Задача 19. Свойства натуральных чисел

Задача 19. Свойства натуральных чисел

№ 1. похожие задачи

№ 2. похожие задачи

№ 3. похожие задачи

Приведите при­мер трёхзначного на­ту­раль­но­го числа, боль­ше­го 500, ко­то­рое при де­ле­нии на 8 и на 5 даёт рав­ные не­ну­ле­вые остат­ки и пер­вая слева цифра ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским двух дру­гих цифр. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

№ 4. похожие задачи

№ 5. похожие задачи

Приведите пример трехзначного числа А, обладающего следующими свойствами:1) сумма цифр числа А делится на 7; 2) сумма цифр числа А + 2 также делится на 7; 3) число А больше 300 и меньше 350. в ответе укажите ровно одно такое число.

№ 6 похожие задачи

№ 000. похожие задачи

№ 7. похожие задачи

№ 8. похожие задачи

№ 000. похожие задачи

№ 000. похожие задачи

Вычеркните в числе 89767581 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 18. В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.

Вычеркните в числе 75157613 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.

Найдите четырёхзначное число, кратное 66, все цифры которого различны 
и чётны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Вычеркните в числе 87451257 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 15. В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.

Вычеркните в числе 78764138 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.

Вычеркните в числе 181615121 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число

Вычеркните в числе 141565041 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 30. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Вычеркните в числе 59678406 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 60. В ответе укажите ровно одно получившееся число

Найдите трёхзначное натуральное число, большее 500, которое при делении и на 3, и на 4, и на 5 даёт в остатке 2 и в записи которого использованы только две различные цифры. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Найдите трёхзначное натуральное число, большее 650, но меньшее 800, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны 
и не равны нулю. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 45, сумма цифр которого на 1 меньше их произведения. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Конец формы

Начало формы

ПРИМЕР ЗАДАЧИ: Найдите трёхзначное число, кратное 25, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число. РЕШЕНИЕ: Для удобства назовем наше число abc, где каждая буква обозначает конкретный разряд числа: a – сотни, b – десятки и c – единицы. По условию задачи a2 + b2 + c2 делится на 3, но не делится на 9. Кроме этого нужно помнить, что a ≠ b ≠ c А также число abc делится нацело на 25. Чтобы число делилось на 25, нужно чтобы оно заканчивалось на 00, 25, 50 или 75. Наше число на 00 заканчиваться не может, поскольку все его цифры должны быть различны. Поэтому нужно выписать все возможные числа, заканчивающиеся на 25, 50 или 75, все цифры которых различны и проверить, чтобы сумма их цифр делилась на 3, но не делилась на 9. Чтобы проверить, делится ли сумма квадратов цифр на 3 и 9, нужно для каждого числа получить сумму квадратов и проверить сумму ее цифр. Если сумма цифр делится на 3, то и число (сумма квадратов) также делится на 3, если сумма цифр делится на 9, то и число также делится на 9. По условию задачи достаточно найти любое из чисел. Мы же рассмотрим все возможные варианты: 125: 12 + 22 + 52 = 30 3 + 0 = 3 – делится на 3, но не делится на 9 150: 12 + 52 + 02 = 26 2 + 6 = 8 – не делится на 3 и 9 175: 12 + 72 + 52 = 75 7 + 5 = 12 – делится на 3, но не делится на 9 250: 22 + 52 + 02 = 29 2 + 9 = 11 – не делится на 3 и 9 275: 22 + 72 + 52 = 78 7 + 8 = 15 – делится на 3, но не делится на 9 325: 32 + 22 + 52 = 38 3 + 8 = 11 – не делится на 3 и 9 350: 32 + 52 + 02 = 34 3 + 4 = 7 – не делится на 3 и 9 375: 32 + 72 + 52 = 83 8 + 3 = 11 – не делится на 3 и 9 425: 42 + 22 + 52 = 45 4 + 5 = 9 – делится на 3 и 9 450: 42 + 52 + 02 = 41 4 + 1 = 5 – не делится на 3 и 9 475: 42 + 72 + 52 = 90 9 + 0 = 9 – делится на 3 и 9 625: 62 + 22 + 52 = 65 6 + 5 = 11 – не делится на 3 и 9 650: 62 + 52 + 02 = 61 6 + 1 = 7 – не делится на 3 и 9 675: 62 + 72 + 52 = 110 1 + 1 + 0 = 2 – не делится на 3 и 9 725: 72 + 22 + 52 = 78 7 + 8 = 15 – делится на 3, но не делится на 9 750: 72 + 52 + 02 = 74 7 + 4 = 11 – не делится на 3 и 9 825: 82 + 22 + 52 = 93 9 + 3 = 12 – делится на 3, но не делится на 9 850: 82 + 52 + 02 = 89 8 + 9 = 17 – не делится на 3 и 9 875: 82 + 72 + 52 = 138 1 + 3 + 8 = 12 – делится на 3, но не делится на 9 925: 92 + 22 + 52 = 110 1 + 1 + 0 = 2 – не делится на 3 и 9 950: 92 + 52 + 02 = 106 1 + 0 + 6 = 7 – не делится на 3 и 9 975: 92 + 27 + 52 = 155 1 + 5 + 5 = 11 – не делится на 3 и 9

