ТЕМА 12. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Термин «Электромагнитные колебания» объединяет явления двух видов. Прежде всего, электромагнитными колебаниями (ЭМК) принято называть изменения по закону синуса или косинуса силы тока, напряжения и электрического заряда на различных элементах в цепях с переменным синусоидальным током. Такой ток создает в окружающей среде переменное магнитное поле, которое, как уже отмечалось, порождает вихревое электрическое поле. В свою очередь, вихревое электрическое поле создает переменное магнитное поле, и т. д. Переменные поля, взаимно порождающие друг друга, также называются электромагнитными колебаниями. Опыт показывает, что они не локализованы в том месте, где находится электрическая цепь, но распространяются в виде электромагнитной волны со скоростью 
м/с (в вакууме) даже после выключения тока в цепи. Следуя такой классификации, вначале мы познакомимся с электромагнитными колебаниями в цепи, а затем перейдем к электромагнитным волнам. По аналогии с механическими колебаниями прежде будут рассмотрены свободные ЭМК, а затем затухающие и вынужденные колебания.
12.1. Свободные электромагнитные колебания
Простейшая цепь, в которой возникают свободные электромагнитные колебания, называется колебательным контуром. Он состоит из конденсатора и катушки индуктивности, соединенных параллельно. Если конденсатор предварительно зарядить и замкнуть цепь, то вследствие самоиндукции ток будет постепенно увеличиваться до тех пор, пока конденсатор не разрядится. После этого ток станет постепенно уменьшаться при неизменном направлении, в результате чего конденсатор вновь зарядится, но с противоположной полярностью. Далее процесс повторится с той лишь разницей, что направление тока будет противоположным. В результате этого конденсатор вновь зарядится с первоначальной полярностью, т. е. одно полное колебание завершится.
Для составления дифференциального уравнения электромагнитных колебаний напишем обобщенный закон Ома для цепи 
(рис. 12.1):
. Если учесть, что
(колебания незатухающие), получим:
.
Если ввести обозначение 
, придем к уравнению, аналогичному дифференциальному уравнению свободных механических колебаний:
Рис. 12.1
.
Его решением является функция 
, где 
– максимальный заряд, 
– начальная фаза. Поскольку напряжение на конденсаторе 
,
, где 
(максимальное напряжение). Так как 
, имеем:
,
где 
– максимальная сила тока. Отсюда следует, что ток в колебательном контуре опережает напряжение на конденсаторе на четверть периода.
Преобразуем равенство :
.
Поскольку 
, то 
. Легко видеть, что последнее равенство напоминает закон Ома для однородного участка цепи. Поэтому величина 
, которая имеет размерность 1 Ом, называется волновым сопротивлением контура (забегая вперед, можно сказать, что волновое сопротивление принципиально отличается от активного тем, что на волновом сопротивлении не выделяется тепло).
В колебательном контуре происходят периодические изменения энергии электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки индуктивности с частотой, равной удвоенной частоте колебаний:
, 
.
Можно показать, что изменения энергии магнитного поля катушки опережают по фазе на половину периода изменения энергии конденсатора. Это означает, что если энергия магнитного поля максимальна, энергия электрического поля равна нулю, и наоборот. Легко видеть также, что суммарная энергия электрического и магнитного поля в любой момент времени одинакова. Это вполне понятно, поскольку речь идет об электромагнитных колебаниях в контуре с нулевым электрическим сопротивлением, т. е. о незатухающих колебаниях.
12.2 Затухающие электромагнитные колебания
Учтем, что проводники колебательного контура обладают электрическим сопротивлением, на которых выделяется теплота Джоуля-Ленца. Для этого введем в схему контура на рис. 12.1 резистор сопротивлением 
и запишем обобщенный закон Ома:
.
В результате преобразований, аналогичных уже проведенным выше для свободных колебаний, придем к уравнению:
.
Используя обозначения 
, получим линейное однородное уравнение второго порядка:
.
Легко видеть, что это уравнение аналогично уравнению затухающих механических колебаний. Если электрическое сопротивление колебательного контура невелико, т. е. 
, его решением является функция
. (12.1)
Здесь 
– максимальный заряд конденсатора, 
– частота затухающих колебаний (понятно, что 
). Поскольку 
, найдем напряжение на конденсаторе:
.
Производная функции (12.1) по времени дает зависимость от времени силы тока в контуре:
.
Умножив правую часть на дробь
,
получим:
.
Поскольку
,
будем полагать, что
.
С учетом этого имеем:
.
Поскольку 
значение параметра 
находится во второй четверти: 
. Графики зависимости от времени величины заряда, напряжения и силы тока аналогичны соответствующим графикам в случае затухающих механических колебаний.
Затухание электромагнитных колебаний характеризуется временем релаксации, логарифмическим декрементом и добротностью. Временем релаксации называется временной промежуток, в течение которого амплитуда заряда конденсатора уменьшается в 
раз:
.
Логарифмический декремент затухания – это натуральный логарифм отношения заряда конденсатора в момент времени 
и спустя период:
.
Можно показать, что 
. Поскольку 
, 
.
