Элементы электрических измерительных цепей

Элементы электрических измерительных цепей

Основными составляющими электрических изме­рительных приборов для цепей переменного тока яв­ляются резисторы, измерительные конденсаторы, из­мерительные катушки индуктивности и взаимной

индуктивности.

Измерительный резистор. В идеальном резисто­ре вектор тока совпадает по направлению с вектором напряжения. В реальном резисторе всегда присутству­ют межвитковая емкость и индуктивность, так как про­волочный резистор является катушкой, а изоляция витков — обкладками конденсатора. Современные ре­зисторы, основанные на применении керамических ма­териалов, обеспечивают величину сопротивления за счет присутствия проводящих примесей. Они более миниатюрны и лишены таких явлений, как паразитная емкость и индуктивность

Рис. 1. Схема замещения унифилярного резистора

Рассмотрим эквивалентную схему замещения рези­стора с унифилярной обмоткой для цепи переменного тока (рис. 1).

Она включает в себя L — индуктивность обмотки, С — емкость, включенную между концами резистора, r= — сопротивление резистора для цепи постоянного тока.

Полное сопротивление резистора имеет вид:

(1)

Для частот до 200 кГц можно приравнять 2LC = 0, тогда

(2)

где τ — постоянная времени, с;

ω— частота сети, Гц;

(3)

Для частот выше 200 кГц полное сопротивление соста­вит:

(4)

Активное сопротивление

(5)

Если за полное сопротивление резистора на переменном токе принимается R=, определенное на посто­янном токе, то вносится поправка:

(6)

При изготовлении резисторов для исключения вли­яния реактивного сопротивления производят намотку петлевым или унифилярным способом.

Петлевой резистор L, Гн (рис. 2):

(7)

Рис.2. Петлевой резистор

Резистор с унифилярной обмоткой (риc.3):

(8)

Рис. 3. Унифилярный резистор

Все размеры выражаются в метрах, а коэффициент Ка определяется в соответствии с кривой, представленной на рис. 4.

Рис. 4. График зависимости Ка =f(l/R)

Измерительные конденсаторы предназначены для работы при низких напряжениях, имеют плоскую форму, а для работы при высоких напряжениях — цилиндрическую (коаксиально расположенные проводящие цилиндры).

Емкость С [Ф] для плоского конденсатора:

, (9)

где S — площадь обкладки, м2;

d — расстояние между обкладками, мм;

εr — относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика. Емкость цилиндрического конденсатора:

, (10)

где l — длина цилиндра, м;

D1 — внешний диаметр внутреннего цилиндра, м;

D2 — внутренний диаметр внешнего цилиндра, м.

Катушки индуктивности и взаимной индуктивности

Индуктивность катушки с каркасом прямоугольного сечения (рис. 5, а):

, (11)

Индуктивность катушки с каркасом круглого сечения (рис. 5, б):

, (12)

Взаимная индуктивность тороидальной катушки прямоугольного сечения:

, (13)

Взаимная индуктивность тороидальной катушки круглого сечения:

, (14)

где w1, w2 – числа витков катушек;

Dср – средний диаметр катушек;

a, r – аксиальный и радиальный размеры средних витков катушек;

d – диаметр среднего витка внутренней катушки.

Рис.5. Катушки индуктивности и взаимной индуктивности

Расчет производится с помощью комплексного магнитного сопротивления

, (15)

или

, (16)

где i — ток в катушке, A;

Iμ — намагничивающая составляющая тока, А;

Iа — составляющая тока I, обусловленная потеря­ми в магнитопроводе, А;

w — число витков;

Ф — магнитный поток, Вб;

рт — удельное магнитное сопротивление материа­ла, А × м/Вб;

l, s — средняя длина (м) и сечение (м2) магнито - провода;

rмo — удельное активное сопротивление материала магнитопровода, А × м/Вб;

xмо — удельное реактивное сопротивление материала магнитопровода, А × м/Вб/

Полное сопротивление катушки индуктивности с магнитопроводом:

, (17)

где ZK — комплексное сопротивление обмотки, Ом;

= — сопротивление, вносимое магнитопроводом, Ом.

