11 класс

11 класс

1.  Доказать, что число рационально.

2.  Найти наибольшее и наименьшее значения функции

3.  Две окружности разных радиусов касаются внешним образом. К ни проведены две общие внешние касательные . Их точки касания с меньшей окружностью –, с большей окружностью –. Известно, что

Найдите радиусы окружностей.

4.  Солдат построили не по росту, но с четки разделением на ряды и колонки. В каждом ряду выбрали самого высокого, а из всех высоких - самого низкого. В каждой колонке выбрали саого низкого, а из всех низких - самого высокого. Кто же выше ростом: саый низкий из высоких или свмый высокий из низких.

5.  Последнюю цифру шестизначного числа переставили в начало (например, ), и полученное шестизначное число вычли из исходного числа. Какие числа из проежутка могли получиться в результате вычитания?

11 класс

1.  Доказать, что число рационально.

2.  Найти наибольшее и наименьшее значения функции

3.  Две окружности разных радиусов касаются внешним образом. К ни проведены две общие внешние касательные . Их точки касания с меньшей окружностью –, с большей окружностью –. Известно, что

Найдите радиусы окружностей.

4.  Солдат построили не по росту, но с четки разделением на ряды и колонки. В каждом ряду выбрали самого высокого, а из всех высоких - самого низкого. В каждой колонке выбрали саого низкого, а из всех низких - самого высокого. Кто же выше ростом: саый низкий из высоких или свмый высокий из низких.

5.  Последнюю цифру шестизначного числа переставили в начало (например, ), и полученное шестизначное число вычли из исходного числа. Какие числа из проежутка могли получиться в результате вычитания?

Рекомендованный критерий оценки.

Все задачи 0-7 баллов.

Задача считается не решенной 0-3 баллов. Задача считается решенной 4-7 баллов.

Учащийся, решивший менее 3-х задач, не может быть победителем.

1.  Обозначим , тогда .

Уравнение имеет решение .

0б или 7б

2.  После преобразований получим . Функция на отрезке убывает, поэтому наибольшее значение при наименьшее значение при . Ответ: 12 и 0.

Может быть исследовано через производную.

Баллы	Критерий
7б	Верное решение с пояснением.
3б	Есть понятие о убывании, но нет наиб и наимю значений

3.  Введем обозначения: центр большей окружности, центр меньшей окружности, радиус меньшей окружности, радиус большей окружности, , . Рассмотрим прямоугольную трапецию . . Из точки опустим перпендикуляр на отрезок . Из прямоугольного треугольника . По теореме Пифагора получаем, что . Из треугольника получаем, что , или, используя введеные обозначения: . Решая полученные уравнения, находим, что

Баллы	Критерий
7б	Верное решение.
3б	Допущена арифметическая ошибка, с её учетом доведено решение до конца.

4.  Если самый низкий из высоких и самый высокий из низких окажутся в одном ряду, то первый солдат выше второго, так как в ряду, выбирали самого высокого и им оказался первый солдат. Если же самый низкий из высоких и самый высокий из низких окажутся в одной колонке, то первый солдат выше второго, так как в колонках выбирали самого низкого и им оказался второй солдат.

Пусть теперь они стоят в разных рядах и в разных колонках. Сравним их рост с ростом третьего солдата, стоящего на пересечении ряда, в котором стоит первый солдат, и колонки, в которой стоит второй солдат. Первый солдат выше третьего, а второй - ниже третьего, поэтому и в этом случае низкий из самых высоких выше ростом самого высокого из низких.

Баллы	Критерий
7б	Верное решение с пояснением.
3б	Рассмотрен два или один из случаев.

5.  Пусть шестизначное число. Обозначим пятизначное число .

. Таким образом, полученная разность делится на 9. Из промежутка на 9 делятся числа 429462, 429471, 429480. Докажем, что эти числа могут быть получены в результате вычитания. Для этого надо доказать, что каждое из уравнений

имеет целоцисленные решения. Для этого достаточно в каждом уравнении поставить и убедиться, что получающееся значение х является пятизначным числом.

х=58830 для второго уравнения

х=58831 для третьего уравнения.

Баллы	Критерий
7б	Верное решение с пояснением.
3б	Доказана делимость, но числа не проверены!