Прогнозирование развития с помощью моделей кривых роста (стр. 1 )

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Прогнозирование развития с помощью моделей кривых роста

Методическме указания для студентов

3 курса бакалавриата направления

”Бизнес-информатика” (профиль ”Бизнес-аналитика”)

Ростов-на-Дону

2013

УДК 004.45/338

ББК 32.973.26-018.2/65.23

М 57

Бизнес-прогнозирование с помощью моделей временных рядов.

– Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2013. – 25 с.

ISBN 978-5-699-22086-1

Предмет дисциплины “Методы и модели бизнес-прогнозирования” – самые разные вопросы профессиональной деятельности менеджеров, топ-менеджеров, управленческого персонала крупных, средних и малых предприятий, которые должны предвидеть ход развития бизнес-процесса, циклические колебания экономической конъюнктуры, уметь вырабатывать эффективную стратегию. Без этого принятые решения могут оказываться ошибочными, вложенные инвестиции не окупятся, последствия реализации бизнес-проектов будут противоположны ожидаемым.

Методические указания предназначены для студентов бакалавриата направления ”Бизнес-информатика” (профиль ”Бизнес-аналитика”) при изучении дисциплины ”Методы и модели бизнес-прогнозирования”. Эти методические указания может быть полезны для студентов и других направлений бакалавриата, а также для магистрантов и аспирантов, решающих задачи социально-экономического прогнозирования.

Рецензенты: д-р экон. наук,

проф. ,

д-р экон. наук,

проф.

ISBN 978-5-699-22-086-1

Южный федеральный университет, 2013

Оглавление

1  Применение моделей кривых роста в бизнес-прогнозировании…………………..4

2  Методы выбора кривых роста……………………………...………………………18

3  Доверительные интервалы прогноза……………………………………………….21

Литература……………………………………………………………………………….25

1.1 Применение моделей кривых роста в бизнес-прогнозировании

Удобным средством описания одномерных временных рядов является их выравнивание с помощью тех или иных функций времени (кривых роста). Кривая роста позволяет получить выровненные или теоретические значения уровней динамического ряда. Это те уровни, которые наблюдались бы в случае полного совпадения динамики явления с кривой.

Процедура разработки прогноза с использованием кривых роста включает в себя следующие этапы:

1)  выбор одной или нескольких кривых, форма которых соответствует характеру изменения временного ряда;

2)  оценка параметров выбранных кривых;

3)  проверка адекватности выбранных кривых прогнозируемому процессу и окончательный выбор кривой роста;

4)  расчет точечного и интервального прогнозов.

В настоящее время в литературе описано несколько десятков кривых роста, многие из которых широко применяются для выравнивания экономических временных рядов.

Кривые роста условно могут быть разделены на три класса в зависимости от того, какой тип динамики развития они хорошо описывают.

К I типу относятся функции, используемые для описания процессов с монотонным характером развития и отсутствием пределов роста. Эти условия справедливы для многих экономических показателей, например, для большинства натуральных показателей промышленного производства.

Ко II классу относятся кривые, описывающие процесс, который имеет предел роста в исследуемом периоде. С такими процессами часто сталкиваются в демографии, при изучении потребностей в товарах и услугах (в расчете на душу населения), при исследовании эффективности использования ресурсов и т. д. Примерами показателей, для которых могут быть указаны пределы роста, являются среднедушевое потребление определенных продуктов питания, расход удобрений на единицу площади и т. п.

Функции, относящиеся ко II классу, называются кривыми насыщения. Если кривые насыщения имеют точки перегиба, то они относятся к III типу кривых роста - S-образным кривым.

Эти кривые описывают как бы два последовательных лавинообразных процесса (когда прирост зависит от уже достигнутого уровня): один с ускорением развития, другой - с замедлением.

S-образные кривые находят применение в демографических исследованиях, в страховых расчетах, при решении задач прогнозирования научно-технического прогресса, при определении спроса на новый вид продукции.

Вопрос о выборе кривой является основным при выравнивании ряда.

Существует несколько подходов к решению этой задачи, однако, все они предполагают знакомство с основными свойствами используемых кривых роста. Поэтому остановимся на характеристике отдельных типов кривых, наиболее часто применяемых на практике.

Среди кривых роста I типа, прежде всего следует выделить класс полиномов:

, (1)

где - параметры многочлена,

t- независимая переменная (время).

Коэффициенты полиномов невысоких степеней могут иметь конкретную интерпретацию в зависимости от содержания динамического ряда. Например, их можно трактовать как скорость роста (a1), ускорение роста (a2), изменение ускорения (a3), начальный уровень ряда при t=0 (a0). Обычно в экономических исследованиях применяются полиномы не выше третьего порядка. Использовать для определения тренда полиномы высоких степеней нецелесообразно, поскольку полученные таким образом аппроксимирующие функции будут отражать случайные отклонения (что противоречит смыслу тенденции).

Полином первой степени на графике изображается прямой и используется для описания процессов, развивающихся во времени равномерно.

Полином второй степени применим в тех случаях, когда процесс развивается равноускоренно (т. е. имеется равноускоренный рост или равноускоренное снижение уровней).

Как известно, если параметр, a2>0, то ветви параболы направлены вверх, если же a2>0, то вниз. Параметры a0 и a1 не влияют на форму параболы, а лишь определяют ее положение.

Полином третьей степени имеет вид

У этого полинома знак прироста ординат может изменяться один или два раза (рисунок 1).

Отличительная черта полиномов - отсутствие в явном виде зависимости приростов от значений ординат (yt).

Оценки параметров в модели (1) определяются методом наименьших квадратов. Как известно, суть его состоит в "отыскании" таких параметров, при которых сумма квадратов отклонений расчетных значений уровней от фактических значений была бы минимальной. Таким образом, эти оценки находятся в результате минимизации выражения:

, (2)

где yt – фактическое значение временного ряда;

– расчетное значение;

n – длина временного ряда.

Не будем останавливаться на математическом аппарате метода наименьших квадратов, подробно описанного в литературе по математической статистике.

Приведем систему нормальных уравнений, полученную в результате минимизации выражения (2):

. . . . . . . . . . . . . . . (3)

.

Система (3) состоит из (р+1) уравнений, содержащих в качестве неизвестных величин (р+1) коэффициентов a0,a1…ap. Решение этой системы позволяет вычислить оценки искомых коэффициентов.

Системы для оценивания полиномов невысоких степеней выглядят намного проще. Например, нормальные уравнения для оценивания параметров прямой:

. (4)

Решение этой системы относительно искомых параметров дает следующие выражения:

Для параболы 2-го порядка получим аналогичную систему нормальных уравнений:

. (5)

Эта система содержит три уравнения, позволяющих найти оценки трех неизвестных коэффициентов .

Составление нормальных уравнений можно упростить, воспользовавшись тем, что величины не зависят от конкретных уровней динамического ряда.

Эти суммы являются функциями только числа членов в динамическом ряду. Для них получены следующие формулы:

.

(Суммирование по ).

Другой подход к упрощению расчетов заключается в переносе начала координат в середину ряда динамики. Это позволяет упростить сами нормальные уравнения, а также уменьшить абсолютные значения величин, участвующих в расчете. Если до переноса начала координат t было равно 1,2,3,..., то после переноса для четного числа членов ряда t=...,-5;-3;-l;l;3;5;...;

для нечетного числа членов ряда t=...,-3;-2;-l;0;l;2;3;....

Таким образом, , где k - нечетное число, равна 0.

В этом случае оценки параметров соответствующих полиномов имеют вид:

Прямой (6)

параболы . (7)