Активное сопротивление магнитопровода:

, (18)

Реактивное сопротивление магнитопровода:

, (19)

Комплексное магнитное сопротивление магнитопровода, имеющего воздушный зазор:

, (20)

где ZMC — комплексное магнитное сопротивление магнитопровода;

— магнитное сопротивление воздушного зазора, Ом;

δ — длина воздушного зазора, м;

S — средняя площадь сечения магнитного пото­ка в воздушном зазоре, равная площади сер­дечника, м;

μ0 — магнитная постоянная — 4π·10-7 Гн/м.

Полное сопротивление катушки индуктивности, имеющей воздушный зазор, при условии rмв > ZMC:

, (21)

Взаимная индуктивность между обмотками катушки с магнитопроводом:

, (22)

Добротность катушки:

, (23)

Пример решения задач

Задача

При синусоидальном токе I1 = 50 мА в первичной обмотке катушки взаимной индуктивности с магнитопроводом напряжение на разомкнутых зажимах вторичной обмотки равно Е = 3 В и отстает от I1 на угол 120°. Определите комплексное магнитное сопротивление, удельное комплексное магнитное сопротивление материала магнитопровода, если f = 50 Гц, w1 = w2, площадь поперечного сечения S = 4 см2, средняя длина силовой линии lср = 20 см.

Решение

Считаем, что ток I, совпадает с осью вещественных величин. Определим значения для комплекса ЭДС и Ф — магнитного потока:

(24)

(25)

Комплексное магнитное сопротивление магнитопровода:

.

Удельное комплексное магнитное сопротивление материала магнитопровода:

ЗАДАНИЕ

Задача 1. Определите сопротивление и постоянную времени τ резистора, имеющего форму петли, и резистора с унифилярной обмоткой, состоящей из и - витков, при заданных размерах соответственно a, d и R, I. Обмотка выполнена из манганинового провода, сопротивление одного метра которого равно r’ (табл. 1). Длина резистора — lу.

Задача 2. Для резистора унифилярной намотки, имеющего сопротивление r = R/l, постоянную времени τ и данные табл. 1, 2, определите величины R и l, диаметр провода d, число витков w. Резистор выполнен из манганинового провода. Номинальная мощность — Р при допустимой плотности тока δ. Сопротивление одного метра провода r' = 28,4 Ом/м.

Измерительные механизмы приборов прямого действия

Измерительным механизмом называют те элементы прибора, взаимодействие которых вызывает взаимное перемещение подвижных частей.

При прохождении электрического тока происходит перемещение подвижной части рабочего механизма прибора вследствие его намагничивания. При этом возникает вращающий момент Мвр, скручивающий пружины, растяжки или подвес, и противодействующий момент Мпр, направленный встречно.

Момент вращения для прибора в этом случае выразится как:

(1)

где В — магнитная индукция, Тл;

S —площадь поперечного сечения катушки, для магнитоэлектрического прибора — активная площадь обмотки рамки, м2;

I — ток, протекающий по проводнику, А;

w — количество витков в катушке.

Противодействующий момент уравновешивает мо­мент вращения, однако направлен встречно ему и запи­сывается с противоположным знаком:

(2)

где — удельный противодействующий момент характеризует жесткость пружины, (Нхм)/рад;

α — угол поворота стрелки, град, рад, см.

Равновесное положение характеризует установив­шийся режим работы средства измерения.

При проведении измерения подвижная часть откло­няется до тех пор, пока не выполнится условие:

.

Каждый прибор обладает определенным минимумом реакции на измеряемую величину. Эта реакция на­зывается чувствительностью. Различают чувствительность по току:

(3)

где α — угол перемещения указателя, град, рад, см;

I — ток, протекающий по проводнику А;

и по напряжению:

, (4)

где r — сопротивление катушки механизма, Ом.

Величина, обратная чувствительности, характеризует постоянную механизма:

, (5)

Для более простого использования механизмы измерительных приборов снабжаются успокоителями. Они создают момент успокоения, пропорциональный угловой скорости подвижной части:

(6)

где Р —коэффициент успокоения, (Н×м×с)/рад.

