бокового ребра AP.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и параллельной прямым PB и BC.
б) Найдите площадь сечения.
Решение.
а) В плоскости ABP через точку K проведем прямую, параллельную прямой PB до пересечения ее с прямой AB в точке L, а в плоскости ABC через точку L проведем прямую, параллельную прямой BC до пересечения ее с прямой СD в точке M. По признаку параллельности прямой и плоскости плоскость KLM параллельна прямым PB и BC. Прямая LM параллельна прямой AD, следовательно, она параллельна плоскости APD, а, значит, плоскость KLM пересекает плоскость APD по прямой, параллельной LM. Обозначим через N точку пересечения этой прямой с ребром PD.
Таким образом, искомое сечение ― трапеция KLMN.
б) Отрезки KL и MN равны, как средние линии равных правильных треугольников ABP и DCP, а отрезок LM ― средняя линия квадрата ABCD, следовательно, построенное сечение ― равнобедренная трапеция, в которой LM = 4,
KL = KN = MN = 2. Проведем высоту KF этой трапеции. Тогда 
и из прямоугольного треугольника KLF находим 
Окончательно получаем 
Ответ: 
17. Решите неравенство 
Решение.
Неравенство имеет смысл при
Для таких 
получаем:
Значит, 
Ответ: 
18. Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.
а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.
б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 6 и 2.
Решение.
а) Пусть АВ — диаметр большей из трёх окружностей, О — её центр, O1 — центр окружности радиуса r у касающейся окружности с диаметром АВ в точке А, O2 — центр окружности радиуса R, касающейся окружности с диаметром АВ в точке С, окружности с центром O1 — в точке D, отрезка АВ — в точке Е. Точки О, O2 и С лежат на одной прямой, поэтому 
Аналогично 
и 
Следовательно, периметр треугольника OO1O2 равен
б) Пусть OA = 6, r = 2 . Тогда 
Из прямоугольных треугольников 
и 
находим, что
а так как 
то 
Из этого уравнения находим, что R = 3 (это значит, что диаметр искомой окружности равен радиусу наибольшей из трёх окружностей, то есть точка Е совпадает с О).
Ответ: 3.
19. 1 января 2015 года Александр Сергеевич взял в банке 1,1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая — 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Александр Сергеевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Александр Сергеевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 275 тыс. рублей?
Решение.
Заметим, что за 4 месяца Александр Сергеевич выплатит 1,1 млн рублей. Таким образом, он не покроет долг с процентами. Каждый месяц долг увеличивается не более, чем на 1 100 000 · 0,01 = 11 000 рублей. Значит, за пять месяцев Александр Сергеевич должен будет выплатить не более 1 100 000 + 5 · 11 000 = 1 155 000 рублей, что менее чем 5 · 275 000 = 1 375 000 рублей. Таким образом, Александр Сергеевич сможет выплатить кредит за 5 месяцев.
Ответ: 5.
20. Найдите все значения параметра 
при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Решение.
Преобразуем систему:
Неравенство 
задаёт на плоскости полосу, граница которой — пара параллельных прямых: 
и 
Если 
то система не имеет решений, поскольку правая часть уравнения становится отрицательной. Если 
то уравнение принимает вид: 
и задаёт единственную точку 
координаты которой удовлетворяют неравенству: 
Следовательно, при 
система имеет единственное решение.
Рассмотрим случай 
Тогда уравнение 
определяет окружность радиусом 
Центр 
окружности лежит на прямой y=2x, которая перпендикулярна граничным прямым полосы и пересекает их в точках 
и 
Система имеет единственное решение, если только окружность внешним образом касается полосы в точке 
или в точке 
Если точка касания — 
то 
что невозможно. Окружность касается полосы в точке B, только если 
и 
Получаем:
Условию удовлетворяет только корень 
Ответ: −2; 3.
21. На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −8.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Решение.
Пусть среди написанных чисел 
положительных, 
отрицательных и 
нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому 
Вопрос а) Заметим, что в левой части приведенного выше равенства каждое слагаемое делится на 4, поэтому 
— количество целых чисел — делится на 4. По условию 
поэтому 
Таким образом, написано 44 числа.
Вопрос б) Приведем равенство 
к виду 
Так как 
получаем, что 
откуда 
Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.
Вопрос в) Подставим 
в правую часть равенства 
откуда 
Так как 
получаем: 
то есть положительных чисел не более 17.
Приведем пример, когда положительных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз написано число 4, 25 раз написано число −8 и два раза написан 0. Тогда 
указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ: а) 44; б) отрицательных; в) 17.
вариант 2.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
90 | 3 | 2,5 | 2,5 | 0,1 | 4 | 45 | 7 | 4 | 0,6 | 4000 | 243 | 100 | -3 |
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение.
а) В силу нечетности и периодичности синуса имеем:
Далее имеем:
б) При помощи числовой прямой или тригонометрической окружности (см. рис.) для каждой из задающих решения серий отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку 
Находим три решения: 
Ответ6 а) 
б) 
16. В основании прямой призмы 
лежит квадрат 
со стороной 
а высота призмы равна 
Точка 
лежит на диагонали 
причём 
а) Постройте сечение призмы плоскостью 
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью 
Решение.
а) Прямые 
и 
лежат в одной плоскости 
и пересекаются в точке 
Аналогично, 
и 
лежат в одной плоскости 
и пересекаются в точке 
Трапеция 
— искомое сечение.
б) 
а Поэтому 
Из подобия треугольников 
и 
находим, что 
откуда 
Следовательно, 
Аналогично, 
Опустим перпендикуляр 
на прямую 
По теореме о трёх перпендикулярах 
и, значит, 
— искомый угол.
Из треугольника 
находим, что 
Тогда 
Ответ: б) 
17. Решите неравенство 
Решение.
Значения , при которых определены обе части неравенства:
Для таких получаем:
Тогда исходное неравенство примет вид:
Учитывая, что неравенство определено на множестве 
имеем:
Ответ: 
18. Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая, проходящая через точку P, второй раз пересекает первую окружность в точке A, а вторую — в точке D. Прямая, проходящая через точку Q параллельно AD, второй раз пересекает первую окружность в точке B, а вторую — в точке C.
а) Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.
б) Найдите отношение CP:PB, если радиус первой окружности втрое больше радиуса второй.
Решение.
а) 
Обозначим 
. Поскольку 
и 
— вписанные четырёхугольники:
Значит, 
, и поэтому 
. Противоположные стороны четырёхугольника попарно параллельны, следовательно, это параллелограмм.
б) Пусть 
— радиус второй (меньшей) окружности. Тогда радиус большей окружности равен 
По теореме синусов:
Следовательно,
.
Ответ: 
19. 31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4 290 000 рублей в кредит под 14,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?
Решение.
Пусть сумма кредита равна S, а годовые составляют а%. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b = 1 + 0,01а. После первой выплаты сумма долга составит S1 = Sb − X. После второй выплаты сумма долга составит
По условию двумя выплатами Дмитрий должен погасить кредит полностью, поэтому 
откуда 
При S = 4 290 000 и а = 14,5, получаем: b = 1,145 и
(рублей).
Ответ: 2 622 050.
20. Найдите все положительные значения при каждом из которых система 
имеет единственное решение.
Решение.
Если 
то уравнение 
задает окружность 
с центром в точке 
радиуса а если 
то оно задаёт окружность 
с центром в точке 
того же радиуса (см. рис.).
