Государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Центр дополнительного образования для детей» 350000 г. Краснодар, ул. E-mail:*****@***ru |
КРАЕВЫЕ ЗАОЧНЫЕ КУРСЫ «ЮНИОР» Математика 8 класс ответы, решения и критерии оценки заданий к работе № 3, 2015-2016 учебный год |
Дорогие ребята!
При оформлении работы обязательно пишите краткое условие задачи. Номера задач должны совпадать с теми, которые указаны в задании. Пишите четко, разборчиво, с подробным решением и ответом.
Критерии оценки заданий:
0 - баллов – задание выполнено, но неверно;
1 - балл –правильный ответ, отсутствует решение;
2-3 - балла - выполнено 50% задания и зависит от его сложности;
4 - балла – задание выполнено, но имеются недочеты
5 - баллов– баллов задание выполнено правильно
Максимальное количество - 30 баллов.
Задача 1: Алфавит сказочных гномов состоит из трех букв. Каждое слово их языка содержит любое число букв, но не более четырех. Сколько в языке гномов существует фраз, содержащих ровно пять (непустых) слов?
Решение:
Число слов: 5! = 1 х 2 х 3 х 4 х 5 =120.
Число фраз: 1205 = 24 883 200 000
Ответ: 120, 1205.
Задача 2: Решите уравнение: (х2 + 2х – 5) 2+ 2 (х2 + 2х – 5) – 5 = х .
Решение:
Если f(x) = х2 + 2х – 5, то уравнение запишем в виде f(f(x)) = х. Всякое решение уравнения f(x) = х является решением данного уравнения, так как если
f(а) = а, то f( f(а)) = f(а) = а.
Решаем уравнение х2 + 2х – 5 = х, а затем раскладываем на множители, выделяя множителем х2 + 2х – 5.
Получаем корни: х1,2 = 
; х3,4 = 
.
Задача 3: Мама каждый день выдает Саше на десерт по одному фрукту. У нее есть три одинаковых яблока, пять одинаковых груш, два одинаковых персика и один апельсин. Сколькими способами она может выдать эти фрукты за 11 дней?
Решение:
= 
= 27720.
Ответ: 27720.
Задача 4: Плитку размером 60х85 обвели карандашом на бумаге. Найдите центр полученного прямоугольника, имея лишь эту плитку и карандаш.
Решение:
Смотри рисунок 1.
Задача 5: В квадрате, состоящем из 16 клеток, расставьте 16 букв ( 4 буквы o, 4 буквы b, 4 буквы c, 4 буквы d) так, чтобы в каждом горизонтальном и каждом вертикальном ряду любая буква встречалась только один раз.
Решение:
Предположим, что мы расставим буквы так, как это требуется в задаче. Поменяем местами какие-либо два столбца или две строки. При этом получится новое расположение букв, также удовлетворяющее условию задачи. Очевидно, столбцы и строки можно переставить так, что в верхней строке и крайнем левом столбце буквы разместятся в таком порядке, как показано на рисунке 2.
Подобные расположения букв будем называть основными. Найдем теперь все основные расстановки букв. Легко видеть, что во второй строке буквы о, с, d можно разместить только тремя способами: (c, d, o); (d, o, c); (o, d, c). Первым двум соответствуют единственные расположения букв в третьей и четвертой строках, третьему соответствуют два расположения. Итак, имеется всего 4 основных размещения букв (рис. 3).
Из каждого основного перестановкой столбцов можно получить 24 новых размещения. А при каждом расположении столбцов перестановкой второй, третьей и четвертой строк – еще 6 новых. Все эти расположения различны. Итак, существует 4 х 24 х 6 = 576 различных расстановок букв, удовлетворяющих условию задачи.
Ответ: 576.
Задача 6: Разрежьте квадрат на 8 таких частей, чтобы, сложив их соответственным образом, получить два квадрата, площадь одного из которых была бы вдвое больше площади другого.
Решение:
Пусть АВСD – данный квадрат. Отложим на стороне CD отрезок DE, равный половине диагонали этого квадрата. Соединим точки А и Е и на полученную прямую АЕ опустим перпендикуляры DF и GB. Затем параллельно сторонам квадрата проводятся линии GH и GM и берется отрезок НК = GН. Таким образом получаются 8 частей, из которых и составляются требуемые квадраты (см. рис. 4).
Рис. 4