Т. к. число делится на 25, то две последние цифры  будут только 00, 25, 50 или 75. Цифры 00 и 50 быть не могут, потому что тогда  сумма квадратов делится на 25. Остается 25 или 75. Чтобы x^2+2^2+5^2 делилось на 5 и не делилось на 25, можно взять x=1. Итак, ответ: 125.

Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении на 2 даёт остаток 1, при делении на 3 даёт остаток 2, при делении на 5 даёт остаток 4 и которое записано тремя различными нечётными цифрами. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.

РЕШЕНИЕ:

Так как число должно быть записано тремя различными нечётными цифрами, то оно составляется из цифр 1, 3, 5, 7, 9.
Так как число при делении на 2 даёт остаток 1 и составляется только из нечётных чисел, то последней цифрой может быть любая из данных.
Так как число при делении на 5 даёт остаток 4, оно может быть представлено в виде 5m+4 (5m делится на 5, 4 – остаток), чтобы число делилось на 5, оно должно оканчиваться цифрой 0 или 5, 0 – не подходит. Так как остаётся остаток 4, то число должно оканчиваться 5+4=9. То есть последняя цифра нужного числа – 9.
То есть для первых двух цифр остаются – 1, 3, 5, 7.
Так как число при делении на 3 даёт остаток 2, то оно может быть представлено в виде 3n+2. Чтобы числ делилось на 3, то сумма цифр, должна делится на 3. Так как ещё должен быть остаток 2 , то сумма цифр нужного числа так же должна быть представима в виде 3n+2.
Проверим какие три цифры из данных, включая 9, могут быть представлены как 3n+2.
1+3+9=13, не может быть представлено как 3n+2, то есть нельзя составить число из этих цифр
1+5+9=15, не может быть представлено как 3n+2, то есть нельзя составить число из этих цифр
1+7+9=17=15+2, может быть представлено как 3n+2, то есть можно составить число из этих цифр, это могут быть числа 179 и 719
3+5+9=17=15+2, может быть представлено как 3n+2, то есть можно составить число из этих цифр, это могут быть числа 359 и 539
3+7+9=19, не может быть представлено как 3n+2, то есть нельзя составить число из этих цифр
5+7+9=21, не может быть представлено как 3n+2, то есть нельзя составить число из этих цифр

Найдите четырёхзначное число, кратное 125, все цифры которого различны и нечётны.

Число делится на 125, если число, образованное тремя последними цифрами делится на 125.
Нечётные цифры: 1,3,5,7,9
Нужно составить трёхзначное число, которое делится на 125.
Последняя цифра 5(если число делится на 125, то оно делится и на 125).
Возможные варианты: 135, 175, 195, 315, 375, 395, 715, 735, 795, 915, 935, 975.
Из данный чисел только 375 делится на 125.
Значит, остались цифры 1 и 9. То есть можно составить числа : 1375, 937

Вычеркните в числе 35242345 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. Вответе укажите какое–нибудь одно получившееся число.

РЕШЕНИЕ:

Дано число 35242345, нужно, чтобы оно делилось на 12.
12=3·4.
Чтобы число делилось на 12, оно должно делится и на 3, и на 4.
Чтобы число делилось на 3, нужно, чтобы сумма цифр данного числа делилась на 3.
Приведём признак деления на 4: Целое число a делится на 4, если число, составленное из двух последних цифр в записи числа a (в порядке их следования) делится на 4; если же составленное число не делится на 4, то и число a не делится на 4.