Если затухание невелико (), то
, 
.
Следовательно, значение логарифмического декремента затухания определяется отношением активного и волнового сопротивления контура. Если 
, то и 
; это значит, что волновое сопротивление не вызывает затухания. Добротность колебательного контура:
(здесь 
– энергия электромагнитных колебаний в определенный момент времени, 
– уменьшение энергии за один период). Ранее было показано, что в случае механических колебаний 
. Поскольку 
, для слабого затухания (
) 
. В случае сильного затухания, когда 
, вместо электромагнитных колебаний происходит т. н. апериодический разряд конденсатора. Сопротивление колебательного контура, при котором такой процесс имеет место, называется критическим; оно находится из условия 
:
.
График зависимости 
в случае апериодического разряда приведен на рис. 12.2.
Рис. 12.2
12.3. Вынужденные электромагнитные колебания
Для получения вынужденных электромагнитных колебаний в контур, схема которого приведена на рис. 12.1, необходимо включить источник тока, э. д.с. которого изменяется по гармоническому закону. В этом случае обобщенный закон Ома имеет вид:
.
Учитывая, что
имеем:
.
Обозначив 
, получим:
Ранее, рассматривая вынужденные механические колебания, мы пришли к выводу, что в начальный короткий промежуток времени (т. н. переходный период) вынужденные колебания происходят с частотой собственных затухающих колебаний. Далее колебания происходят с частотой внешней вынуждающей силы (такие колебания называются установившимися). Аналогично, если э. д.с. в контуре изменяется по гармоническому закону 
, то установившиеся электромагнитные колебания происходят с частотой 
. В частности, заряд на обкладках конденсатора изменяется по закону
, (12.2)
где 
– смещение по фазе изменений заряда и э. д.с. Численные значения величин и находятся по формулам, аналогичным соответствующим формулам для вынужденных механических колебаний:
. (12.2А)
Учитывая, что , в результате тождественных преобразований имеем:
. (12.3)
Из 12.2А) видно, что если 
, то 
, т. е. заряд на обкладках конденсатора имеет максимальное значение. Если же 
, то 
. В случае, когда 
,
, 
.
Зависимость 
имеет резонансный характер, значение резонансной частоты определяется условием минимума подкоренного выражения в равенстве (12.2А): 
. График зависимости 
аналогичен соответствующему графику для механических колебаний.
Продифференцировав по времени равенство (12.2), найдем силу тока в контуре:
.
С учетом формулы (12.3) имеем:
. (12.4)
Зависимость 
имеет резонансный характер; ее график аналогичен графику зависимости от частоты амплитуды механических колебаний.
Далее найдем напряжение на элементах колебательного контура:
, 
.
Напряжение на клеммах катушки индуктивности следует из закона Ома:
.
Если полагать 
, то 
. Поэтому
.
Следовательно, напряжение на активном сопротивлении изменяется в фазе с током, напряжение на индуктивности опережает по фазе ток на 
, напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока на .
В результате элементарных преобразований имеем:
.
Поскольку это равенство формально соответствует закону Ома, а размерность произведения 1/
равна 1Ω, физическую величину 
принято называть емкостным сопротивлением:
. (12.5)
Аналогично, амплитудное напряжение на катушке: 
.
Поскольку размерность произведения 
также 1 Ω, его принято называть индуктивным сопротивлением:
. (12.6)
Используя обозначения (12.5) и (12.6), имеем:
Опыт показывает, что на индуктивном и емкостном сопротивлении не выделяется теплота. Поэтому величины 
и 
называются реактивными сопротивлениями, 
– полным сопротивлением цепи переменного тока. При электрическом резонансе, когда и 
, полное сопротивление становится минимальным, а сила тока имеем максимальное значение. Если же в колебательном контуре действует несколько э. д.с. с различными частотами, т. е. 
, ток в цепи будет состоять из синусоидальных токов с такими же частотами: 
.
Вследствие электрического резонанса колебательный контур сильнее всего реагирует на составляющую э. д.с, частота которой наиболее близка к частоте собственных колебаний. Поэтому ток в контуре будет определяться именно этой составляющей. На этом явлении основано действие всех радиоприемных устройств, неотъемлимой частью которых является колебательный контур с конденсатором переменной емкости. Вращая ручку настройки, мы тем самым подстраиваем частоту собственных колебаний контура к частоте электромагнитной волны, попадающей на приемную антенну.
Работа переменного тока на участке цепи за элементарный промежуток времени 
: 
Поскольку 
, 
. Работа за промежуток времени 
выражается определенным интегралом:
.
На практике для характеристики работы переменного тока используется т. н. действующее значение силы тока – сила такого постоянного тока, который один и тот же промежуток времени выделяет такое же количество теплоты, что и переменный ток. Для промежутка времени, равного периоду тока, имеем:
.
Можно показать, что если сила тока изменяется по гармоническому закону, то 
. Аналогично, действующее значение напряжения на участке цепи: 
. Среднее за период значение мгновенной мощности переменного тока называется активной мощностью:
.
Здесь – разность фаз изменений напряжения и тока, величина 
называется коэффициентом мощности электрической цепи.