Для приборов с магнитоэлектрическим механизмом роль успокоителя выполняет рамка, в которой создается ток от передвижения его в равномерном магнитном поле. Для приборов магнитоэлектрической системы с каркасной рамкой коэффициент успокоения определя­ется как:

Таблица 1

	13
w	40
а, мм	0,4
d, мм	12
R, мм	5
l, мм	240
r', Ом/м	2,48
lу, мм	24

Таблица 1

Параметры магнитоэлектрического механизма

	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
W, вит	85	87	91	93	97	98	30	31	80	88
В, Тл	0,071	0,078	0,076	0,075	0,081	0,083	0,091	0,085	0,08	0,089
I, А	1,8·10-6	1,5·10-6	1,8·10-6	2,6·10-6	3,1·10-6	4,1·10-6	4,5·10-6	4,7·10-6	4,9·10-6	5,1·10-6
α, град	10°	15°	16°	17°	18°	19°	20°	19°	18°	17°
S, см2	1,34	2,32	2,98	2,78	1,13	1,18	1,28	1,33	3,00	3,01

Таблица 2

Параметры магнитоэлектрического механизма

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
с, мм	4	3	2	3,3	2,5	2,9	3,05	3,4	1	2
δ, мм	0,2	0,4	0,2	0,3	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,4
l, мм	76	56	38	95	35	37	43	49	51	58
В, Тл	0,145	0,159	0,213	0,200	0,123	0,321	0,456	0,654	0,789	0,987
w, вит	13,5	14	25	12	11	13	14	15	16	17
J, кгм2	0,87·10-7	0,45·10-7	0,56·10-7	0,46·10-7	0,31·10-7	0,35·10-7	0,45·10-7	0,37·10-7	0,54·10-7	0,7·10-7
W, (Н·м)/рад	65·10-7	65·10-7	75·10-7	43·10-7	13·10-7	15·10-7	21·10-7	27·10-7	35·10-7	37·10-7
υ	0,02	0,02	0,02	0,02	0,02	0,02	0,02	0,02	0,02	0,02
р, (Ом мм3'/м	0,03	0,03	0,03	0,03	0,03	0,03	0,03	0,03	0,03	0,03
S, см2	1,89	2,11	1,76	1,98	1,00	1,13	1,14	1,16	1,18	1,2
rсх = r0 + rвн, Ом	5	4	3	6	3	2	1	5	6	7

Таблица 2

Параметры магнитоэлектрического механизма

	11	12	13	14	15
с, мм	3	4	5	6	7
δ, мм	0,3	0,2	0,1	0,2	0,3
l, мм	62	67	73	78	84
В, Тл	0,159	0,951	0,357	0,753	0,248
w, вит	18	10	21	22	23
J, кгм2	0,77·10-7	0,72·10-7	0,71·10-7	0,61·10-7	0,63·10-7
W, (Н·м)/рад	41·10-7	42·10-7	51·10-7	63·10-7	71·10-7
υ	0,02	0,02	0,02	0,02	0,02
р, (Ом мм3'/м	0,03	0,03	0,03	0,03	0,03
S, см2	1,7	1,8	2,3	2,4	2,5
rсх = r0 + rвн, Ом	6	5	4	6	3

Таблица 2

Параметры магнитоэлектрического механизма

	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
с, мм	8	9	8	7	6	5	4	3	2	4
δ, мм	0,4	0,5	0,4	0,3	0,2	0,1	0,2	0,3	0,4	0,1
l, мм	89	91	98	65	60	75	73	71	79	67
В, Тл	0,268	0,684	0,754	0,864	0,351	0,954	0,84	0,85	0,64	0,159
w, вит	26	24	15	10	9	8	14	13	27	26
J, кгм2	·10-7	·10-7	·10-7	·10-7	·10-7	·10-7	·10-7	·10-7	·10-7	0,48·10-7
W, (Н·м)/рад	77·10-7	70·10-7	67·10-7	51·10-7	57·10-7	53·10-7	47·10-7	46·10-7	49·10-7	78·10-7
υ	0,02	0,02	0,02	0,02	0,02	0,02	0,02	0,02	0,02	0,02
р, (Ом мм3'/м	0,03	0,03	0,03	0,03	0,03	0,03	0,03	0,03	0,03	0,03
S, см2	1,35	1,3	1,51	1,6	1,34	1,68	1,23	1,44	1,45	1,53
rсх = r0 + rвн, Ом	4	3	5	6	7	2	1	3	4	7