Таким образом, если число делится на 4, то оно делится и на 2, то есть должно заканчиваться чётной цифрой.
Значит, последнюю цифру в числе, которое дано, зачёркиваем, получаем 3524234. Теперь число делится на 2. Проверим, делится ли оно на 4. Число составленное из двух последних цифр числа 34 не делится на 4, значит, всё число так же не делится на 4.
Зачёркиваем предпоследнюю цифру, получаем:352424. Продолжаем проверку, 24 делится на 4(24:4=6), значит, всё число делится на 4.
Посчитаем сумму цифр в получившемся числе: 3+5+2+4+2+4=20 – не делится на 3, значит, надо убрать такую цифру х(это может быть 3, 5, 2 и 4), чтобы 20–х делилось на 3.
20–3=17 – не делится.
20–5=15 – делится, значит можно зачёркивать цифру 5.
20–2=18 – делится, значит можно зачёркивать цифру 2, при чём, если убирать предпоследнюю цифру 2, то полученное число так же будет делится на 4.
20–4=16 – не делится.
Таким образом, числа могут быть такими: 32424, 35424, 35244.

Цифры трехзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе трехзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили 99. Найдите наименьшее возможное исходное число.

РЕШЕНИЕ ОТ SOVA:

Пусть первые две цифры х и у.
Тогда число 100х+10у+5
Число, записанное этими же цифрами в обратном порядке
500+10у+х
Разность между ними 99.
100х+10у+5–500–10у–х=99
99х=594
х=6
у–любое, у=0
Число 605
605–506=99
О т в е т. 605

Приведите пример трехзначного натурального числа, которое при делении на 4; 6 и 15 дает остаток 3 и цифры которого расположены в порядке возрастания слева направо.

РЕШЕНИЕ ОТ SOVA:

123
123:4=...(остаток 3)
123:6= ... ( остаток 3)
123:15=... ( остаток 3)
О т в е т. 123

Сумма цифр трехзначного натурального числа X делится на 9.
Сумма цифр числа (X + 9) также делится на 9. Найдите наименьшее возможное число X.

РЕШЕНИЕ ОТ vk165902784:

108
1+0+8=9
108/9=12 – делится нацело
(108+9)=117
117/9=13–делится нацело
Ответ:108

Найдите наименьшее трехзначное натуральное число, которое при делении на 11 и 12 дает равные ненулевые остатки и у которого средняя цифра является средним арифметическим двух крайних цифр.

РЕШЕНИЕ ОТ SOVA:

11k+d=12n+d ⇒ 11k=12n
k=12
n=11
135 – наименьшее число, удовлетворяющее условию задачи
О т в е т. 135

Найдите наименьшее пятизначное число, кратное 7, у которого произведение цифр равно 8.

РЕШЕНИЕ ОТ SOVA:

Наименьшее пятизначное число, произведение цифр которого наименьшее– 11111.
Нулей в числе быть не должно.
11116 кратно 7
11144 кратно 7
11214 кратно 7
О т в е т. 11214

Приведите пример трехзначного числа, кратного 24, сумма цифр которого также равна 24.

РЕШЕНИЕ ОТ SOVA:

888:24=37
Сумма цифр 8+8+8=24

Других чисел нет.
Сумма цифр числа равна, если число составлен из цифр(8;8;8)
24=8+8+8
или (9;8;7) 
24=9+8+7
или (9;9;6)
24=9+9+6

Но 978 не кратно 24; 798 не кратно 24, остальные числа нечетные, они не кратны 24
996 не кратно 24; остальные числа нечетные и не могут быть кратны 24.

Найдите трёхзначное число, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.

РЕШЕНИЕ ОТ SOVA:

875; 857; 578; 587; 785; 758
Сумма цифр
8+7+5=20
сумма квадратов цифр
8²+7²+5²=64+49+25=138 кратно 3 
138:3=46
и не кратно 9

Вычеркните в числе 14563743 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 22. Вответе укажите ровно одно получившееся число

РЕШЕНИЕ:

Если оно делится на 22,значит оно должно делится на 11 и 2
Число делится на 2 если, если его последняя цифра делиться на 2 или это 0
На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.
Вычёркиваем 3 и подгоняем по второй признак, получаем число 14564

Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 15, произведение цифр которого больше 0, но меньше 25. В ответе укажите ровно одно такое число

РЕШЕНИЕ:

xyzc/15 = целое число, откуда следует, что c либо 5 либо 0
0 < x·y·z·c < 25, откуда следует, что не одна цифра числа не рана 0
следовательно уже точно можно умозаключить, что c=5, то есть имеем xyz5, далее можно подбирать 1115 – не подходит, т. к. не кратно 15, 1125 – подходит, также как и числа 1215, 2115

Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 1 и 0 и делится на 24.

РЕШЕНИЕ:

n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)=24k где все числа целые
подходят числа 111000