Резюме

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ УСРЕДНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ГРАДИЕНТНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ С БЫСТРООСЦИЛЛИРУЮЩИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Волков-

ФГБУН Институт прикладной механики РАН, Россия

РЕЗЮМЕ

В работе развивается метод асимптотического усреднения [1] для градиентных уравнений теории упругости [2] четвертого порядка с быстроосциллирующими коэффициентами, описывающими композитные материалы с масштабными эффектами. Для этих уравнений предложена формальная процедура асимптотического усреднения, позволяющая построить асимптотическое приближение к решению градиентного уравнения в периодической среде, формально, с любой степенью точности. Структура решения предполагает разделение быстрых и медленных переменных, соответствующих процессам, происходящим на микро и макроуровне с помощью соответствующих функций, для которых формулируется задача на ячейке (функции быстрых переменных) и усредненное уравнение (функции медленных переменных) с эффективными характеристиками. При определенных условиях усредненное уравнение трактуется как классическое уравнение теории упругости с характеристиками, соответствующими гомогенной среде, а процедура асимптотического усреднения определяет корректный алгоритм их вычисления. В работе показано, что для исходной и гомогенной среды выполняется принцип эквивалентной гомогенности по перемещениям, напряжениям и энергии, т. е. решение в исходной и эквивалентной гомогенной среде совпадает в смысле близости усредненных перемещений, напряжений и плотности энергии при деформировании.

Для задачи на ячейке, представляющей собой градиентное уравнение четвертого порядка с нетривиальными контактными условиями на межфазной границе, в работе развивается специальный блочный аналитический метод аппроксимации решения на фундаментальных системах функций уравнения Гельмгольца. Для включений цилиндрической и сферической формы эти системы функций строятся с помощью обобщенного представления Папковича-Нейбера [3] и аналитически точно удовлетворяют всем контактным условиям на межфазной границе, что имеет большое значение при точном расчете эффективных характеристик и оценке внутренних напряжений в композитном материале.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бахвалов дифференциальных уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами // Доклады АН СССР. 1975. Т. 221, № 3. С. 516-519.

2. Волков-, Лурье задачи Эшелби в градиентной теории упругости для многослойных сферических включений // МТТ. 2016. № 2. С. 32-50.

3. Волков-Богородский радиальных множителей в задачах механики неоднородных сред с многослойными включениями // Механика композиционных материалов и конструкций. 2016. Т.22, № 1. С. 19-39.